Volume 81 No. 4 2012, 605-608ISSN:

Volume 81 No. 4 2012, 605-608
ISSN: 1311-8080 (printed version) url: http://www.ijpam.eu
ON THE DIOPHANTINE EQUATION
3x + 5y = z2
Banyat Sroysang
Department of Mathematics and Statistics
Faculty of Science and Technology
Thammasat University
Rangsit Center, Pathumthani 12121, THAILAND AP
ijpam.eu
International Journal of Pure and Applied Mathematics

Abstract: In this paper, we show that the Diophantine equation 3x+5y = z2 has a unique non-negative integer solution. The solution (x,y,z) is (1,0,2).
AMS Subject Classification: 11 D 61
Key Words: exponential Diophantine equation
1. Introduction
In 1844, Catalan [2] posed a conjecture that (3,2,2,3) is a unique solution (a,b,x,y) for the Diophantine equation ax − by = 1 where a,b,x and y are integers with min{a,b,x,y} > 1. In 2004, Mihailescu [4] proved the Catalan’s conjecture.
In 2007, Acu [1] proved that (3,0,3) and (2,1,3) are only two solutions (x,y,z) for the Diophantine equation 2x + 5y = z2 where x,y and z are nonnegative integers. The proof uses the Catalan’s conjecture.
In 2011, Suvarnamani, Singta and Chotchaisthit [6] proved that the two Diophantine equations 4x + 7y = z2 and 4x + 11y = z2 have no non-negative integer solution. The proof uses the Catalan’s conjecture.
In the same year, Suvarnamani [5] found some non-negative integer solutions for the Diophantine equation of type 2x + py = z2 where p is a positive prime number. He showed that if p = 2, then there are infinitely many solutions for the equation. The proof uses the Catalan’s conjecture.

Received: July 17, 2012 2012url:Academicwww.acadpubl.euPublications, Ltd.
606 B. Sroysang
In 2012, Chotchaisthit [3] found all non-negative integer solutions for the Diophantine equation of type 4x +py = z2 where p is a positive prime number. The proof uses the Catalan’s conjecture.
In this paper, we will use the the Catalan’s conjecture to show that (1,0,2) is a unique solution (x,y,z) for the Diophantine equation 3x + 5y = z2 where x,y and z are non-negative integers.
2. Preliminaries
In this section, we use the Catalan’s conjecture to prove the two Lemmas.
Proposition 2.1. [4] (3,2,2,3) is a unique solution (a,b,x,y) for the Diophantine equation ax−by = 1 where a,b,x and y are integers with min{a,b,x,y} >
1.
Lemma 2.2. (1,2) is a unique solution (x,z) for the Diophantine equation 3x + 1 = z2 where x and z are non-negative integers.
Proof. Let x,y and z be non-negative integers such that 3x + 1 = z2. If x = 0, then z2 = 2 which is impossible. Then x ≥ 1. Thus, z2 = 3x + 1 ≥ 31 + 1 = 4. Then z ≥ 2. Now, we consider on the equation z2 − 3x = 1. By Proposition 2.1, we have x = 1. Then z = 2. Hence, (1,2) is a unique solution (x,z) for the equation 3x +1 = z2 where x and z are non-negative integers.
Lemma 2.3. The Diophantine equation 1 + 5y = z2 has no non-negative integer solution.
Proof. Suppose that there are non-negative integers y and z such that 1 + 5y = z2. If y = 0, then z2 = 2 which is impossible. Then y ≥ 1. Thus, z2 = 1 + 5y ≥ 1 + 51 = 6. Then z ≥ 3. Now, we consider on the equation z2 − 5y = 1. By Proposition 2.1, we have y = 1. Then z2 = 6. This is a contradiction. Hence, the equation 1 + 5y = z2 has no non-negative integer solution.
3. Results
Theorem 3.1. (1,0,2) is a unique solution (x,y,z) for the Diophantine equation 3x + 5y = z2 where x,y and z are non-negative integers.
ON THE DIOPHANTINE EQUATION... 607
Proof. Let x,y and z be non-negative integers such that 3x + 5y = z2. By Lemma 2.3, we have x ≥ 1. Now, we divide the number y into two cases.
Case y ≥ 1. Note that z is even. Then z2 ≡ 0 (mod 4). Since 5 ≡ 1 ( mod 4), it follows that 3x ≡ 3 (mod 4). Thus, x is odd. Then 3x ≡ 2 (mod 5) or 3x ≡ 3 (mod 5). We obtain that z2 ≡ 2 (mod 5) or z2 ≡ 3 (mod 5). This is impossible.
Case y = 0. By Lemma 2.2, we have x = 1 and z = 2.
Therefore, (1,0,2) is a unique solution (x,y,z) for the equation 3x+5y = z2 where x,y and z are non-negative integers.
Corollary 3.2. The Diophantine equation 3x + 5y = w4 has no nonnegative integer solution.
Proof. Suppose that there are non-negative integers x,y and w such that 3x + 5y = w4. Let z = w2. Then 3x + 5y = z2. By Theorem 3.1, we have (x,y,z) = (1,0,2). Then w2 = z = 2. This is a contradiction. Hence, the equation 3x + 5y = w4 has no non-negative integer solution.
4. Open Problem
We note in our results that 3 and 5 are odd prime numbers such that 5−3 = 2. Let p and q be positive odd prime numbers such that q − p = 2. We may ask for the set of all solutions (x,y,z) for the Diophantine equation px + qy = z2 where x,y and z are non-negative integers.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เสียง 81 หมายเลข 4 2012, 605-608นอก: 1311-8080 (ฉบับพิมพ์) url: http://www.ijpam.euในสมการ DIOPHANTINE3 x + 5y = z2บัญญัติ Sroysangภาควิชาคณิตศาสตร์และสถิติคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ศูนย์รังสิต ปทุมธานี 12121 ไทย APijpam.euสมุดรายวันระหว่างประเทศของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และใช้ บทคัดย่อ: ในกระดาษนี้ เราแสดงว่าสมการ Diophantine 3 x + 5y = z2 มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบเฉพาะ การแก้ปัญหา (x, y, z) เป็น (1,0,2)จัดประเภทเรื่อง AMS: 61 D 11คำสำคัญ: สมการ Diophantine เนน1. บทนำใน 1844 คาตาลัน [2] ทำให้เกิดข้อความคาดการณ์ที่ว่า (3,2,2,3) คือ โซลูชันเฉพาะ (a, b, x, y) สำหรับ Diophantine สมการ ax −โดย = 1 a, b, x และ y เป็นจำนวนเต็มกับ min {a, b, x, y } > 1 ในปี 2004, Mihailescu [4] พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของคาตาลันในปี 2007, Acu [1] ได้ที่ (3,0,3) และ (2,1,3) มีเพียงสองวิธี (x, y, z) ในสมการ Diophantine 2 x + 5y = z2 ที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ nonnegative หลักฐานการใช้ข้อความคาดการณ์ของคาตาลันใน 2011, Suvarnamani, Singta และ Chotchaisthit [6] พิสูจน์ที่สมการ Diophantine สอง 4 x + 7y = z2 และการ 4 x + 11y = z2 ได้แก้ปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบไม่ หลักฐานการใช้ข้อความคาดการณ์ของคาตาลันในปีเดียวกัน Suvarnamani [5] พบปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบสมการ Diophantine ชนิด 2 x + py = z2 ที่ p เป็นจำนวนเฉพาะบวก เขาพบว่าถ้า p = 2 แล้วเพียบมีหลายโซลูชั่นสำหรับสมการ หลักฐานการใช้ข้อความคาดการณ์ของคาตาลัน รับ: 17 กรกฎาคม 2012 2012url:Academic www.acadpubl.euPublications จำกัด606 Sroysang เกิดใน 2012, Chotchaisthit [3] พบทั้งหมดจำนวนเต็มไม่เป็นลบโซลูชันสำหรับสมการ Diophantine ชนิด 4 x + py = z2 ที่ p เป็นจำนวนเฉพาะบวก หลักฐานการใช้ข้อความคาดการณ์ของคาตาลันในเอกสารนี้ เราจะใช้ในคาตาลันของนึกจะแสดงที่ (1,0,2) คือ โซลูชันเฉพาะ (x, y, z) ในสมการ Diophantine 3 x + 5y = z2 ที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ2. preliminariesในส่วนนี้ เราใช้ข้อความคาดการณ์ของคาตาลันพิสูจน์ Lemmas สอง2.1 ข้อเสนอ [4] (3,2,2,3) คือโซลูชันเฉพาะ (a, b, x, y) สำหรับ ax−by สมการ Diophantine = 1 a, b, x และ y เป็นจำนวนเต็มกับ min {a, b, x, y } >1จับมือ 2.2 (1, 2) เป็นการเฉพาะ (x, z) ในสมการ Diophantine 3 x + 1 = z2 ที่ x และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบหลักฐานการ ให้ x, y และ z จะมีค่าลบเป็นจำนวนเต็มเช่นนั้น x 3 + 1 = z2 ถ้า x = 0 แล้ว z2 = 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ แล้ว x ≥ 1 ดังนั้น z2 = 3 x + 1 ≥ 31 + 1 = 4 แล้ว z ≥ 2 ตอนนี้ เราพิจารณาบน− z2 สมการ 3 x = 1 โดยเสนอ 2.1 เราได้ x = 1 แล้ว z = 2 ดังนั้น, (1, 2) เป็นการเฉพาะ (x, z) ในสมการ 3 x + 1 = z2 ที่ x และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ จับมือ 2.3 สมการ Diophantine 1 + 5y = z2 ได้แก้ปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบไม่หลักฐานการ สมมติว่า มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ y และ z ดังกล่าวที่ 1 + 5y = z2 ถ้า y = 0 แล้ว z2 = 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ แล้ว y ≥ 1 ดังนั้น z2 = 1 + 5y ≥ 1 + 51 = 6 แล้ว z ≥ 3 ตอนนี้ เราพิจารณาในสมการ z2 − 5y = 1 โดยเสนอ 2.1 เราได้ y = 1 แล้ว z2 = 6 นี่คือความขัดแย้ง ดังนั้น สมการ 1 + 5y = z2 ได้แก้ปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบไม่ 3. ผลลัพธ์ทฤษฎีบท 3.1 (1,0,2) เป็นการเฉพาะ (x, y, z) ในสมการ Diophantine 3 x + 5y = z2 ที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบในสมการ DIOPHANTINE ... 607หลักฐานการ ให้ x, y และ z จะมีค่าลบเป็นจำนวนเต็มเช่นนั้น 3 x + 5y = z2 โดยจับมือ 2.3 เรามี x ≥ 1 ตอนนี้ เราแบ่งเลข y เป็นสองกรณีกรณี y ≥ 1 หมายเหตุที่ z จะได้ แล้ว z2 ≡ 0 (mod 4) ตั้งแต่ 5 ≡ 1 (mod 4), เป็นไปตามที่≡ 3 x 3 (mod 4) ดังนั้น x เป็นคี่ ≡ x 3 แล้ว 2 (mod 5) หรือ 3 ≡ x (mod 5) 3 เรารับที่ z2 ≡ 2 (mod 5) หรือ≡ z2 (mod 5) 3 นี้เป็นไปไม่ได้กรณี y = 0 โดยจับมือ 2.2 เราได้ x = 1 และ z = 2ดังนั้น, (1,0,2) เป็นการเฉพาะ (x, y, z) ในสมการ 3 x + 5y = z2 ที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ Corollary 3.2 สมการ Diophantine 3 x + 5y = w4 มีโซลูชันเต็ม nonnegative ไม่หลักฐานการ สมมติว่า มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ x, y และ w เช่นนั้น 3 x + 5y = w4 ให้ z = w2 แล้ว 3 x + 5y = z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี (x, y, z) = (1,0,2) แล้ว w2 = z = 2 นี่คือความขัดแย้ง ดังนั้น สมการ 3 x + 5y = w4 ได้แก้ปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบไม่ 4. เปิดปัญหาเราทราบในผลลัพธ์ของ 3 และ 5 คี่นายกหมายเลขดังกล่าวนั้น 5−3 = 2 ให้ p และ q เป็นจำนวนคี่นายกบวกดังกล่าวที่ q − p = 2 ตรวจสอบชุดของโซลูชันทั้งหมด (x, y, z) ในสมการ Diophantine px + qy = z2 ที่ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เล่มที่ 81 ฉบับที่ 4 ปี 2012 605-608
ISSN: 1311-8080 (รุ่นที่พิมพ์) url: http://www.ijpam.eu
บน Diophantine สมการ
3x + 5Y = z2
บัญญัติ Sroysang
ภาควิชาคณิตศาสตร์และสถิติ
คณะวิทยาศาสตร์และ เทคโนโลยี
มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
ศูนย์รังสิตจังหวัดปทุมธานี 12121 ประเทศไทย AP
ijpam.eu
วารสารนานาชาติบริสุทธิ์และประยุกต์คณิตศาสตร์บทคัดย่อ: ในบทความนี้เราแสดงให้เห็นว่าสม Diophantine 3x + 5Y = z2 มีทางออกจำนวนเต็มไม่ใช่เชิงลบที่ไม่ซ้ำกัน วิธีการแก้ปัญหา (x, y, z) เป็น (1,0,2). เรื่องการจำแนกประเภท AMS: 11 D 61 คำสำคัญ: สม Diophantine ชี้แจง1 บทนำใน 1844, คาตาลัน [2] เกิดการคาดเดาว่า (3,2,2,3) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (b, x, y) สำหรับขวานสม Diophantine - 1 = ที่ b, x และ y ที่เป็นจำนวนเต็มกับนาที {b, x, y}> 1. ในปี 2004 Mihailescu [4] ได้รับการพิสูจน์การคาดเดาของคาตาลัน. ในปี 2007 Acu [1] พิสูจน์ให้เห็นว่า (3,0,3) และ (2,1 3) มีเพียงสองโซลูชั่น (x, y, z) สำหรับสม Diophantine 2x + 5Y = z2 ที่ x, y z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ หลักฐานที่ใช้ในการคาดเดาของคาตาลัน. ในปี 2011 Suvarnamani, Singta และ Chotchaisthit [6] พิสูจน์ให้เห็นว่าทั้งสองสม Diophantine 4x + 7Y = z2 และ 4x + 11y = z2 มีจำนวนเต็มไม่มีการแก้ปัญหาที่ไม่ใช่เชิงลบ หลักฐานที่ใช้ในการคาดเดาของคาตาลัน. ในปีเดียวกัน Suvarnamani [5] พบว่าบางที่ไม่ใช่เชิงลบสำหรับโซลูชั่นจำนวนเต็มสม Diophantine ประเภท 2x + PY = z2 ที่พีเป็นจำนวนเฉพาะบวก เขาแสดงให้เห็นว่าถ้า p = 2 แล้วมีการแก้ปัญหาหลายอย่างมากมายสำหรับสมการ หลักฐานที่ใช้ในการคาดเดาของคาตาลัน. ที่ได้รับ: 17 กรกฎาคม 2012 2012url: Academicwww.acadpubl.euPublications จำกัด606 B. Sroysang ในปี 2012 Chotchaisthit [3] พบโซลูชั่นจำนวนเต็มไม่เป็นลบสำหรับสม Diophantine ของ 4x ชนิด + PY = z2 ที่พีเป็นจำนวนเฉพาะบวก หลักฐานที่ใช้ในการคาดเดาของคาตาลัน. ในบทความนี้เราจะใช้การคาดเดาคาตาลันที่จะแสดงให้เห็นว่า (1,0,2) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (x, y, z) สำหรับสม Diophantine 3x + 5Y = z2 ที่ x , y z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ. 2 รอบคัดเลือกโซนในส่วนนี้เราจะใช้การคาดเดาของคาตาลันที่จะพิสูจน์ว่าทั้งสอง lemmas. โจทย์ 2.1 [4] (3,2,2,3) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (b, x, y) สำหรับสม Diophantine ขวาน = 1 โดยที่ b, x และ y เป็นจำนวนเต็มกับนาที {ข , x, y}> 1. บทแทรก 2.2 (1,2) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (x, ซี) เพื่อให้สม Diophantine 3x + 1 = z2 ที่ x z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ. หลักฐาน ให้ x, y z และจะ integers เชิงลบดังกล่าวที่ 3x + 1 = z2 ถ้า x = 0 แล้ว z2 = 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ แล้ว x ≥ 1 ดังนั้น z2 = 3x + 1 ≥ 31 + 1 = 4 แล้ว≥ซี 2 ตอนนี้เราจะพิจารณาในสมการ z2 - 3x = 1 โดยโจทย์ 2.1 เรามี x = 1 แล้วซี = 2. ดังนั้น (1,2) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (x, ซี) สำหรับสมการ 3x 1 = z2 ที่ x z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ. บทแทรก 2.3 สม Diophantine 1 + 5Y = z2 ไม่มีการแก้ปัญหาไม่ใช่จำนวนเต็มลบ. หลักฐาน สมมติว่ามีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ Y และ Z ดังกล่าวว่า 1 + 5Y = z2 ถ้า y = 0 แล้ว z2 = 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ จากนั้นปี≥ 1 ดังนั้น z2 = 1 + 5Y ≥ 1 + 51 = 6. จากนั้น≥ซี 3 ตอนนี้เราจะพิจารณาในสมการ z2 - 5Y = 1 โดยโจทย์ 2.1 เรามี y = 1 แล้ว z2 = 6. นี่คือความแตกต่าง ดังนั้นสมการ 1 + 5Y = z2 ไม่มีการแก้ปัญหาไม่ใช่จำนวนเต็มลบ. 3 ผลทฤษฎีบท 3.1 (1,0,2) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (x, y, z) สำหรับสม Diophantine 3x + 5Y = z2 ที่ x, y z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ. บน Diophantine สม ... 607 หลักฐาน ให้ x, y z และจะ integers เชิงลบดังกล่าวที่ 3x + 5Y = z2 โดยบทแทรก 2.3 เรามี x ≥ 1 ตอนนี้เราแบ่ง y ที่หมายเลขลงในสองกรณี. วายกรณี≥ 1. โปรดทราบว่าซีจะยิ่ง จากนั้น z2 ≡ 0 (4 สมัย) ตั้งแต่ 5 ≡ 1 (4 สมัย) มันตามที่ 3x ≡ 3 (4 สมัย) ดังนั้น x เป็นเลขคี่ แล้ว 3x ≡ 2 (สมัย 5) หรือ 3x ≡ 3 (สมัย 5) เราได้รับที่ z2 ≡ 2 (สมัย 5) หรือ z2 ≡ 3 (สมัย 5) นี้เป็นไปไม่ได้. กรณี Y = 0 โดยบทแทรก 2.2 เรามี x = 1 และ Z = 2 ดังนั้น (1,0,2) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (x, y, z) สำหรับสมการ 3x + 5Y = z2 ที่ x, y z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ. ควันหลง 3.2 สม Diophantine 3x + 5Y = W4 ไม่มีการแก้ปัญหาจำนวนเต็ม nonnegative. หลักฐาน สมมติว่ามีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ x, y และกว้างเช่นที่ 3x + 5Y = W4 ให้ซี = w2 แล้ว 3x + 5Y = z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี (x, y, z) = (1,0,2) จากนั้น w2 = Z = 2 นี้เป็นความขัดแย้ง ดังนั้นสมการ 3x + 5Y = W4 มีจำนวนเต็มไม่มีการแก้ปัญหาที่ไม่ใช่เชิงลบ. 4 เปิดปัญหาเราทราบในผลการของเราที่ 3 และ 5 เป็นตัวเลขที่สำคัญแปลกเช่นที่ 5-3 = 2 ให้ p และ q เป็นบวกตัวเลขที่สำคัญดังกล่าวที่แปลกคิว - p = 2 เราอาจจะถามสำหรับชุดของการแก้ปัญหาทั้งหมด ( x, y, z) สำหรับสม Diophantine px + QY = z2 ที่ x, y z และเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ไม่ 4 2012 กําหนด 605-608
ISSN : 1311-8080 ( พิมพ์รุ่น ) URL : http : / / www.ijpam อียูในสมการไดโอแฟนไทน์

3 x 5y = บัญญัติ สุขขังกขึ้น


ภาควิชาคณิตศาสตร์และสถิติ คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

ศูนย์รังสิต ปทุมธานี 12121 , ไทย AP
ijpam . สหภาพยุโรป
วารสารคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ :

สรุปในกระดาษนี้เราพบว่า สมการไดโอแฟนไทน์ = 3x 5y กขึ้นมีลักษณะเฉพาะไม่ลบจำนวนเต็ม โซลูชั่น โซลูชั่น ( X , Y , Z ) ( 1,0,2 ) .
AMS เรื่องหมวดหมู่ : 11 D
คำสำคัญ : สมการไดโอแฟนไทน์ 61 (
1 บทนำ
ใน 1844 , คาตาลัน [ 2 ] เคยคาดเดาว่า ( 3,2,2,3 ) เป็นโซลูชั่น ( A , B , X , Y ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ขวาน−โดย = 1 ที่ A , B , x และ y เป็นจำนวนเต็มกับมิน { A , B , X ,y } 1 ในปี 2004 mihailescu [ 4 ] พิสูจน์ คาตาลัน คือการคาดเดา .
( ACU [ 1 ] พิสูจน์ว่า ( 3,0,3 ) และ ( 2,1,3 ) มีเพียงสองโซลูชั่น ( X , Y , Z ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ = 2x 5y กขึ้นที่ x , y และ z เป็นจำนวนเต็ม nonnegative . หลักฐานที่ใช้ คาตาลัน คือการคาดเดา suvarnamani
ใน 2011 ,และ singta chotchaisthit [ 6 ] พิสูจน์ได้ว่าสองสมการไดโอแฟนไทน์ 4x 7y = กขึ้นและ 4 11y = กขึ้นไม่มีไม่ลบจำนวนเต็ม โซลูชั่น หลักฐานที่ใช้ คาตาลัน คือการคาดเดา .
ในปีเดียวกัน suvarnamani [ 5 ] พบบางอย่างที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบโซลูชั่นสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ประเภท 2x PY = กขึ้นที่ P เป็นบวก จำนวนเฉพาะ เขาพบว่า ถ้า p = 2แล้วมีเพียบหลายโซลูชั่นสำหรับสมการ หลักฐานที่ใช้ คาตาลัน คือการคาดเดา

ได้รับ : 17 กรกฎาคม 2555 2012url : academicwww.acadpubl.eupublications จำกัด

เดี๋ยวบี สุขขังใน 2012 , chotchaisthit [ 3 ] พบทั้งหมดที่ไม่ใช่จำนวนเต็มลบโซลูชั่นสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ชนิด 4x PY = กขึ้นที่ P เป็นบวก จำนวนเฉพาะ หลักฐานที่ใช้ คาตาลัน คือการคาดเดา .
ในบทความนี้เราจะใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าการคาตาลัน ( 1,0,2 ) เป็นโซลูชั่น ( X , Y , Z ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ = 3x 5y กขึ้นที่ x , y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ .
2 รอบคัดเลือก
ในส่วนนี้ เราใช้ คาตาลัน คือการคาดเดาว่าสอง lemmas .
) 2.1 . [ 4 ] ( 3,2,2,3 ) เป็นโซลูชั่น ( A , B , X , Y ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ขวาน−โดย = 1 ที่ บีx และ y เป็นจำนวนเต็มกับมิน { A , B , X , Y } >
1
แทรก 2.2 . ( 2 ) เป็นโซลูชั่น ( x , z ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ 3 x 1 = กขึ้นที่ X และ Z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ .
พิสูจน์ ให้ x , y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ 3 x 1 = กขึ้น . ถ้า x = 0 แล้วกขึ้น = 2 ซึ่งมันเป็นไปไม่ได้ แล้ว X ≥ 1 ดังนั้น กขึ้น = 3x 1 ≥ 31 1 = 4 แล้ว Z ≥ 2 ตอนนี้ เราพิจารณาสมการกขึ้น 3x = − 1