The development of piezoelectric mo

The development of piezoelectric motors has spurred an interest in the vibration characteristics of plates laminated with piezoelectric materials. In particular, this paper studies an annular plate composed of one stainless steel lamina and either one or two piezoelectric laminas, a common configuration for piezoelectric motors. The stainless steel layer has teeth milled into the top surface for improved motor behavior. The motion of the teeth is an important characteristic of the motor's performance and is described in detail in this paper. An analytical technique is developed that determines the vibration of the laminate given the input into the piezoelectric layers, and predicts the resulting motion of the teeth.

INTRODUCTION

Piezoelectric motors were developed in the early eighties in response to the need for a lightweight, high-torque, and low-speed motor for fractional horsepower applications. Although the original inventor of the piezoelectric motor remains somewhat in question (many believe H. V. Barth [1] is responsible for the original design), there is no argument about who is responsible for the subsequent development of piezoelectric motor systems. Akio Kumada [2-4], Toshiiku Sashida [5,6], Sadayuki Ueha [7], and many other Japanese researchers have developed high performance piezoelectric motors for a variety of applications. While piezoelectric motor design continues in Japan and to a lesser extent in the United States and Germany, the kinematics of the motors has received scant attention.
Hagedorn et al. have demonstrated a simple model for the free vibration of a stator disk [8] and an improved model, using finite element analysis, for the free vibration of a disk with nonuniform thickness [9]. However, forcing due to the piezoelectric elements and the laminated nature of the stator are ignored in their studies. Including these factors into the model makes it more difficult to avoid finite element analysis, and, indeed, Maeno, et al. studied a ring motor including two-body contact mechanics [10] using a finite element analysis program. Bogy and Maeno [11] examined the motor again with contact mechanics and fluid interaction using a combination of analytical and finite element analysis techniques.

Most laminated structures are modeled as a collection of layers with specific material properties. Several approaches to modeling the laminate are possible; classical lamination theory [12], first-order and higher-order shear deformation theories with or without rotary inertia [13,14], and a relatively unique and complex procedure by Reddy, et al. [15,16] are representative of common solution techniques. Tzou has developed general laminated composite deep-shell equations [17-20] specifically for piezoelectrically forced structures. However, all of these methods are limited in their capability to model asymmetric laminated structures with closed-form solutions. With the exception of classical lamination theory and a few cases with the first-order shear deformation theory, the problem to be solved always requires finite element analysis. While finite element analysis (FEA) is indispensable for many applications, particularly with complex geometries, it is inconvenient for system design. Each design iteration requires a new finite element mesh to be generated and a new numerical solution to be obtained. This process, known as FEA parametric optimization, is computationally expensive, and it provides a compelling reason to seek analytical solutions.

Approaching the problem with the caveat that all solutions must be closed-form solutions has its own difficulties, however. There is no assurance that the solution will resemble the "correct answer" after making necessary approximations and there may be no solution at all for many complex systems. Finite element analysis is avoided by using judicious approximations that retain the behavior of the laminated structure and the teeth. The class of piezo


The double dot indicates an inner product over two indices of the tensors (A list of symbols is provided in the nomenclature at the end of this paper). This relatively general form is difficult to work with, but by making two assumptions, the equations may be simplified. For the entire volume of an elastic body, excluding the exterior surfaces and interior flaws, the stress tensor is symmetric, so an initial assumpution is that the stress tensor is symmetric throughout the area of interest. Further, for this application (and for most others), the electrical field travels through the material at much higher speeds than the strain field -- fast enough to assume that from the perspective of the mechanical motion of the plate, the electrical fields in the piezoelectric laminas change instantaneously. In other words, the motion of the piezoelectric laminates is quasistatic. By contracting the tensor notation as in Auld [21] and applying the symmetric stress tensor assumptions, equation simplifies to

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การพัฒนาของมอเตอร์ piezoelectric ได้กระตุ้นความสนใจในลักษณะการสั่นของแผ่นลามิเนตกับวัสดุ piezoelectric โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ศึกษากระดาษนี้มีแผ่นแหวนประกอบด้วยแผ่นใบสแตนเลสหนึ่งและหนึ่ง หรือสองชั่น laminas การกำหนดค่าทั่วไปสำหรับมอเตอร์ piezoelectric ชั้นสแตนเลสมีฟันที่ปลายเป็นผิวด้านเพื่อปรับปรุงพฤติกรรมของมอเตอร์ การเคลื่อนที่ของฟันคือ คุณลักษณะสำคัญของประสิทธิภาพการทำงานของมอเตอร์ และอธิบายไว้ในรายละเอียดในเอกสารนี้ เทคนิคการวิเคราะห์พัฒนาที่กำหนดการสั่นสะเทือนของลามิเนตที่ได้รับการป้อนข้อมูลลงไปชั่น และทำนายการเคลื่อนที่เป็นผลลัพธ์ของฟันแนะนำมอเตอร์ piezoelectric ถูกพัฒนาในอันดับต้นในการตอบสนองความต้องการน้ำหนักเบา แรง บิดสูง และความ เร็วต่ำสำหรับมอเตอร์ที่ใช้โปรแกรมประยุกต์เศษส่วนแรงม้า แม้ว่านักประดิษฐ์เดิมของมอเตอร์ piezoelectric ยังคงค่อนข้างในคำถาม (หลายเชื่อ H. V. Barth [1] มีหน้าที่ในการออกแบบเดิม), มีข้อโต้แย้งเกี่ยวกับที่รับผิดชอบพัฒนาระบบมอเตอร์ piezoelectric ต่อมา อาคิโอะ Kumada [2-4], Toshiiku Sashida [5,6], Sadayuki Ueha [7], และนักวิจัยญี่ปุ่นอื่น ๆ จำนวนมากได้พัฒนามอเตอร์ piezoelectric ประสิทธิภาพสูงสำหรับการใช้งานที่หลากหลาย ในขณะออกแบบมอเตอร์ piezoelectric ที่ยังคง ในญี่ปุ่น และในระดับน้อยในสหรัฐอเมริกาและเยอรมนี กลศาสตร์ของมอเตอร์ได้รับความสนใจไม่เพียงพอHagedorn et al.ได้แสดงให้เห็นแบบจำลองอย่างง่ายสำหรับการสั่นสะเทือนฟรีของสเตเตอร์ดิสก์ [8] และแบบดีขึ้น โดยใช้การวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด การสั่นสะเทือนฟรีของดิสก์หนา nonuniform [9] อย่างไรก็ตาม บังคับให้เนื่องจากองค์ประกอบชั่นและธรรมชาติลามิเนตของตัวสเตเตอร์จะถูกละเว้นในการศึกษา รวมถึงปัจจัยเหล่านี้ลงในรูปแบบทำให้ยากต่อการหลีกเลี่ยงการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด และ แน่นอน Maeno, et al.ศึกษามอเตอร์แหวนรวมทั้งสองร่างกายติดต่อกลศาสตร์ [10] โดยใช้โปรแกรมวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด Bogy และ Maeno [11] การตรวจสอบมอเตอร์อีก ด้วยติดต่อกลศาสตร์และใช้เทคนิคการวิเคราะห์องค์ประกอบการวิเคราะห์ และจำกัดการโต้ตอบของเหลวสุดลามิเนตโครงสร้างที่จำลองเป็นคอลเลกชันของชั้นกับคุณสมบัติเฉพาะของวัสดุ วิธีการต่าง ๆ การสร้างแบบจำลองลามิเนตทำได้ ทฤษฎีคลาสสิกเคลือบ [12], ลำดับแรก และ ลำดับสูงเฉือนทฤษฎีผิดรูป หรือ ไม่ความเฉื่อยโรตารี่ [13,14], และกระบวนการค่อนข้างซับซ้อน และไม่ซ้ำกัน โดย Reddy, et al. [15,16] เป็นตัวแทนของเทคนิควิธีการแก้ไขปัญหาทั่วไป Tzou ได้พัฒนาทั่วไปเคลือบผสมเปลือกลึกสมการ [17-20] โดยเฉพาะสำหรับโครงสร้างบังคับ piezoelectrically อย่างไรก็ตาม วิธีเหล่านี้ทั้งหมดจะถูกจำกัดความสามารถของพวกเขากับโครงสร้างแบบไม่สมมาตรที่เคลือบด้วยโซลูชันฟอร์มปิด ข้อยกเว้นทฤษฎีคลาสสิกเคลือบและบางกรณีกับทฤษฎีแมพของแรงเฉือนลำดับแรก ปัญหาสามารถแก้ไขได้เสมอต้องการวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด ในขณะที่การวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด (FEA) ขาดไม่ได้สำหรับการใช้งานมาก โดยเฉพาะรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน คือไม่สะดวกสำหรับการออกแบบระบบ แผนการออกแบบต้องการแบบตาข่ายไนต์ใหม่ที่จะสร้างและโซลูชันตัวเลขใหม่จะได้รับ กระบวนการนี้ เรียกว่าเพิ่มประสิทธิภาพ FEA พาราเมตริก เป็น computationally ราคาแพง และให้เหตุผลน่าสนใจเพื่อหาทางแก้ปัญหาที่วิเคราะห์เข้าใกล้ปัญหากับ caveat ว่า โซลูชันทั้งหมดต้องปิดฟอร์มโซลูชั่นมีความยากลำบากของตัวเอง อย่างไรก็ตาม จะไม่รับประกันว่า การแก้ปัญหาจะมีลักษณะถูกต้องตอบ"หลังจากทำเพียงการประมาณความจำเป็น และอาจมีวิธีใดที่ทั้งหมดสำหรับระบบที่ซับซ้อนมากขึ้น การวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดหลีกเลี่ยง โดยใช้ approximations ส่วนที่รักษาลักษณะการทำงานของโครงสร้างเคลือบฟัน ชั้นของ piezoคู่จุดบ่งชี้ว่า การคูณภายในผ่านดัชนีสองของ tensors (สัญลักษณ์ไว้ในระบบการตั้งชื่อที่ท้ายเอกสารนี้) แบบฟอร์มนี้ทั่วไปค่อนข้างจะยากที่จะทำงานกับ แต่ โดยสมมติฐานสอง สมการอาจประยุกต์ สำหรับไดรฟ์ข้อมูลทั้งหมดของร่างกายการยืดหยุ่น ยกเว้นพื้นผิวภายนอกและตำหนิภายใน tensor เครียดจึงสมมาตร assumpution การเริ่มต้นคือ tensor เครียดสมมาตรทั่วบริเวณต้องการ เพิ่มเติม สำหรับโปรแกรมนี้ (และคนอื่น ๆ ส่วนใหญ่), สนามไฟฟ้าเดินทางผ่านวัสดุที่มากความเร็วที่สูงกว่าสายพันธุ์ฟิลด์ - เร็วพอเพื่อสมมติว่า จากมุมมองของการเคลื่อนไหวทางกลของแผ่น ไฟฟ้าฟิลด์ใน laminas ชั่นเปลี่ยนทันที ในคำอื่น ๆ การเคลื่อนที่ของลามิเนต piezoelectric คือ quasistatic โดยทำสัญญาสัญกรณ์ tensor ใน Auld [21] และใช้สมมติฐาน tensor เครียดสมมาตร สมการง่าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การพัฒนามอเตอร์ piezoelectric ได้กระตุ้นความสนใจในลักษณะการสั่นสะเทือนของแผ่นเคลือบด้วยวัสดุ piezoelectric โดยเฉพาะอย่างยิ่งงานวิจัยนี้ศึกษาแผ่นวงแหวนประกอบด้วยแผ่นสแตนเลสและคนใดคนหนึ่งหรือสอง Laminas piezoelectric, การกำหนดค่าทั่วไปสำหรับมอเตอร์ piezoelectric ชั้นสแตนเลสมีฟันบดลงไปในพื้นผิวด้านบนสำหรับพฤติกรรมมอเตอร์ที่ดีขึ้น การเคลื่อนไหวของฟันเป็นลักษณะสำคัญของประสิทธิภาพการทำงานของมอเตอร์และมีการอธิบายในรายละเอียดในบทความนี้ เทคนิคการวิเคราะห์มีการพัฒนาที่กำหนดการสั่นสะเทือนของลามิเนตที่ได้รับการป้อนข้อมูลลงในชั้น piezoelectric และคาดการณ์การเคลื่อนไหวที่เกิดจากฟัน.

บทนำ

มอเตอร์ Piezoelectric ถูกพัฒนาขึ้นในช่วงแปดในการตอบสนองต่อความจำเป็นในการที่มีน้ำหนักเบาสูงแรงบิด และมอเตอร์ความเร็วต่ำสำหรับการใช้งานที่เป็นเศษส่วนแรงม้า แม้ว่านักประดิษฐ์เดิมของมอเตอร์ piezoelectric ยังคงอยู่บ้างในคำถาม (หลายคนเชื่อว่า HV รธ์ [1] เป็นผู้รับผิดชอบในการออกแบบเดิม) มีข้อโต้แย้งเกี่ยวกับผู้ที่รับผิดชอบในการพัฒนาตามมาของระบบมอเตอร์ piezoelectric ไม่มี อากิโอะ Kumada [2-4] Toshiiku Sashida [5,6] Sadayuki [7] Ueha และนักวิจัยชาวญี่ปุ่นอื่น ๆ อีกมากมายได้มีการพัฒนามอเตอร์ piezoelectric ประสิทธิภาพสูงสำหรับการใช้งานที่หลากหลาย ในขณะที่การออกแบบมอเตอร์ piezoelectric ยังคงอยู่ในประเทศญี่ปุ่นและในระดับน้อยในประเทศสหรัฐอเมริกาและเยอรมนีจลนศาสตร์ของมอเตอร์ที่ได้รับความสนใจขาดแคลน.
Hagedorn et al, ได้แสดงให้เห็นรูปแบบที่ง่ายสำหรับการสั่นสะเทือนฟรีดิสก์เตเตอร์ [8] และเป็นรูปแบบที่ดีขึ้นโดยใช้การวิเคราะห์องค์ประกอบ จำกัด สำหรับปราศจากการสั่นสะเทือนของแผ่นดิสก์ที่มีความหนาไม่สม่ำเสมอ [9] แต่บังคับให้เนื่องจากองค์ประกอบ piezoelectric และธรรมชาติลามิเนตของสเตเตอร์จะถูกละเลยในการศึกษาของพวกเขา รวมถึงปัจจัยเหล่านี้ในรูปแบบที่ทำให้มันยากที่จะหลีกเลี่ยงการวิเคราะห์องค์ประกอบ จำกัด , และแน่นอน Maeno, et al ศึกษามอเตอร์แหวนรวมทั้งกลไกการติดต่อสองร่างกาย [10] การใช้โปรแกรมการวิเคราะห์องค์ประกอบ จำกัด ปิศาจและ Maeno [11] ตรวจสอบมอเตอร์อีกครั้งกับกลศาสตร์การติดต่อและการมีปฏิสัมพันธ์ของเหลวโดยใช้การผสมผสานของเทคนิคการวิเคราะห์องค์ประกอบการวิเคราะห์และ จำกัด ได้.

โครงสร้างลามิเนตส่วนใหญ่จะจำลองเป็นคอลเลกชันของชั้นที่มีคุณสมบัติของวัสดุที่เฉพาะเจาะจง หลายวิธีในการสร้างแบบจำลองลามิเนตที่เป็นไปได้; ทฤษฎีคลาสสิกเคลือบ [12], ลำดับแรกและลำดับที่สูงกว่าทฤษฎีเฉือนความผิดปกติที่มีหรือไม่มีแรงเฉื่อยแบบหมุน [13,14] และเป็นขั้นตอนที่ค่อนข้างที่ไม่ซ้ำกันและซับซ้อนโดยเรดดี้, et al [15,16] เป็นตัวแทนของเทคนิคการร่วมกันแก้ปัญหา Tzou ได้มีการพัฒนาโดยทั่วไปเคลือบสมคอมโพสิตลึกเปลือก [17-20] โดยเฉพาะสำหรับโครงสร้างบังคับ piezoelectrically แต่ทุกวิธีการเหล่านี้จะถูก จำกัด ในความสามารถของพวกเขาในการจำลองโครงสร้างลามิเนตไม่สมมาตรกับการแก้ปัญหาปิดแบบฟอร์ม ด้วยข้อยกเว้นของทฤษฎีเคลือบคลาสสิกและบางกรณีที่มีลำดับแรกทฤษฎีการเปลี่ยนรูปเฉือนปัญหาได้รับการแก้ไขมักจะต้องวิเคราะห์องค์ประกอบ จำกัด ในขณะที่การวิเคราะห์ (FEA) จะขาดไม่ได้สำหรับการใช้งานเป็นจำนวนมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีรูปเรขาคณิตที่ซับซ้อนก็ไม่สะดวกสำหรับการออกแบบระบบ ซ้ำกันออกแบบต้องใช้ตาข่ายองค์ประกอบ จำกัด ใหม่จะถูกสร้างขึ้นและแก้ปัญหาเชิงตัวเลขใหม่ที่จะได้รับ กระบวนการนี้เรียกว่าการเพิ่มประสิทธิภาพ FEA พาราคอมพิวเตอร์ที่มีราคาแพงและให้เหตุผลที่น่าสนใจที่จะหาทางแก้ปัญหาการวิเคราะห์.

ใกล้ปัญหากับข้อแม้การแก้ปัญหาที่การแก้ปัญหาทั้งหมดจะต้องปิดแบบมีความยากลำบากของตัวเองอย่างไร มีความเชื่อมั่นว่าการแก้ปัญหาจะมีลักษณะคล้ายกับ "คำตอบที่ถูกต้อง" หลังจากการประมาณค่าที่จำเป็นและอาจจะมีวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ทั้งหมดสำหรับระบบที่ซับซ้อนมากไม่เป็น การวิเคราะจะหลีกเลี่ยงโดยใช้การประมาณฉลาดที่รักษาลักษณะการทำงานของโครงสร้างลามิเนตและฟัน ชั้นของ Piezo


จุดคู่บ่งชี้ว่าสินค้าภายในมากกว่าสองดัชนีของเทนเซอร์ (ที่รายชื่อของสัญลักษณ์ที่ระบุไว้ในการตั้งชื่อในตอนท้ายของบทความนี้) แบบฟอร์มนี้ค่อนข้างทั่วไปเป็นเรื่องยากที่จะทำงานด้วย แต่โดยการทำสองสมมติฐานสมอาจจะง่าย สำหรับปริมาณทั้งหมดของร่างกายยืดหยุ่นไม่รวมพื้นผิวภายนอกและข้อบกพร่องของการตกแต่งภายในเน้นเมตริกซ์เป็นสมมาตรดังนั้น assumpution เริ่มต้นคือเน้นเมตริกซ์เป็นสมมาตรทั่วพื้นที่ที่น่าสนใจ นอกจากนี้สำหรับโปรแกรมนี้ (และสำหรับคนอื่น ๆ ส่วนใหญ่) สนามไฟฟ้าเดินทางผ่านวัสดุที่ความเร็วสูงกว่าสนามความเครียด - เร็วพอที่จะคิดว่าจากมุมมองของการเคลื่อนไหวทางกลของแผ่นที่สนามไฟฟ้าใน Laminas piezoelectric เปลี่ยนทันที ในคำอื่น ๆ การเคลื่อนไหวของลามิเนต piezoelectric คือ quasistatic โดยการทำสัญญาสัญกรณ์เมตริกซ์เช่นเดียวกับใน Auld [21] และการประยุกต์ใช้สมมาตรสมมติฐานความเครียดเมตริกซ์สมการช่วยลดความยุ่งยากในการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การพัฒนามอเตอร์ piezoelectric ได้กระตุ้นความสนใจในการสั่นสะเทือนของแผ่นเคลือบด้วยวัสดุเพียโซอิเล็กทริกลักษณะ . โดยเฉพาะบทความนี้เป็นการศึกษาแบบเป็นจาน ประกอบด้วย แผ่นสแตนเลสหนึ่งและหนึ่งหรือสอง laminas piezoelectric , การตั้งค่าทั่วไปสำหรับเพียโซอิเล็กทริคมอเตอร์ ชั้นสแตนเลส มีฟันบดลงในพื้นผิวด้านบนสำหรับพฤติกรรมการเคลื่อนไหวดีขึ้น การเคลื่อนไหวของฟัน คือ ลักษณะสำคัญของการทำงานของมอเตอร์ และอธิบายในรายละเอียดในบทความนี้ เทคนิคการวิเคราะห์การพัฒนาที่กำหนดการสั่นสะเทือนของลามิเนตให้ป้อนข้อมูลเข้าไปในชั้น piezoelectric และคาดการณ์ผลการเคลื่อนไหวของฟันแนะนำมอเตอร์ piezoelectric ถูกพัฒนาขึ้นในยุคต้นในการตอบสนองความต้องการด้านเบามอเตอร์แรงบิดสูงและความเร็วสูงสำหรับการใช้งานแรงม้าเศษส่วน . แม้ว่านักประดิษฐ์เดิมของมอเตอร์ piezoelectric ยังคงค่อนข้างในคำถาม ( หลายคนเชื่อว่า เอช วี บาร์ท [ 1 ] เป็นผู้รับผิดชอบการออกแบบเดิม ) ไม่มีการโต้แย้งเกี่ยวกับผู้ที่รับผิดชอบการพัฒนาต่อมาระบบมอเตอร์ piezoelectric . โอะคุมาดะ [ 2-4 ] , toshiiku sashida [ 5 , 6 ] , ซาดายูกิ ueha [ 7 ] และนักวิจัยชาวญี่ปุ่นหลายอื่น ๆ ได้พัฒนาประสิทธิภาพสูงมอเตอร์ piezoelectric สำหรับความหลากหลายของการใช้งาน ในขณะที่การออกแบบมอเตอร์ piezoelectric อย่างต่อเนื่องในประเทศญี่ปุ่น และในระดับที่น้อยกว่าในสหรัฐอเมริกาและเยอรมนี การเคลื่อนที่ของมอเตอร์ได้รับหน้าสนใจฮาเกดอร์ et al . แสดงแบบจำลองอย่างง่ายสำหรับการสั่นสะเทือนแบบอิสระของ stator ดิสก์ [ 8 ] และการปรับปรุงรูปแบบโดยใช้การวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์สำหรับการสั่นสะเทือนแบบอิสระของดิสก์ที่มีความหนาสม่ำเสมอ [ 9 ] อย่างไรก็ตาม การบังคับ เนื่องจากองค์ประกอบ piezoelectric และเคลือบธรรมชาติของ stator จะไม่สนใจในการศึกษาของพวกเขา รวมทั้งปัจจัยเหล่านี้ในรูปแบบทำให้มันมากขึ้นยากที่จะหลีกเลี่ยงการวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์และแน่นอนมาเอโนะ , et al . ศึกษาวงแหวนมอเตอร์รวมทั้งสองกลศาสตร์การสัมผัสร่างกาย [ 10 ] การใช้ไฟไนต์เอลิเมนต์ในการวิเคราะห์โปรแกรม โบกี้มาเอโนะ [ 11 ] และตรวจสอบมอเตอร์อีกครั้งกับกลศาสตร์การสัมผัสและปฏิสัมพันธ์ของของไหลโดยใช้การรวมกันของเทคนิควิเคราะห์และวิธีวิเคราะห์องค์ประกอบส่วนใหญ่เคลือบโครงสร้างเป็นแบบคอลเลกชันของชั้นกับคุณสมบัติของวัสดุที่เฉพาะเจาะจง หลายวิธีของการลามิเนตที่เป็นไปได้ ; คลาสสิกทฤษฎี [ 12 ] และเคลือบ , เชิงทฤษฎีแรกเฉือนเสียรูป หรือไม่หมุนความเฉื่อย [ 13,14 ] และค่อนข้างเฉพาะ และซับซ้อน ขั้นตอนโดย Reddy , et al . [ 15,16 ] เป็นตัวแทนของวิธีการแก้ปัญหาทั่วไป tzou ได้พัฒนาทั่วไปเคลือบประกอบด้วยสมการ [ เปลือกลึก 17-20 ] เฉพาะสำหรับ piezoelectrically บังคับโครงสร้าง อย่างไรก็ตาม วิธีการเหล่านี้ทั้งหมดจะถูก จำกัด ในความสามารถของตนในรูปแบบไม่สมมาตรโครงสร้างรูปแบบปิดลามิเนต โซลูชั่น ด้วยข้อยกเว้นของทฤษฎีคลาสสิก เคลือบและไม่กี่รายแรกเฉือน ทฤษฎีการ ปัญหาที่ต้องแก้ไข ก็ต้องมีการวิเคราะห์ด้วยวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ ในขณะที่การวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์ ( FEA ) เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับหลายโปรแกรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีโครงสร้างซับซ้อน มันไม่สะดวกสำหรับการออกแบบระบบ การออกแบบแต่ละรูปต้องใช้ตาข่ายไฟไนต์เอลิเมนต์ใหม่ที่จะสร้างขึ้น และ ผลเฉลยเชิงตัวเลขใหม่ที่จะได้รับ กระบวนการนี้เรียกว่ายางพาราให้เหมาะสม คือ computationally แพง และให้เหตุผลที่น่าสนใจที่จะแสวงหาโซลูชั่นเชิงวิเคราะห์ใกล้ปัญหากับ caveat ว่าโซลูชั่นทั้งหมดต้องปิดแบบฟอร์ม โซลูชั่นส์ มีปัญหาของตัวเอง แต่ ไม่มีการรับประกันว่า การแก้ปัญหาจะคล้ายกับ " คำตอบ " ที่ถูกต้อง หลังจากทำการที่จำเป็นและอาจจะไม่มีวิธีที่ทั้งหมดสำหรับระบบที่ซับซ้อนมาก การวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์ คือหลีกเลี่ยงการใช้ความสุขุมที่รักษาพฤติกรรมของลามิเนตและโครงสร้างฟัน ชั้น ( ประเทศไทย ) จำกัดจุดคู่แสดงผลิตภัณฑ์ในกว่าสองดัชนีของสั่ง ( สัญลักษณ์ของรายการที่ระบุไว้ในการเรียกชื่อในตอนท้ายของบทความนี้ ) รูปแบบค่อนข้างทั่วไปนี้เป็นเรื่องยากที่จะทำงานด้วย แต่ด้วยการทำสองสมมติฐาน สมการอาจจะง่ายขึ้น หาปริมาตรทั้งหมดของร่างกายยืดหยุ่นไม่รวมพื้นผิวภายในและภายนอกตําหนิ ความเครียดเป็นเมตริกซ์สมมาตร ดังนั้นการ assumpution เริ่มต้นคือ ว่า ความเครียดเป็นเมตริกซ์สมมาตรตลอดพื้นที่ของดอกเบี้ย เพิ่มเติมสำหรับโปรแกรมนี้ ( และคนอื่น ๆส่วนใหญ่ ) , สนาม ไฟฟ้า เดินทางผ่านวัสดุที่ความเร็วที่สูงกว่าสายพันธุ์ฟิลด์ -- ได้อย่างรวดเร็วพอที่จะสันนิษฐานได้ว่า จากมุมมองของการเคลื่อนไหวเชิงกลของแผ่นด้านไฟฟ้าใน laminas piezoelectric เปลี่ยนทันที ในคำอื่น ๆ , การเคลื่อนไหวของเพียโซอิเล็กทริกลามิเนตเป็น quasistatic . โดยการทําสัญญาสัญกรณ์เป็นเมตริกซ์ใน Auld [ 21 ] และใช้สมการเมตริกซ์สมมาตรเครียดง่ายกับสมมติฐาน