Set theory is seen as the foundatio

Set theory is seen as the foundation from which virtually all of mathematics can be derived. For example, structures in abstract algebra, such as groups, fields and rings, are sets closed under one or more operations.

One of the main applications of naive set theory is constructing relations. A relation from a domain A to a codomain B is a subset of the Cartesian product A × B. Given this concept, we are quick to see that the set F of all ordered pairs (x, x2), where x is real, is quite familiar. It has a domain set R and a codomain set that is also R, because the set of all squares is subset of the set of all reals. If placed in functional notation, this relation becomes f(x) = x2. The reason these two are equivalent is for any given value, y that the function is defined for, its corresponding ordered pair, (y, y2) is a member of the set F.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีเซตจะเห็นเป็นรากฐานซึ่งแทบทั้งหมดของวิชาคณิตศาสตร์สามารถมา ตัวอย่าง โครงสร้างในพีชคณิตนามธรรม กลุ่ม ฟิลด์ และ แหวน เป็นชุดปิดภายใต้ การดำเนินการหนึ่งของการใช้งานหลักของทฤษฎีเซตขำน่าจะสร้างความสัมพันธ์ ความสัมพันธ์จากโดเมน A codomain B เป็นเซตย่อยของการผลิตภัณฑ์ Cartesian A เกิด ได้รับแนวคิดนี้ ได้อย่างรวดเร็วเพื่อดูว่าชุด F สั่งคู่ (x, x 2), ซึ่ง x เป็นจริง ค่อนข้างคุ้นเคย มันมีการโดเมนชุด R และชุด codomain ที่ R เนื่องจากชุดของสี่เหลี่ยมทั้งหมดเป็นชุดย่อยของชุดของตัวเลขจริงทั้งหมด ถ้าทำในสัญกรณ์ที่ทำงาน ความสัมพันธ์นี้กลายเป็น f(x) = x 2 เหตุผลที่สองจะเท่ากับเป็นใด ๆ ให้ค่า y ที่กำหนดฟังก์ชัน คู่สั่งการที่เกี่ยวข้อง, (y, y2) เป็นสมาชิกของเอฟตั้ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีการตั้งค่าจะเห็นเป็นมูลนิธิซึ่งเกือบทั้งหมดของคณิตศาสตร์สามารถจะได้มา . ตัวอย่างเช่น โครงสร้างพีชคณิตนามธรรม เช่น กลุ่มเขต และแหวน จะปิดเซตได้ที่หนึ่งหรือมากกว่าการดำเนินงาน

หนึ่งของโปรแกรมหลักของทฤษฎีเซตสามัญคือการสร้างสัมพันธ์ ความสัมพันธ์จากโดเมนหนึ่งไปยังโคโดเมน B เป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน a × b .ให้แนวคิดนี้เราอย่างรวดเร็วเพื่อดูว่าชุด F ของคู่อันดับ ( x , X2 ) โดยที่ x เป็นจริงค่อนข้างคุ้นเคย มีโดเมนตั้งค่า R และโจโคโบะที่ยังเป็น R เพราะชุดของสี่เหลี่ยมเป็นส่วนหนึ่งของชุดของทุกคนจริงๆล่ะ ถ้าวางในสัญกรณ์ฟังก์ชัน นี้ความสัมพันธ์เป็น f ( x ) = X2 . เหตุผลทั้งสองมีค่าเท่ากันคือใด ๆค่าY ที่ฟังก์ชันการกำหนดสำหรับของที่สั่งคู่ ( Y , Y2 ) เป็นสมาชิกของชุด F