Where m* is the effective mass of e

Where m* is the effective mass of electrons in the crystal. The crystal potential V(r) can be expressed in terms of the Fourier expansion in the reciprocal space, which is given by
()()jjKijKrKVrve−⋅=Σ (4.69)
Where Kj is the reciprocal lattice vector and v(Kj) is the Fourier coefficient of the periodic potential V(r).
The new electron wave functions and energies can be obtained by finding the matrix element Hk′k due to the periodic crystal potential V(r) using the stationary perturbation method described above. Now substituting Eq. (4.69) into Eq.(4.60), the matrix element due to the periodic potential V(r) is given by
3*''()|()|()kkkkHrVrrdr=∫φφ
()31()jjjKiKrikrikrvKdrNVeee−⋅′−⋅⋅⎛⎞=⎜⎟⎝⎠Σ∫ (4.70)
Note that the integral on the right-hand side of Eq. (4.70) will vanish unless k – k′ = Kj, where Kj, is the reciprocal lattice vector. Thus, by substituting k – k′ = Kj in Eq.(4.70) and carrying out the integration one obtains
()kkjHKv′= (4.71)
Now, substituting Eq. (4.71) into (4.59) yields the new electron wave functions, which is
()()1()1jjiKjkooKkkrikrvKereNVEE−⋅′⋅=+−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦Σφ (4.72)
It is interesting to note that the term inside the square bracket on the right-hand side of Eq. (4.72) has the periodicity of the crystal potential V(r), and may be designated as the Bloch function uk(r). Thus, the new electron wave functions given by Eq. (4.72) are indeed satisfied the Bloch type wave functions defined by Eq. (4.17).
The expression of electron energy can be derived in a similar manner by substituting Eq. (4.71) into Eq (4.64), and the result yields
()()2jjokkooKkkvKEEEE′=+−Σ (4.73)
It is seen that the expressions for the electron wave functions and energies given by Eqs. (4.72) and (4.73) become infinity if , and hence the perturbation approximation is no longer valid. This condition occurs at the zone boundaries, and the electron energy corresponding to this condition is given by okEE′=
()22222jokkKkEmm ′−===hh (4.74)
Solving Eq.(4.74) yields
22jjKkK⋅= (4.75)
Here the relation k′ = k – Kj is used in Eq. (4.74). Equation (4.75) represents exactly the Bragg diffraction condition in a crystalline solid, which occurs at the zone boundaries. Failure of the perturbation theory at the zone boundaries is due to the fact that the periodic crystal potential V(r) at zone boundaries is no longer small, and hence cannot be treated as a small perturbing potential. In fact, the Bragg diffraction condition results in a very severe perturbation of electron wave functions at the zone boundaries. Therefore, to find a proper solution for the electron energy and wave functions at the zone boundaries, it is necessary to reconstruct a new perturbed wave function, which is a linear combination of an incident- and a reflected- plane wave. Using a linear combination of the incident- and reflected- plane waves, one can construct a new electron wave function at the zone boundary, which is given by
o1()koikrikrrAeAeφ⋅′⋅=+ (4.76)
Where k′ = k – Kj. Substituting Eq. (4.76) into Eq. (4.65) yields
()()22221220ikrikrkokkkVrEAeVrEAemm′⋅⎧⎫⎧⎫′⎪⎪⎪⎪+−++−=⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭hh (4.77)
Now, multiplying Eq. (4.77) by and integrating the equation over the entire space, one obtains ikre−⋅
()()*10ookkjAEEAvK−− (4.78)
Where22=2okokEmh, and v*(Kj), the conjugate of the Fourier coefficient, is given by
(4.79) ()()*0ikrikrjvKeVredr∞−⋅⋅=∫
Similarly, multiplying Eq. (4.77) by e–ik′· r and integrating over the entire space, one obtains
()()10oojkkAvKAEE′−−= (4.80)
Where 22'=2okokEm′h, and
(4.81) ()()30ikrikjrvKeVredr∞′−⋅⋅=∫
is the Fourier coefficient of the periodic crystal potential V(r). A nontrivial solution exists in Eqs. (4.78) and (4.80) only if the determinant of the coefficients of Ao and A1 is set equal to zero, namely,
()()()()*0okkjojkkKKEEvvEE′−−=−− (4.82)
Now, solving Eq. (4.82) for Ek, and the result yields
()()()()122*142ooookkkkkjjKEEEEEvKv′′⎧⎫⎪ ⎡⎤=+±−+⋅⎨ ⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭ (4.83)
Equation (4.83) shows that a forbidden gap exists at the zone boundaries, and the width of the forbidden gap is determined by the value of 4v*(Kj).v(Kj) inside the square bracket of Eq.(4.83), which is determined by the Fourier coefficient of the periodic crystal potential. In general, the energy band gap will increase with increasing value of the Fourier coefficient ()jvK. Figure 4.7 shows the schematic energy band diagram in the reduced zone scheme derived from the NFE approximation. It is interesting to note that the energy band scheme derived from NFE approximation is similar to that obtained from the Kronig–Penney model for the 1-D periodic lattice. Furthermore, the electron wave functions derived from the NFE approximation are indeed satisfied the Bloch condition. The results show that, except at the zone boundaries where an energy discontinuity (or a band gap) occurs, the energy band scheme derived from the NFE approximation resembles that of the free-electron case (with v(Kj) = 0) discussed earlier.
The NFE approximation presented in this section provides a qualitative description of the electronic states for the outer-shell valence electrons of a 3-D crystal lattice. However, in order to obtain true energy band structures for a real crystal, a more rigorous and sophisticated method, such as the pseudopotential or the orthogonalized plane wave method, must be employed in the energy band calculations. Both methods have been widely used in the energy band calculations of semiconductors.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

M * มีประสิทธิภาพโดยรวมของอิเล็กตรอนในผลึก เป็นคริสตัลที่ V(r) ที่สามารถแสดงในรูปของขยายฟูรีเยในพื้นที่ซึ่งกันและกัน ซึ่งถูกกำหนดโดยjjKijKrKVrve−⋅ ()() =Σ (4.69)ที่ Kj เวกเตอร์โครงตาข่ายประกอบซึ่งกันและกัน และ v(Kj) ค่าสัมประสิทธิ์ฟูรีเยของ V(r) อาจเกิดขึ้นเป็นครั้งคราวฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนใหม่และพลังงานสามารถได้รับ โดยการหาเมตริกซ์องค์ประกอบ Hk′k เนื่องจากคริสตัลเป็นครั้งคราวเป็น V(r) โดยใช้วิธี perturbation เครื่องเขียนอธิบายไว้ข้างต้น ตอนนี้ แทน Eq. (4.69) เป็น Eq.(4.60) เมตริกซ์องค์ประกอบเนื่องจาก V(r) เป็นไปได้เป็นครั้งคราวได้ด้วย3*''()| ()| kkkkHrVrrdr () =∫φφjjjKiKrikrikrvKdrNVeee−⋅′−⋅⋅⎛⎞ ()() 31 =⎜⎟⎝⎠Σ∫ (4.70)หมายเหตุว่า ทฤษฎีบูรณาการทางด้านขวามือของ Eq. (4.70) จะหายยกเว้น k – k′ =ล ที่ Kj เป็นเวกเตอร์โครงตาข่ายประกอบซึ่งกันและกัน ดังนั้น โดยแทน k – k′ = Kj ใน Eq.(4.70) และการดำเนินการรวมหนึ่งเหตุผลkkjHKv′ () = (4.71)แทน Eq. (4.71) ลงใน (4.59) ทำให้ตอนนี้ ฟังก์ชันคลื่นใหม่ของอิเล็กตรอน ซึ่งเป็น1jjiKjkooKkkrikrvKereNVEE−⋅′⋅ ()() 1 () = + −⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦Σφ (4.72)เป็นที่น่าสนใจทราบว่า คำในวงเล็บสี่เหลี่ยมทางด้านขวามือของ Eq. (4.72) มีประจำงวดของศักยภาพคริสตัล V(r) และอาจถูกกำหนดเป็น uk(r) ฟังก์ชันเม็ดเลือดขาว ดังนั้น อิเล็กตรอนใหม่ที่มีฟังก์ชันคลื่นโดย Eq. (4.72) แน่นอนพอฟังก์ชันคลื่นชนิดเม็ดเลือดขาวที่ถูกกำหนด โดย Eq. (4.17)ค่าของพลังงานอิเล็กตรอนสามารถถูกสืบทอดมาในลักษณะคล้ายกัน โดย Eq. แทน (4.71) เป็น Eq (4.64), และก่อให้เกิดผล2jjokkooKkkvKEEEE′ ()() = + −Σ (4.73)จะเห็นได้ว่า นิพจน์สำหรับอิเล็กตรอนคลื่นและพลังงานโดย Eqs (4.72) (4.73) เป็น อินฟินิตี้และถ้า และดังนั้น ประมาณ perturbation ไม่ถูกต้อง สภาวะนี้เกิดที่ขอบเขต และพลังงานอิเล็กตรอนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ถูกกำหนด โดย okEE′ =′− 22222jokkKkEmm () === ชช (4.74)แก้ Eq.(4.74) ทำให้22jjKkK⋅ = (ระดับ 4.75)นี่ k′ ความสัมพันธ์ = k – ใช้ Kj ใน Eq. (4.74) สมการ (ระดับ 4.75) แสดงว่า Bragg การเลี้ยวเบนเงื่อนไขในผลึกของแข็ง ซึ่งเกิดขึ้นในขอบเขต ความล้มเหลวของทฤษฎี perturbation ในขอบเขตได้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่คริสตัลประจำงวด V(r) เป็นไปได้ในขอบเขตไม่เล็ก และดังนั้น ไม่ถือว่าเป็นศักยภาพที่ perturbing เล็ก ในความเป็นจริง เงื่อนไขการเลี้ยวเบน Bragg ผลลัพธ์ใน perturbation ความรุนแรงของฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในขอบเขต ดังนั้น หาทางออกที่เหมาะสมสำหรับอิเล็กตรอนพลังงานและฟังก์ชันคลื่นที่ขอบเขต จำเป็นต้องสร้างใหม่ perturbed คลื่นฟังก์ชัน ซึ่งเป็นการรวมเชิงเส้นการเหตุการณ์และเครื่องบินที่สะท้อนคลื่น โดยใช้การรวมเชิงเส้นของคลื่นเหตุการณ์ - และผลเครื่องบิน หนึ่งสามารถสร้างฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนใหม่ที่ขอบเขต ซึ่งถูกกำหนดโดยo1 () koikrikrrAeAeφ⋅′⋅ = + (4.76)ที่ k′ = k – Kj Substituting Eq. (4.76) เป็นผลผลิต Eq. (4.65)()() 22221220ikrikrkokkkVrEAeVrEAemm′⋅⎧⎫⎧⎫′⎪⎪⎪⎪ + − ++ − = ⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭hh (4.77)ตอนนี้ คูณ Eq. (4.77) และการรวมสมการผ่านพื้นที่ทั้งหมด หนึ่งเหตุผล ikre−⋅()() * 10ookkjAEEAvK−− (4.78)Where22 = 2okokEmh และ v*(Kj) ค่าสังยุคของสัมประสิทธิ์ฟูรีเย ถูกกำหนดโดย()() (4.79) * 0ikrikrjvKeVredr∞−⋅⋅ =∫ในทำนองเดียวกัน คูณ Eq. (4.77) e – ik′· r และบูรณาการผ่านพื้นที่ทั้งหมด หนึ่งเหตุผล10oojkkAvKAEE′−− ()() = (4.80)ที่ 22'= 2okokEm′h และ30ikrikjrvKeVredr∞′−⋅⋅ ()() (4.81) =∫คือค่าสัมประสิทธิ์ฟูรีเยของคริสตัลประจำงวด V(r) อาจเกิดขึ้น โซลูชั่น nontrivial อยู่ใน Eqs (4.78) (4.80) เท่านั้นถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของสัมประสิทธิ์ของอ่าวและ A1 เท่ากับศูนย์ ได้แก่ และ()()()() * 0okkjojkkKKEEvvEE′−− =−− (4.82)แก้ Eq. (4.82) สำหรับเอก และผลทำให้ตอนนี้()()()() 122 * 142ooookkkkkjjKEEEEEvKv′′⎧⎫⎪ ⎡⎤ = + ±− + ⋅⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭ (4.83)Equation (4.83) shows that a forbidden gap exists at the zone boundaries, and the width of the forbidden gap is determined by the value of 4v*(Kj).v(Kj) inside the square bracket of Eq.(4.83), which is determined by the Fourier coefficient of the periodic crystal potential. In general, the energy band gap will increase with increasing value of the Fourier coefficient ()jvK. Figure 4.7 shows the schematic energy band diagram in the reduced zone scheme derived from the NFE approximation. It is interesting to note that the energy band scheme derived from NFE approximation is similar to that obtained from the Kronig–Penney model for the 1-D periodic lattice. Furthermore, the electron wave functions derived from the NFE approximation are indeed satisfied the Bloch condition. The results show that, except at the zone boundaries where an energy discontinuity (or a band gap) occurs, the energy band scheme derived from the NFE approximation resembles that of the free-electron case (with v(Kj) = 0) discussed earlier.The NFE approximation presented in this section provides a qualitative description of the electronic states for the outer-shell valence electrons of a 3-D crystal lattice. However, in order to obtain true energy band structures for a real crystal, a more rigorous and sophisticated method, such as the pseudopotential or the orthogonalized plane wave method, must be employed in the energy band calculations. Both methods have been widely used in the energy band calculations of semiconductors.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในกรณีที่ม. * คือมวลที่มีประสิทธิภาพของอิเล็กตรอนในผลึก คริสตัลที่มีศักยภาพ V (R) สามารถแสดงออกในแง่ของการขยายตัวของฟูริเยร์ในพื้นที่ซึ่งกันและกันซึ่งจะได้รับจาก
() () jjKijKrKVrve-⋅ = Σ (4.69)
ในกรณีที่ Kj เป็นเวกเตอร์ตาข่ายซึ่งกันและกันและโวลต์ (Kj) เป็น ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของศักยภาพระยะ V (R).
ฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนพลังงานใหม่และสามารถรับได้โดยการหาองค์ประกอบที่เมทริกซ์ Hk'k เนื่องจากการคริสตัลเป็นระยะที่มีศักยภาพ V (R) โดยใช้วิธีการก่อกวนนิ่งที่อธิบายข้างต้น ตอนนี้แทนสมการ (4.69) ลงในสม. (4.60), เมทริกซ์เนื่องจากการที่มีศักยภาพเป็นระยะ V (R) จะได้รับ (4.70) โปรดสังเกตว่าหนึ่งทางด้านขวามือของสมการ (4.70) จะหายไปเว้นแต่ k - k '= Kj ที่ Kj เป็นตาข่ายซึ่งกันและกันเวกเตอร์ ดังนั้นโดยการแทน k - k. = Kj ในสมการ (4.70) และการดำเนินการรวมกลุ่มหนึ่งได้() kkjHKv '= (4.71) ตอนนี้แทนสมการ (4.71) ลงใน (4.59) อัตราผลตอบแทนการทำงานของคลื่นอิเล็กตรอนใหม่ซึ่งเป็น() () 1 () 1jjiKjkooKkkrikrvKereNVEE-⋅'⋅ + = - ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦Σφ (4.72) เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่า ระยะภายในวงเล็บตารางทางด้านขวามือของสมการ (4.72) มีระยะเวลาของคริสตัลที่มีศักยภาพ V (r) และอาจจะกำหนดให้เป็นฟังก์ชั่นโบลชสหราชอาณาจักร (R) ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนใหม่ที่กำหนดโดยสมการ (4.72) มีความพึงพอใจแน่นอนฟังก์ชันคลื่นประเภทโบลชที่กำหนดโดยสมการ (4.17). การแสดงออกของพลังงานอิเล็กตรอนสามารถจะได้มาในลักษณะที่คล้ายกันโดยการแทนสมการ (4.71) ลงในสมการ (4.64) และอัตราผลตอบแทนผล() () 2jjokkooKkkvKEEEE '= + - Σ (4.73) จะเห็นว่าการแสดงออกสำหรับฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนและพลังงานที่ได้รับจาก EQS (4.72) และ (4.73) กลายเป็นอินฟินิตี้ถ้าและด้วยเหตุนี้การก่อกวนประมาณไม่ถูกต้อง เงื่อนไขนี้เกิดขึ้นในเขตแดนโซนและพลังงานอิเล็กตรอนที่สอดคล้องกับสภาพเช่นนี้จะได้รับจาก Okee '= () 22222jokkKkEmm - === hh (4.74). การแก้สมการ (4.74) อัตราผลตอบแทน22jjKkK⋅ = (4.75) นี่คือความสัมพันธ์ k '= k - Kj ใช้ในสมการ (4.74) สมการ (4.75) แสดงให้เห็นว่าสภาพการเลี้ยวเบนแบร็กในผลึกของแข็งซึ่งเกิดขึ้นในเขตแดนโซน ความล้มเหลวของทฤษฎีความยุ่งเหยิงในขอบเขตโซนเป็นเพราะความจริงที่ว่าคริสตัลเป็นระยะที่มีศักยภาพ V (R) ในขอบเขตโซนจะไม่เล็กและด้วยเหตุนี้ไม่สามารถได้รับการปฏิบัติในฐานะที่เป็นขนาดเล็กที่มีศักยภาพก่อกวน ในความเป็นจริงการเลี้ยวเบนแบร็ผลการเงื่อนไขในการก่อกวนที่รุนแรงมากของฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนที่ขอบเขตโซน ดังนั้นการที่จะหาทางออกที่เหมาะสมสำหรับการใช้พลังงานอิเล็กตรอนและฟังก์ชั่นที่คลื่นขอบเขตโซนก็เป็นสิ่งจำเป็นที่จะสร้างฟังก์ชั่นคลื่นตกอกตกใจใหม่ซึ่งเป็นชุดที่เชิงเส้นของ incident- และคลื่นระนาบ reflected- โดยใช้การรวมเชิงเส้นของ incident- และคลื่นเครื่องบิน reflected- หนึ่งสามารถสร้างฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนใหม่ที่ขอบเขตโซนซึ่งจะได้รับโดยo1 () koikrikrrAeAeφ⋅'⋅ = + (4.76) ในกรณีที่ k '= k - Kj . แทนสมการ (4.76) ลงในสมการ (4.65) (4.77) ตอนนี้คูณสมการ (4.77) โดยการบูรณาการและสมการมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดคนหนึ่งได้ ikre-⋅ () () * 10ookkjAEEAvK-- (4.78) Where22 = 2okokEmh และโวลต์ * (Kj) ผันของค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ที่ได้รับจาก(4.79) () () * 0ikrikrjvKeVredr∞-⋅⋅ = ∫ในทำนองเดียวกันคูณสมการ (4.77) โดย e-IK ·อาและการบูรณาการมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดคนหนึ่งได้() () 10oojkkAvKAEE - = (4.80) ในกรณีที่ 22 '= 2okokEm'h และ(4.81) () () 30ikrikjrvKeVredr∞' -⋅⋅ = ∫เป็นค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของคริสตัลเป็นระยะที่มีศักยภาพV (R) วิธีการแก้ปัญหาที่มีอยู่ในขี้ปะติ๋ว EQS (4.78) และ (4.80) เท่านั้นถ้าปัจจัยของค่าสัมประสิทธิ์ของอ่าวและ A1 ที่มีการตั้งค่าเท่ากับศูนย์คือ() () () () * 0okkjojkkKKEEvvEE - = - (4.82) ตอนนี้การแก้สมการ (4.82) สำหรับเอกและอัตราผลตอบแทนผล() () () () 122 * 142ooookkkkkjjKEEEEEvKv''⎧⎫⎪⎡⎤ = ± + - + ⋅⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭ (4.83) สมการ (4.83) แสดงให้เห็นว่าช่องว่างที่ต้องห้ามที่มีอยู่ในขอบเขตโซนและความกว้างของช่องว่างที่ต้องห้ามจะถูกกำหนดโดยค่าของ 4V * (ที่ Kj) .v (Kj) ภายในวงเล็บตารางสม. (4.83) ซึ่งจะถูกกำหนดโดย ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ของคริสตัลที่อาจเกิดขึ้นเป็นระยะ ๆ โดยทั่วไปช่องว่างแถบพลังงานจะเพิ่มขึ้นมีมูลค่าที่เพิ่มขึ้นของค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ () JVK รูปที่ 4.7 แสดงแผนภาพแถบพลังงานวงจรในโครงการโซนลดลงมาจากการประมาณการศึกษานอกโรงเรียน เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่ารูปแบบแถบพลังงานที่ได้มาจากการประมาณการศึกษานอกโรงเรียนจะคล้ายกับที่ได้จากรูปแบบ Kronig-Penney สำหรับตาข่ายระยะ 1-D นอกจากนี้ฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนที่ได้มาจากการประมาณการศึกษานอกโรงเรียนมีความพึงพอใจแน่นอนสภาพโบลช ผลปรากฏว่ายกเว้นในขอบเขตโซนโดยที่ไม่ต่อเนื่องพลังงาน (หรือช่องว่างที่วงดนตรี) เกิดขึ้นโครงการแถบพลังงานที่ได้มาจากการประมาณกศนเค้าว่ากรณีฟรีอิเล็กตรอน (ด้วย v (Kj) = 0) กล่าวก่อนหน้านี้ . ประมาณกศนที่นำเสนอในส่วนนี้ให้รายละเอียดคุณภาพของรัฐอิเล็กทรอนิกส์สำหรับนอกเปลือกอิเล็กตรอนของ 3 มิติผลึกตาข่าย แต่เพื่อให้ได้โครงสร้างแถบพลังงานจริงสำหรับคริสตัลจริงวิธีการที่เข้มงวดมากขึ้นและมีความซับซ้อนเช่นศักย์เทียมหรือวิธีคลื่นระนาบ orthogonalized ต้องได้รับการว่าจ้างในการคำนวณวงพลังงาน ทั้งสองวิธีได้รับการใช้กันอย่างแพร่หลายในการคำนวณแถบพลังงานของเซมิคอนดักเตอร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ M * เป็นที่มีประสิทธิภาพมวลของอิเล็กตรอนในคริสตัล คริสตัลศักยภาพ V ( R ) สามารถแสดงในแง่ของฟูเรียร์ การขยายตัวในพื้นที่ซึ่งกันและกัน ซึ่งจะได้รับโดย
( ) ( ) jjkijkrkvrve −⋅Σ ( = 4.69 )
ที่ KJ เป็นส่วนกลับขัดแตะเวกเตอร์ V ( kJ ) คือสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ของตารางธาตุศักยภาพ V ( R )
.ใหม่อิเล็กตรอนฟังก์ชันคลื่นและพลังงานที่สามารถหาได้โดยการหาธาตุเมทริกซ์ HK นั้น K เนื่องจากการธาตุคริสตัลศักยภาพ V ( R ) โดยใช้วิธีเขียนสมการที่อธิบายข้างต้น ตอนนี้ใช้อีคิว ( 4.69 ) อีคิว ( 4.60 ) , ธาตุเมทริกซ์เนื่องจากเป็นระยะที่มีศักยภาพ V ( R ) จะได้รับโดย
3 * ' ' ( ) ( ) ( ) | | kkkkhrvrrdr = ∫φφ
( ) 31() jjjkikrikrikrvkdrnveee −⋅′−⋅⋅⎛⎞⎜⎟⎝⎠Σ∫ ( = 4.70 )
ทราบว่าหนึ่งบนด้านขวามือของอีคิว ( 605 ) จะหายไป ยกเว้น K - K ’ = KJ ที่ KJ เป็นเวกเตอร์ขัดแตะส่วนกลับ ดังนั้น จาก K - K ’ = KJ ในอีคิว ( 605 ) และการดําเนินการรวมคนหนึ่งได้
( ) kkjhkv School = 4.71 )
ตอนนี้แทนอีคิว ( 4.71 ) ลงใน ( 4.59 ) ผลผลิตใหม่อิเล็กตรอนคลื่นฟังก์ชันซึ่ง
( ) ( ) 1() 1jjikjkookkkrikrvkerenvee −⋅′⋅−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦Σφ ( = 4.72 )
เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าระยะเวลาภายในวงเล็บสี่เหลี่ยมด้านขวามือของอีคิว ( 4.72 ) มีกำหนดออกของคริสตัลศักยภาพ V ( R ) และอาจถูกกำหนดเป็นบล็อคฟังก์ชัน UK ( R ) ดังนั้น , ใหม่ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนให้อีคิว ( 472 ) แน่นอน บล๊อคพิมพ์ฟังก์ชันคลื่นที่กำหนดโดยอีคิว พอใจ ( 4.17 ) .
การแสดงออกของอิเล็กตรอนพลังงานสามารถจะได้มาในลักษณะที่คล้ายกันจากอีคิว ( 4.71 ) EQ ( 4.64 ) และผลผลผลิต
( ) ( ) 2jjokkookkkvkeeee นั้น−Σ ( = 4.73 )
จะเห็นได้ว่า การแสดงออกสำหรับอิเล็กตรอนฟังก์ชันคลื่นและพลังงานที่ได้รับจาก EQS . ( 4.72 ) และ ( 4.73 ) เป็น อินฟินิตี้ ถ้าดังนั้น การประมาณค่าสมการที่ไม่ถูกต้อง ภาพนี้เกิดขึ้นที่เขตพรมแดน และอิเล็กตรอนพลังงานที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะได้รับโดย OK นั้น =
( ) 22222 jokkkkemm ′− = = = HH ( 4.74 )
แก้ไขอีคิว ( 4.74 ) ผลผลิต
22jjkkk ⋅ = ( - )
ที่นี่ความสัมพันธ์ Kitchen Stories = k ) ใช้ในอีคิว ( จูล 4.74 ) สมการ ( 4 )75 ) หมายถึงตรงแบร็กเลนส์สภาพผลึกของแข็ง ซึ่งเกิดขึ้นในเขตรอยต่อ ความล้มเหลวของทฤษฎีความยุ่งเหยิงในโซนขอบเขตเนื่องจากว่าธาตุคริสตัลศักยภาพ V ( R ) ที่เขตรอยต่อไม่ขนาดเล็กและดังนั้นจึงไม่สามารถถือว่าเป็นขนาดเล็กในใจงั้นที่มีศักยภาพ ในความเป็นจริงโดยแบร็กเลนส์สภาพผลในสมการฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนที่รุนแรงมากในเขตรอยต่อ ดังนั้นเพื่อหาโซลูชั่นที่เหมาะสมสำหรับอิเล็กตรอนพลังงานและฟังก์ชันคลื่นที่เขตรอยต่อ มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อบูรณะใหม่ วนเวียน ฟังก์ชันคลื่น ซึ่งเป็นการรวมกันเชิงเส้นของเหตุการณ์ - และ - เครื่องสะท้อนคลื่นการรวมกันเชิงเส้นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและสะท้อนคลื่นระนาบหนึ่งสามารถสร้างฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนใหม่ในโซนกรุงเทพและปริมณฑลที่ได้รับจาก
o1() koikrikrraeae φ⋅′⋅ = ( 4.76 )
ที่ Kitchen Stories = k ( KJ . การอีคิว ( 4.76 ) อีคิว ( 4.65 ) ผลผลิต
( ) ( ) 22221220ikrikrkokkkvreaevreaemm ′⋅⎧⎫⎧⎫′⎪⎪⎪⎪−−⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭ HH ( = 4.77 )
ตอนนี้คูณอีคิว( 4.77 ) โดยรวมและสมการมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดคนหนึ่งได้ ikre −⋅
( ) ( ) * 10ookkjaeeavk −− ( 4.78 )
where22 = 2okokemh และ V * ( kJ ) , คู่ของฟูรีเยได้ค่าให้โดย
( เมิง ) ( ) ( ) * 0ikrikrjvkevredr ∞−⋅⋅ = ∫
นอกจากนี้การคูณอีคิว ( 4.77 ) โดย E –ผม′· R และบูรณาการมากกว่าพื้นที่ทั้งหมดคนหนึ่งได้
( ) ( ) 10oojkkavkaee ′−− = ( 4.80 )
ที่ 22 ' = 2okokem ได้รับ H ,
( 481 ) ( ) ( ) 30ikrikjrvkevredr ∞′−⋅⋅ = ∫
คือสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์แบบคริสตัลศักยภาพ V ( R ) โซลูชั่นนอนทริเวียล มีอยู่ใน EQS . ( 4.78 ) และ ( 4.80 ) เท่านั้น ถ้ากำหนดสัมประสิทธิ์ของอ่าวและ A1 มีการตั้งค่าเท่ากับศูนย์ คือ
( ) ( ) ( ) ( ) * 0okkjojkkkkeevvee ′−−−− ( = 4.82 )
ตอนนี้แก้ไขอีคิว ( ทั้งหมด ) สำหรับฉัน , และผลผลผลิต
( ) ( ) ( ) ( ) 122 * 142ooookkkkkjjkeeeeevkv ′′⎧⎫⎪⎡⎤ = ±−⋅⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭ ( 4.83 )
สมการ ( 4.83 ) แสดงให้เห็นว่าช่องว่างที่มีอยู่ในเขตต้องห้าม ขอบเขต และความกว้างของต้องห้าม ช่องว่างจะถูกกำหนดโดยค่าของ 4v * ( kJ ) V ( kJ ) ภายในวงเล็บสี่เหลี่ยม อีคิว ( 4.83 ) ซึ่งถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ศักยภาพคริสตัลเป็นระยะ ๆ โดยทั่วไปวงช่องว่างพลังงานจะเพิ่มขึ้นด้วยการเพิ่มค่าของสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์ ( ) jvk . รูปที่ 4.7 แสดงแถบพลังงานแผนภาพในเขตโครงการลดลง มาจากการศึกษาการประมาณ เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าแถบพลังงานที่ได้มาจากการประมาณโครงการ ( คล้ายกับที่ได้จากแบบจำลอง kronig – Penney สำหรับภายในเป็นระยะๆ ตุงตาข่าย นอกจากนี้ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนที่ได้จากการประมาณค่า ( จริงๆพอใจเงื่อนไข บล๊อค . ผลที่ได้แสดงให้เห็นว่า นอกจากที่บริเวณเขตแดนที่ไม่ต่อเนื่อง ( หรือช่องว่างแถบพลังงาน ) ที่เกิดขึ้น กลุ่มพลังงานนี้ได้มาจากการศึกษาประมาณคล้ายกับของกรณีอิเล็กตรอนอิสระ ( V ( kJ ) = 0 =
) กล่าวถึงก่อนหน้านี้การประมาณ ( นำเสนอในส่วนนี้ให้มีคุณภาพ รายละเอียดของรัฐอิเล็กทรอนิกส์สำหรับเปลือกภายนอกอิเล็กตรอนของ 3-D แลตทิซผลึก . อย่างไรก็ตาม เพื่อให้ได้โครงสร้างแถบพลังงานที่แท้จริง เป็นคริสตัลแท้ อย่างเข้มงวดและซับซ้อน วิธี เช่น ศักย์เทียมหรือ orthogonalized คลื่นระนาบโดยต้องใช้ในแถบพลังงานการคำนวณ ทั้งสองวิธีมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในแถบพลังงานการคำนวณของสารกึ่งตัวนำ