In mathematics, the surreal number

In mathematics, the surreal number system is an arithmetic continuum containing the real numbers as well as infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller in absolute value than any positive real number. The surreals share many properties with the reals, including a total order ≤ and the usual arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division); as such, they form an ordered field. (Strictly speaking, the surreals are not a set, but a proper class.[1]) If formulated in Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, the surreal numbers are the largest possible ordered field; all other ordered fields, such as the rationals, the reals, the rational functions, the Levi-Civita field, the superreal numbers, and the hyperreal numbers, can be realized as subfields of the surreals.[2] It has also been shown (in Von Neumann–Bernays–Gödel set theory) that the maximal class hyperreal field is isomorphic to the maximal class surreal field; in theories without the axiom of global choice, this need not be the case, and in such theories it is not necessarily true that the surreals are the largest ordered field. The surreals also contain all transfinite ordinal numbers; the arithmetic on them is given by the natural operations.

In 1907 Hahn introduced Hahn series as a generalization of formal power series, and Hausdorff introduced certain ordered sets called ηα-sets for ordinals α and asked if it was possible to find a compatible ordered group or field structure. In 1962 Alling used a modified form of Hahn series to construct such ordered fields associated to certain ordinals α, and taking α to be the class of all ordinals in his construction gives a class that is an ordered field isomorphic to the surreal numbers.[3] Research on the go endgame by John Horton Conway led to a simpler definition and construction of the surreal numbers.[4] Conway's construction was introduced in Donald Knuth's 1974 book Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. In his book, which takes the form of a dialogue, Knuth coined the term surreal numbers for what Conway had called simply numbers. Conway later adopted Knuth's term, and used surreals for analyzing games in his 1976 book On Numbers and Games.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในวิชาคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขเหนือจริงเป็นความต่อเนื่องการทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยจำนวนจริงรวมทั้งอนันต์ และ infinitesimal เลข ในค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือใหญ่กว่าตามลำดับ Surreals ใช้ร่วมกันหลายคุณสมบัติ ด้วยตัวเลขจริง ≤ใบสั่งทั้งหมดและดำเนินงานทางคณิตศาสตร์ตามปกติ (เพิ่ม ลบ คูณ และการหาร); เช่น พวกเขาฟอร์มฟิลด์ใบสั่ง (พัฒน surreals ไม่ชุด แต่เป็นระดับที่เหมาะสมนั้น [1]) ถ้าสูตรในทฤษฎีเซตฟอน Neumann – Bernays – Gödel หมายเลขเหนือจริงเป็นราคาที่สั่งฟิลด์ ที่สุดใหญ่ที่สุด ทั้งหมดสั่งฟิลด์อื่น ๆ เช่น rationals ตัวเลขจริง ฟังก์ชันตรรกยะ Levi Civita ฟิลด์ หมายเลข superreal และหมาย เลข hyperreal สามารถถูกรับรู้เป็น subfields ของ surreals [2] จะมีการแสดง (ในทฤษฎีเซตฟอน Neumann – Bernays – Gödel) ว่าฟิลด์ hyperreal ชั้นสูงสุด isomorphic เขตเหนือจริงชั้นสูงสุด ในทฤษฎีโดยสัจพจน์ของทางโลก นี้ไม่จำเป็นต้องใช่ และในทฤษฎีดังกล่าว นั้นไม่เป็นความจริงจำเป็นต้อง surreals ในฟิลด์สินค้าที่ใหญ่ที่สุด Surreals ประกอบด้วยหมายเลขลำดับ transfinite ทั้งหมด เลขคณิตนั้นถูกกำหนด โดยการดำเนินงานตามธรรมชาติใน 8 ธันวาคมพ.ศ. 2450 ฮาห์นนำชุดฮาห์นเป็น generalization ของทางพลังงาน และ Hausdorff นำบางชุดสั่งเรียกว่าηα-ชุดสำหรับเลขด้วยกองทัพ และถามถ้า ไม่ไปพบกลุ่มสั่งเข้าหรือโครงสร้างของฟิลด์ ในปี 1962 Alling ใช้แบบปรับเปลี่ยนชุดฮาห์นสร้างฟิลด์สั่งดังกล่าวไปด้วยกองทัพบางเลข และด้วยกองทัพจะ คลาสของเลขทั้งหมดในการก่อสร้างของเขาทำให้คลาสที่เป็นเขตสั่ง isomorphic กับตัวเลขที่เหนือจริง [3] วิจัย endgame ไปโดยจอห์น Conway ใจนำไปสู่คำนิยามและสร้างหมายเลขเหนือจริงที่ง่ายกว่า [4] ก่อสร้าง Conway ถูกนำตัวเลขเหนือจริงจอง 1974 โดนัลด์ Knuth: วิธีสองอดีตนักเรียนเปิดระบบคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และพบความสุขรวมกัน ในหนังสือของเขา ซึ่งใช้รูปแบบของการพูดคุยกัน Knuth จังหวะหมายเลขเหนือจริงระยะสำหรับ Conway ได้เรียกอะไรเพียงแค่ตัวเลข Conway ภายหลังนำระยะของ Knuth และใช้ surreals สำหรับวิเคราะห์เกมใน 1976 บนตัวเลขในสมุดและเกมของเขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางคณิตศาสตร์ ระบบจํานวนจริง เป็นค่าต่อเนื่องที่มีตัวเลขที่แท้จริงเป็นอนันต์และกณิกนันต์ตัวเลขตามลำดับขนาดใหญ่หรือเล็กในค่าสัมบูรณ์มากกว่าจํานวนจริงบวก การ surreals แบ่งปันสมบัติมากมายกับจริง รวมถึง≤สั่งซื้อทั้งหมดและการดำเนินการเลขคณิตปกติ ( การบวก การลบ การคูณ และการหาร )เช่นที่พวกเขารูปแบบคำสั่งฟิลด์ ( พูด , surreals ไม่ได้ตั้ง แต่ระดับ เหมาะสม [ 1 ] ) ถ้าสูตรในฟอนนอยมันน์–– G ö del ตั้งทฤษฎี Bernays , ตัวเลขจริงจะเป็นไปได้มากที่สุดให้สนาม อื่น ๆทั้งหมดที่สั่งให้เขตข้อมูล เช่น rationals , จริง , ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผล , ลีวายส์ Civita สนาม , เรียลและ hyperreal ตัวเลข , ตัวเลขที่สามารถรับรู้เป็น subfields ของ surreals [ 2 ] มันยังแสดง ( ในฟอนนอยมันน์ ( G ö del Bernays –ทฤษฎีเซต ) สูงสุดคลาส hyperreal สนามพวกเราเรียนสูงสุดเหนือสนาม ในทฤษฎีโดยความจริงของการเลือกโลกนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นกรณีและในทฤษฎี เช่น มันไม่เสมอไปหรอกว่า surreals เป็นที่ใหญ่ที่สุดสั่งฟิลด์การ surreals ยังประกอบด้วย transfinite เลขลำดับ ; ) พวกเขาจะได้รับโดยการธรรมชาติ

ใน 1907 ฮานา ฮาห์น ชุดเป็นชุดการแผ่ขยายอำนาจอย่างเป็นทางการ และ hausdorff แนะนำบางอย่างสั่งชุดเรียกว่าηα - ชุด ordinals αและถามว่ามันเป็นไปได้ที่จะพบได้สั่งให้กลุ่มหรือสาขาโครงสร้าง .ในปี ค.ศ. 1962 อลิงใช้ดัดแปลงรูปแบบของฮาห์นชุดสร้างเช่นสั่งสาขาที่เกี่ยวข้องบาง ordinals α , และการαเป็นชั้นของ ordinals ทั้งหมดในการก่อสร้าง เขาให้เรียนที่สนามสั่งพวกเราตัวเลขเกินจริง [ 3 ] งานวิจัยไปตันโดยจอห์นฮอร์ตันคอนเวย์ทำให้ง่ายกว่า คำนิยามและการก่อสร้างของตัวเลขเกินจริง[ 4 ] คอนเวย์ก่อสร้างได้รับการแนะนำในเสียวเกี้ยว 1974 หนังสือเหมือนฝันหมายเลข 1 อดีตว่าสองเปิดในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และพบความสุขทั้งหมด ในหนังสือของเขา ซึ่งใช้รูปแบบของบทสนทนา คนูธ coined ระยะเหมือนฝันหมายเลขอะไร คอนเวย์ได้เรียกว่าเพียงแค่ตัวเลข คอนเวย์นำมาใช้ในภายหลัง คนูธของเทอมและใช้ surreals วิเคราะห์เกมของเขา 2519 หนังสือและตัวเลขในเกม