3. The mathematical model for biodi

3. The mathematical model for biodiesel production using
enzymatic reaction
To describe a simple mathematical model for enzyme catalytic
transesterification reaction of Jatropha Curcas oil, the following
assumptions have been taken
(A) Biocatlytic catalyzed transesterification (using Lipase) of
Jatropha Curcas oil with an alcohol (AL) may be proposed
to involve two-step mechanisms. The first step consists of
hydrolysis of Jatropha Curcas oil or TG to produce acylated
enzyme (AcE) and release of glycerol as only by product
through a complex C1 ðE:TGÞ. Here E stands for enzyme.
The second step is the esterification of methanol (AL)
with AcE to form the desired product i.e. BD with the
release of free enzyme (E) through a second complex C2
ðAcE:ALÞ [45].
(A2) To account for the inhibition of reaction by methanol in the
system kinetics, here, a competitive inhibition is assumed
when a AL molecule combines with the E to produce a
dead-end complex, complex C3 (E.AL) [18,22,26,46]. All the
mechanistic steps for the biodiesel production can be represented
by the following sequence of reactions:
E þ TG
r1
r1
½E:TG
r2
r2
AcE þ GL;
AcE þ AL
r3
r3
½AcE:AL
r4
r4
E þ BD;
E þ AL
r5
r5
½E:AL: ð6Þ
Here, r1 and r1;r2 and r2 are the rate constants for the
reversible formation of complex C1, acylated enzyme and
by product glycerol respectively in the first step of biodiesel
formation. r3 and r3;r4 and r4 are the rate constants for
the reversible formation of complex C2 and biodiesel formation
respectively in the final step. For the inhibition reaction,
r5 and r5 are the rate constants for the reversible formation
of dead-end complex C3.
(A3) As without stirring, the rate of transesterification reaction is
very slow and incomplete due to mass transfer resistance
[26,47], so the effect of stirring is included in the reaction
kinetics in a logistic fashion as earlier model by the two
expressions, ksxB 1 xB
Bmax   and ksxC3 1 xC3
C3max  , where C3max
is the maximum concentration of dead-end complex.
We denote the concentration of TG; E; AcE; C1; C2; C3; AL; BD and
GL as xT ; xE; xAcE; xC1; xC2; xC3; xA; xB and xG respectively. Now from the
above assumptions with the above reaction mechanism followed
by law of mass action we can formulate the set of differential equations
given below:
dxE
dt ¼ r1xT xE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExB r5xExA þ r5xC3;
dxT
dt ¼ r1xT xE þ r1xC1 r5xAcE þ r5xC3;
dxAcE
dt ¼ r2xC1 r2xAcExG r3xF xA þ r3xC2 r5xAcE þ r5xC3;
dxB
dt ¼ r4xC2 r4xExB þ ksxB 1 xB
Bmax ;
F.A. Basir et al. / Fuel 158 (2015) 503–511 505
dxA
dt ¼ r3xAcExA þ r3xC2 r5xExA þ r5xC3;
dxC1
dt ¼ r1xT xE r1xC1 r2xC1 þ r2xAcExG;
dxC2
dt ¼ r3xAcExA r3xC2 r4xC2 þ r4xExB;
dxC3
dt ¼ r5xExA r5xC3 þ ksxC3 1 xC3
C3max ;
dxG
dt ¼ r2xC1 r2xAcExG; ð7Þ
with the initial conditions
xEð0Þ ¼ xE0 ; xC1ð0Þ ¼ 0; xAcEð0Þ ¼ 0;
xAð0Þ ¼ xA0 ; xT ð0Þ ¼ xT0 ; xC2ð0Þ ¼ 0;
xBð0Þ ¼ 0; xGð0Þ ¼ 0 and xC3ð0Þ ¼ 0: ð8Þ
The last term, in expression dxB
dt and dxC3
dt , represents only the mass
transfer rate or indirectly the contribution of the mass transfer
resistance to the overall resistance. Here C3max is the maximum concentration
of the dead-end complex xC3.
4. The optimal control problem for enzymatic reaction system
Our main objective is to control the rate of stirrer (i.e. mass
transfer rate), so that we can get maximum production of biodiesel.
Also, it is our object to keep the cost function as low as possible.
We use a control variable uðtÞ, which represents the stirring activator
input at time t satisfying 0 6 uðtÞ 6 1. Here uðtÞ represents control
input with values normalized to be between 0 and 1 [48]. Also
uðtÞ ¼ 1 represents the maximal use of stirrer and uðtÞ  0, which
signifies no change in stirrer rotation.
Based on the above assumptions, the control induced system
corresponding to the system (7) would be:
dxE
dt ¼ r1xT xE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExB;
dxT
dt ¼ r1xT xE þ r1xC1 r5xAcE þ r5xC3;
dxAcE
dt ¼ r2xC1 r2xAcExG r3xF xA þ r3xC2 r5xAcE þ r5xC3;
dxB
dt ¼ k4xC2 r4xExB þ uðtÞksxB 1 xB
Bmax ;
dxA
dt ¼ r3xAcExA þ r3xC2;
dxC1
dt ¼ r1xT xE r1xC1 r2xC1 þ r2xAcExG;
dxC2
dt ¼ r3xAcExA r3xC2 r4xC2 þ r4xExB;
dxC3
dt ¼ r5xAcE r5xC3 þ uðtÞksxC3 1 xC3
C3max ;
dxG
dt ¼ r2xC1 r2xAcExG; ð9Þ
with initial conditions as given by Eq. (8).
The cost function is thus formulated as
J½uðtÞ ¼ Z tf
t0
Pu2
ðtÞ Qx2
BðtÞ þ Rx2
C3
h idt ð10Þ
Here, we want to maximize biodiesel production and reduce the
inhibition of enzyme i.e. minimize the concentration of dead-end
complex xC3. The parameter Pð> 0Þ is the weight constant on the
benefit of the cost of production and Q and R are the penalty
multipliers.
Now, we want to find out the optimal control u such that
Jðu
Þ ¼ min JðuÞ : u 2 U
where U is the admissible control set defined by
U ¼fuðtÞ : uðtÞ is measurable; 0 6 uðtÞ 6 1;t 2 ½ti;tf g
ð11Þ
Here we use Pontryagin Minimum Principle [49,50] to find uðtÞ.
The Hamiltonian is formulated as,
H ¼ Pu2
ðtÞ Qx2
BðtÞ þ Rx2
C3 þX9
i¼1
nifi; ð12Þ
where n1 n9 are adjoint variables and fi, i = 1, 2, ..., 9 are the right
side of Eq. (9), i.e. f 1 ¼ r1xT xE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExB, etc.
Theorem. If the given optimal control uðtÞ and the solution
x
E; x
T ; x
AcE; x
B; x
A; x
C1; x
C2; x
C3
  of the corresponding system (Eq. 7)
minimize JðuÞ over U, then there exists adjoint variables n1 n9 which
satisfying the following equations,
dn1
dt ¼ r1xT ðn1 n6Þ þ r4xBðn4 n7Þ þ r5xAðn5 n8Þ;
dn2
dt ¼ r1xEðn1 þ n2 n6Þ;
dn3
dt ¼ r3xAðn5 n7Þ þ r5xT ðn8Þ þ r2xGðn3 þ n9 n6Þ;
dn4
dt ¼ 2QxB þ n4 r4xE þ
ksxBuðtÞ
Bmax
ksuðtÞ 1 xB
Bmax  n7r4xE;
dn5
dt ¼ r3xAcEðn5 n7Þ þ r5xEðn1 n8Þ;
dn6
dt ¼ r1ðn6 n2Þ þ r2ðn6 n3 n9Þ;
dn7
dt ¼ r4n4 r3 þ r3n7;
dn8
dt ¼ r5ðn8 n2 n3Þ þ n8uðtÞks 1 xC3
C3max
þ n8uðtÞksxC3 1 1
C3max ;
dn9
dt ¼ r2xAcEðn3 n6 þ n9Þ: ð13Þ
along with the transversality condition niðtfÞ ¼ 0 for i ¼ 1 to 9.
Further, uðtÞ can be written as,
u
ðtÞ ¼ ma

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3.แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้ผลิตไบโอดีเซลปฏิกิริยาที่เอนไซม์ในระบบเพื่ออธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายสำหรับตัวเร่งปฏิกิริยาของเอนไซม์เพิ่มปฏิกิริยาของน้ำมันสบู่ดำ Curcas ต่อไปนี้มีการใช้สมมติฐาน(A) Biocatlytic กระบวนเพิ่ม (ใช้เอนไซม์ไลเปส) ของอาจเสนอน้ำมัน Curcas สบู่ดำกับเครื่องดื่มแอลกอฮอล์ (AL)การเกี่ยวข้องกับกลไกสองขั้นตอน ขั้นตอนแรกประกอบด้วยไฮโตรไลซ์น้ำมันสบู่ดำ Curcas หรือ TG ผลิต acylatedเอนไซม์ (เอซ) และรุ่นของกลีเซอรเพียงโดยผลิตภัณฑ์ผ่าน C1 ที่ซับซ้อน ðE:TGÞ นี่อียืนสำหรับเอนไซม์ขั้นตอนสองเป็น esterification ของเมทานอล (AL)มี AcE แบบสินค้าที่ระบุเช่น BD มีการของฟรีเอนไซม์ (E) ผ่าน C2 ซับซ้อนเป็นที่สองðAcE:ALÞ [45](A2) การยับยั้งปฏิกิริยา ด้วยเมทานอลในการจลนพลศาสตร์ของระบบ ที่นี่ ยับยั้งแข่งขันสันนิษฐานเมื่อโมเลกุลอัลเด่น E เพื่อผลิตเป็นdead-end ซับซ้อน ซับซ้อน C3 (E.AL) [18,22,26,46] ทั้งหมดนี้สามารถแสดงกลไกการทำขั้นตอนการผลิตไบโอดีเซลโดยลำดับของปฏิกิริยาต่อไปนี้:E þ TGr1r1½E:TGr2r2Þเอ GLÞเออัลr3r3½AcE:ALr4r4Þ E BDE þ ALr5r5½E:AL: ð6Þที่นี่ r1 และ r1, r2 และ r2 มีค่าคงที่อัตราในการกลับก่อตัวของซับซ้อน C1 เอนไซม์ acylated และโดยกลีเซอรผลิตภัณฑ์ในขั้นตอนแรกของไบโอดีเซลตามลำดับการก่อ r3 และ r4; r3 และ r4 มีค่าคงที่อัตราการการก่อตัวกลับของผู้แต่ง C2 และไบโอดีเซลที่ซับซ้อนในขั้นตอนสุดท้ายตามลำดับ สำหรับปฏิกิริยายับยั้งr5 และ r5 จะคงอัตราการก่อตัวกลับของ dead-end C3 ซับซ้อน(A3) โดยไม่ต้องกวน อัตราของปฏิกิริยาเพิ่มเป็นช้า และไม่สมบูรณ์เนื่องจากความต้านทานการถ่ายโอนมวล[26,47], เพื่อผลของการกวนอยู่ในปฏิกิริยาจลนพลศาสตร์ในโลจิสติกเป็นรุ่นก่อนหน้านี้โดยทั้งสองนิพจน์ xB ksxB 1Bmax ksxC3 และ 1 xC3C3max ที่ C3maxมีความเข้มข้นสูงสุดของคอมเพล็กซ์ dead-endเราแสดงความเข้มข้นของ TG E เอซ C1 C2 C3 อัล BD และGL เป็น xT xE xAcE xC1 xC2 xC3 ซา xB และ xG ตามลำดับ ตอนนี้จากตามข้างบนสมมติฐานด้วยกลไกปฏิกิริยาข้างต้นตามกฎหมายของการกระทำโดยรวม เราสามารถกำหนดชุดของสมการเชิงอนุพันธ์กำหนดให้ด้านล่าง:dxEdt ¼ r1xT xE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExB r5xExA þ r5xC3dxTdt ¼ r1xT xE þ r1xC1 r5xAcE þ r5xC3dxAcEdt ¼ r2xC1 r2xAcExG r3xF ซาþ r3xC2 r5xAcE þ r5xC3dxBdt ¼ r4xC2 r4xExB þ ksxB 1 xBBmaxหลังการเก็บเกี่ยว Basir et al. / เชื้อเพลิง 158 (2015) 503-511 505dxAdt ¼ r3xAcExA þþ r3xC2 r5xExA r5xC3dxC1dt ¼ r1xT xE r1xC1 r2xC1 þ r2xAcExGdxC2dt ¼ r3xAcExA r3xC2 r4xC2 r4xExB þdxC3ksxC3 dt ¼ r5xExA r5xC3 þ 1 xC3C3maxdxGdt ¼ r2xC1 r2xAcExG ð7Þกับเงื่อนไขเริ่มต้นxEð0Þ ¼ xE0 xC1ð0Þ ¼ 0 xAcEð0Þ ¼ 0xAð0Þ ¼ xA0 xT ð0Þ ¼ xT0 xC2ð0Þ ¼ 0xBð0Þ ¼ 0 xGð0Þ ¼ 0 และ xC3ð0Þ ¼ 0: ð8Þระยะสุดท้าย ในนิพจน์ dxBdt และ dxC3dt แสดงเฉพาะมวลอัตราการถ่ายโอนหรือโดยทางอ้อมของการถ่ายโอนมวลความต้านทานต่อความต้านทานรวม C3max เป็นความเข้มข้นสูงสุดของ xC3 ซับซ้อน dead-end4.ปัญหาระบบปฏิกิริยาที่เอนไซม์ในระบบควบคุมที่เหมาะสมวัตถุประสงค์หลักของเราคือการ ควบคุมอัตราการช้อนคน (เช่นมวลอัตราการถ่ายโอน), เพื่อให้เราได้สูงสุดผลิตไบโอดีเซลยัง เป็นวัตถุของเราเพื่อให้ฟังก์ชันต้นทุนต่ำที่สุดเราใช้การควบคุมตัวแปร uðtÞ ซึ่งแสดงถึง stirring activatorป้อนข้อมูลที่เวลา t ความพึงพอใจ 0 6 6 1 uðtÞ ที่นี่ uðtÞ แทนการควบคุมป้อนค่าที่ตามปกติจะอยู่ระหว่าง 0 และ 1 [48] นอกจากนี้uðtÞ ¼ 1 แทนใช้ช้อนคนและ uðtÞ 0 สูงสุดที่หมายถึงการเปลี่ยนแปลงหมุนช้อนคนตามสมมติฐานข้างต้น การควบคุมทำให้เกิดระบบที่สอดคล้องกับระบบ (7) จะเป็น:dxEdt ¼ r1xT xE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExBdxTdt ¼ r1xT xE þ r1xC1 r5xAcE þ r5xC3dxAcEdt ¼ r2xC1 r2xAcExG r3xF ซาþ r3xC2 r5xAcE þ r5xC3dxBdt ¼ k4xC2 r4xExB þ uðtÞksxB 1 xBBmaxdxAdt ¼ r3xAcExA þ r3xC2dxC1dt ¼ r1xT xE r1xC1 r2xC1 þ r2xAcExGdxC2dt ¼ r3xAcExA r3xC2 r4xC2 r4xExB þdxC3uðtÞksxC3 dt ¼ r5xAcE r5xC3 þ 1 xC3C3maxdxGdt ¼ r2xC1 r2xAcExG ð9Þมีเงื่อนไขเบื้องต้นที่กำหนดโดย Eq. (8)ฟังก์ชันต้นทุนจึงมีสูตรเป็นJ½uðtÞ ¼ Z tft0Pu2ðtÞ Qx2BðtÞ þ Rx2C3h idt ð10Þที่นี่ เราต้องการขยายการผลิตไบโอดีเซล และลดการยับยั้งเอนไซม์เช่นลดความเข้มข้นของ dead-endxC3 ซับซ้อน พารามิเตอร์ Pð > 0Þ เป็นค่าคงของน้ำหนักประโยชน์ของต้นทุนผลิต Q และ R มีเมลล์multipliersตอนนี้ เราต้องการค้นหายูควบคุมเหมาะสมที่JðuÞนาที¼ JðuÞ: U u 2โดยที่ U คือ ชุดควบคุม admissible กำหนดโดยU ¼fuðtÞ: uðtÞ เป็นวัด 0 6 uðtÞ 6 1; t 2 ½ti; tf gð11Þที่นี่เราใช้หลักน้อย Pontryagin [49,50] หา u ðtÞHamiltonian ที่เป็นสูตรเป็นH ¼ Pu2ðtÞ Qx2BðtÞ þ Rx2C3 þX9i¼1nifi ð12Þn1 n9 จะแปร adjoint และเน็ตไร้สาย ฉัน = 1, 2,..., 9 อยู่ด้านขวาด้านของ Eq. (9), เช่น f 1 ¼ r1xT xE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExB ฯลฯทฤษฎีบท ถ้า ðtÞ u ควบคุมให้เหมาะสมและการแก้ไขxE xT xเอซ xB xA xC1 xC2 xC3ระบบที่เกี่ยวข้อง (Eq. 7)ลด JðuÞ ผ่าน U แล้วมี adjoint แปร n1 n9 ซึ่งความพึงพอใจของสมการต่อไปนี้dn1dt ¼ r1xT ðn1 n6Þ þ r4xBðn4 n7Þ þ r5xAðn5 n8Þdn2dt ¼ r1xEðn1 þ n2 n6Þdn3dt ¼ r3xAðn5 n7Þ þ r5xT ðn8Þ þ r2xGðn3 þ n9 n6Þdn4dt ¼ 2QxB þ n4 r4xE þksxBuðtÞBmax xB ksuðtÞ 1Bmax n7r4xEdn5dt ¼ r3xAcEðn5 n7Þ þ r5xEðn1 n8Þdn6dt ¼ r1ðn6 n2Þ þ r2ðn6 n3 n9Þdn7dt ¼ r4n4 r3 þ r3n7dn8dt ¼ r5ðn8 n2 n3Þ þ n8uðtÞks 1 xC3C3max þ n8uðtÞksxC3 1 1C3maxdn9dt ¼ r2xAcEðn3 n6 þ n9Þ: ð13Þพร้อมกับ transversality เงื่อนไข niðtfÞ ¼ 0 หา¼ 1-9สามารถเขียน u ðtÞ เป็น เพิ่มเติมuma ðtÞ ¼

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3. แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการผลิตไบโอดีเซลโดยใช้ปฏิกิริยาเอนไซม์เพื่ออธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายสำหรับตัวเร่งปฏิกิริยาเอนไซม์ปฏิกิริยาtransesterification ของน้ำมันสบู่ดำต่อไปนี้สมมติฐานที่ได้รับ(A) Biocatlytic เร่ง transesterification (โดยใช้เอนไซม์ไลเปส) ของน้ำมันสบู่ดำที่มีเครื่องดื่มแอลกอฮอล์(AL) อาจมีการเสนอที่จะเกี่ยวข้องกับกลไกสองขั้นตอน ขั้นตอนแรกประกอบด้วยการย่อยสลายของน้ำมันสบู่ดำหรือ TG acylated การผลิตเอนไซม์(ACE) และการเปิดตัวของกลีเซอรอลเป็นโดยเฉพาะสินค้าที่ผ่านที่ซับซ้อน C1 DE: TGÞ ที่นี่ E ย่อมาจากเอนไซม์. ขั้นที่สองคือ esterification ของเมทานอล (AL) กับเอซในรูปแบบสินค้าที่ต้องการเช่น BD กับการเปิดตัวของเอนไซม์ฟรี(E) ผ่าน C2 ซับซ้อนสองDace. alth [45] (A2) บัญชีสำหรับการยับยั้งการเกิดปฏิกิริยาโดยเมทานอลในที่จลนศาสตร์ระบบที่นี่ยับยั้งการแข่งขันจะถือว่าเมื่อโมเลกุลAL รวมกับ E ในการผลิตที่ซับซ้อนสิ้นตายซับซ้อนC3 (E.AL) [18,22,26 46] ทุกขั้นตอนกลไกสำหรับการผลิตไบโอดีเซลสามารถแสดงโดยลำดับต่อไปของปฏิกิริยา: E þ TG r1 r1 ½E: TG? r2 r2 ACE þ GL; ACE þ AL r3 r3 ½AcE: AL r4 r4 E þ BD; E þ AL R5 R5 ½E: AL ?: ð6Þนี่r1 และ r1; r2 และ r2 เป็นค่าคงที่อัตราการก่อย้อนกลับของC1 ซับซ้อนเอนไซม์ acylated และจากกลีเซอรอลผลิตภัณฑ์ตามลำดับในขั้นตอนแรกของไบโอดีเซลก่อ r3 และ r3; r4 r4 และเป็นค่าคงที่อัตราการก่อตัวของC2 ย้อนกลับที่มีความซับซ้อนและการพัฒนาไบโอดีเซลตามลำดับในขั้นตอนสุดท้าย สำหรับปฏิกิริยายับยั้ง, R5 R5 และเป็นค่าคงที่อัตราการก่อย้อนกลับของตายสิ้นซับซ้อนC3. (A3) ในฐานะที่เป็นโดยไม่ต้องกวนอัตราการเกิดปฏิกิริยา transesterification เป็นช้ามากและไม่สมบูรณ์เนื่องจากการต้านทานการถ่ายเทมวล[26,47] ดังนั้นผลของการกวนจะรวมอยู่ในปฏิกิริยาจลนศาสตร์ในแฟชั่นโลจิสติกเป็นรูปแบบก่อนหน้านี้โดยทั้งสองสำนวนksxB 1 xB Bmax? ? และ ksxC3 1 xC3 C3max? ? ที่ C3max. เป็นความเข้มข้นสูงสุดของความซับซ้อนสิ้นตายเราแสดงถึงความเข้มข้นของ TG นั้น E; เอซ; C1; C2; C3; อัล; BD และGL เป็น XT; XE; xAcE; xC1; xC2; xC3; xA; xB และ xG ตามลำดับ ตอนนี้จากสมมติฐานข้างต้นด้วยกลไกการเกิดปฏิกิริยาดังกล่าวข้างต้นตามตามกฎหมายของการกระทำมวลเราสามารถกำหนดชุดของสมการเชิงอนุพันธ์ได้รับดังนี้DXE dt ¼ r1xT XE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExB r5xExA þ r5xC3; DXT dt ¼ r1xT XE þ r1xC1 r5xAcE þ r5xC3; dxAcE dt ¼ r2xC1 r2xAcExG r3xF xA þ r3xC2 r5xAcE þ r5xC3; DXB dt ¼ r4xC2 r4xExB þ ksxB 1 xB Bmax; เอฟเอ Basir et al, เชื้อเพลิง / 158 (2015) 503-511 505 DXA dt ¼ r3xAcExA þ r3xC2 r5xExA þ r5xC3; dxC1 dt ¼ r1xT XE r1xC1 r2xC1 þ r2xAcExG; dxC2 dt ¼ r3xAcExA r3xC2 r4xC2 þ r4xExB; dxC3 dt ¼ r5xExA r5xC3 þ ksxC3 1 xC3 C3max; DXG dt ¼ r2xC1 r2xAcExG; ð7Þกับเงื่อนไขเริ่มต้นxEð0Þ¼ xE0; xC1ð0Þ¼ 0; xAcEð0Þ¼ 0; xAð0Þ¼ xA0; XT ð0Þ¼ xT0; xC2ð0Þ¼ 0; xBð0Þ¼ 0; xGð0Þ¼ 0 xC3ð0Þ¼ 0: ð8Þระยะที่ผ่านมาในการแสดงออกของDXB dt และ dxC3 dt, เป็นเพียงมวลอัตราการถ่ายโอนหรือทางอ้อมผลงานของการถ่ายโอนมวลความต้านทานต่อความต้านทานโดยรวม นี่ C3max เป็นความเข้มข้นสูงสุดของผู้ตายสิ้นxC3 ซับซ้อน. 4 ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมสำหรับระบบปฏิกิริยาของเอนไซม์วัตถุประสงค์หลักของเราคือการควบคุมอัตราการกวน(เช่นมวลอัตราการถ่ายโอน) เพื่อที่เราจะได้รับการผลิตสูงสุดของไบโอดีเซล. นอกจากนี้ก็เป็นวัตถุของเราเพื่อให้การทำงานของค่าใช้จ่ายที่ต่ำที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ . เราใช้การควบคุมตัวแปรuðtÞซึ่งแสดงให้เห็นถึงกระตุ้นกวนอินพุทที่เวลา t ความพึงพอใจ 0 6 uðtÞ 6 1. uðtÞนี่แสดงให้เห็นถึงการควบคุมการป้อนข้อมูลที่มีค่าปกติจะอยู่ระหว่าง0 และ 1 [48] นอกจากนี้uðtÞ¼ 1 แสดงให้เห็นถึงการใช้งานสูงสุดของกวนและuðtÞ? 0 ซึ่ง. หมายถึงไม่มีการเปลี่ยนแปลงในการหมุนกวนจากสมมติฐานการควบคุมระบบการเหนี่ยวนำให้สอดคล้องกับระบบ (7) จะเป็น: DXE dt ¼ r1xT XE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExB; DXT dt ¼ r1xT XE þ r1xC1 r5xAcE þ r5xC3; dxAcE dt ¼ r2xC1 r2xAcExG r3xF xA þ r3xC2 r5xAcE þ r5xC3; DXB dt ¼ k4xC2 r4xExB þuðtÞksxB 1 xB Bmax; DXA dt ¼ r3xAcExA þ r3xC2; dxC1 dt ¼ r1xT XE r1xC1 r2xC1 þ r2xAcExG; dxC2 dt ¼ r3xAcExA r3xC2 r4xC2 þ r4xExB; dxC3 dt ¼ r5xAcE r5xC3 þuðtÞksxC3 1 xC3 C3max; DXG dt ¼ r2xC1 r2xAcExG; ð9Þกับเงื่อนไขเริ่มต้นตามที่กำหนดโดยสมการ (8). ฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายเป็นสูตรจึงเป็นJ½uðtÞ? ¼ Z TF t0 Pu2 ðtÞ Qx2 BðtÞþ RX2 C3 ชั่วโมง idt ð10Þที่นี่เราต้องการที่จะเพิ่มการผลิตไบโอดีเซลและลดการยับยั้งการทำงานของเอนไซม์คือลดความเข้มข้นของตายสิ้นxC3 ซับซ้อน พารามิเตอร์ PD> 0 คือน้ำหนักคงที่ที่ได้รับประโยชน์จากต้นทุนการผลิตและQ และ R ที่มีการปรับตัวคูณ. ตอนนี้เราต้องการที่จะหาการควบคุมที่ดีที่สุด u? เช่นที่Jðu? Þ¼นาทีJðuÞ: ยู 2 ท่านที่U คือชุดควบคุมที่ยอมรับที่กำหนดโดยU ¼fuðtÞ: uðtÞเป็นที่วัด; 0 6 uðtÞ 6 1 2 t ½ti; TF กรัม? ð11Þที่นี่เราใช้หลักการขั้นต่ำ Pontryagin [49,50] เพื่อหายูðtÞ?. มิลโตเนียนเป็นสูตรที่เป็นH ¼ Pu2 ðtÞ Qx2 BðtÞþ RX2 C3 þX9i¼1 nifi; ð12Þที่ n1 N9 เป็นตัวแปร adjoint และ fi, i = 1, 2, ... , 9 ขวาด้านข้างของสมการ (9) คือฉ 1 ¼ r1xT XE þ r1xC1 þ r4xC2 r4xExB ฯลฯทฤษฎีบท หากได้รับการควบคุมที่ดีที่สุดยูðtÞและการแก้ปัญหา? x? E; ? x T; ? x ACE; x? B; x?; x? C1; x? C2; x? C3? ? ระบบที่สอดคล้องกัน (. สม 7) ลดJðuÞมากกว่า U นั้นมีอยู่ตัวแปร adjoint n1 N9 ซึ่งความพึงพอใจของสมการต่อไปนี้DN1 dt ¼ r1xT DN1 n6Þþr4xBðn4n7Þþr5xAðn5n8Þ; dn2 dt ¼r1xEðn1þ n2 n6Þ; dn3 dt ¼r3xAðn5n7Þþ r5xT ðn8Þþr2xGðn3þ N9 n6Þ; dn4 dt ¼ 2QxB þ N4 r4xE þksxBuðtÞ Bmax ksuðtÞ 1 xB Bmax? n7r4xE; DN5 dt ¼r3xAcEðn5n7Þþr5xEðn1n8Þ; DN6 dt ¼r1ðn6n2Þþr2ðn6 n3 n9Þ; dn7 dt ¼ r4n4 r3 þ r3n7; DN8 dt ¼r5ðn8 n2 n3Þþn8uðtÞks 1 xC3 C3max þn8uðtÞksxC3 1 1 C3max; dn9 dt ¼r2xAcEðn3 n6 þn9Þ: ð13Þพร้อมกับสภาพtransversality niðtfÞ¼ 0 สำหรับฉัน¼ 1 ถึง 9? นอกจากนี้ยูðtÞสามารถเขียนเป็น, u? ðtÞ¼แม่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับการผลิตไบโอดีเซลโดยใช้ปฏิกิริยาเอนไซม์

อธิบายแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายสำหรับเอนไซม์เร่งปฏิกิริยา
กระบวนการทรานส์เอสเทอริฟิเคชั่นของสบู่ดำน้ำมัน สมมติฐานดังต่อไปนี้ได้

( ) biocatlytic เร่งกระบวนการทรานส์เอสเทอริฟิเคชั่น ( โดยใช้ไลเปส )
สบู่ดำน้ำมันกับแอลกอฮอล์ ( AL ) อาจจะเสนอ
จะเกี่ยวข้องกับกลไก สองขั้นตอนขั้นตอนแรกประกอบด้วยการย่อยน้ำมันของสบู่ดำ
curcas หรือ TG จะผลิตเอนไซม์ acylated
( ACE ) และรุ่นของกลีเซอรอลเป็นเพียงโดยผลิตภัณฑ์
ผ่านที่ซับซ้อนð C1 E : TG Þ . ที่นี่ E ย่อมาจาก เอนไซม์
ขั้นตอนที่สองคือปฏิกิริยาเอสเทอริฟิเคชันของเมทานอล ( AL )
กับเอซรูปแบบสินค้าที่ต้องการเช่น BD กับ
ปล่อยเอนไซม์ฟรี ( E ) ผ่านที่ซับซ้อนสอง C2
ðเอซ : อัลÞ [ 45 ] .
( A2 ) ไปยังบัญชีสำหรับการยับยั้งปฏิกิริยาโดยเมทานอลในจลนศาสตร์
ระบบ , ที่นี่ , การขัดขวางการแข่งขันถือว่า
เมื่อลโมเลกุลรวมกับ E ผลิต
ทางตันที่ซับซ้อน , C3 ซับซ้อน ( e.al ) [ 18,22,26,46 ] ทุกขั้นตอนในการผลิตไบโอดีเซล :

โดยสามารถแสดงลำดับของปฏิกิริยาต่อไปนี้ :
E

þ TG R1 R1
½ E : TG  R2 R2



Ace Ace þ GL ; R3 R3


þอัล½เอซ :อัล  r4 r4
E

þ BD ;
E
R5 r5

þอัล½ E : อัล  : ð 6 Þ
ที่นี่ R1 R1 R2 R2 และ ; และเป็นค่าคงที่สำหรับการผันกลับของ C1

โดยเอนไซม์ที่ซับซ้อน acylated และผลิตภัณฑ์ กลีเซอรอล ตามลำดับในขั้นตอนแรก การพัฒนาไบโอดีเซล

และ R3 R3 r4 r4 ; และเป็นค่าคงที่สำหรับการก่อตัวของ C2

รูปแบบซับซ้อนและไบโอดีเซล ตามลำดับ ในขั้นตอนสุดท้ายสำหรับยับยั้งปฏิกิริยา
R5 r5 และเป็นค่าคงที่สำหรับการก่อตัวของ C3
ทางตันที่ซับซ้อน .
( A3 ) ไม่มีกวน อัตราของปฏิกิริยากระบวนการทรานส์เอสเทอริฟิเคชั่นเป็น
ช้ามากและสมบูรณ์ เนื่องจากการถ่ายโอนมวลต้านทาน
[ 26,47 ] ดังนั้นผลของการกวนอยู่ในปฏิกิริยา
จลนศาสตร์ในแฟชั่นโลจิสติกก่อนหน้านี้รุ่นสอง

สี ksxb 1 สำนวนสาเหตุจากการใช้ยาแก้ปวดเกินขนาดและ   ksxc3 1 xc3
c3max   ที่ c3max
มีความเข้มข้นสูงสุดของทางตันที่ซับซ้อน .
เราแสดงความเข้มข้นของ TG ; E ; เอซ ; C1 C2 C3 ; ; ; Al ; BD และ
GL เป็น XT ; กลุ่ม ; xace ; xc1 ; xc2 xc3 ; ยา ; สี ; และ สามารถ ตามลำดับ ตอนนี้จาก
ข้างบนสมมติฐานกับกลไกปฏิกิริยาข้างต้นตาม
โดยกฎหมายของมวลการกระทำเราสามารถสร้างชุดของสมการเชิงอนุพันธ์ dxe


ได้รับด้านล่าง :DT ¼ r1xt XE þ r1xc1 þ r4xc2 r4xexb r5xexa þ r5xc3 ;

dxt DT ¼ r1xt XE þ r1xc1 r5xace þ r5xc3 ;

dxace DT ¼ r2xc1 r2xacexg r3xf XA þ r3xc2 r5xace þ r5xc3 ;

dxb DT ¼ r4xc2 r4xexb þ ksxb สีสาเหตุจากการใช้ยาแก้ปวดเกินขนาด 1
;
บ. บาซีร์ et al . 158 / เชื้อเพลิง ( 2015 ) 503 – 511 505

dxa DT ¼ r3xacexa þ r3xc2 r5xexa þ r5xc3 ;

dxc1 DT ¼ r1xt XE r1xc1 r2xc1 þ r2xacexg ;

dxc2 DT ¼ r3xacexa r3xc2 r4xc2 þ r4xexb dxc3

;DT ¼ r5xexa r5xc3 þ ksxc3 1 xc3
c3max ;

dxg DT ¼ r2xc1 r2xacexg ; ð 7 Þ

เริ่มต้นด้วยเงื่อนไขทางð 0 Þ¼ xe0 ; xc1 ð 0 Þ¼ 0 ; xace ð 0 Þ¼ 0 ;
0 Þ XA ð¼ xa0 ; XT ð 0 Þ¼ xt0 ; xc2 ð 0 Þ¼ 0 ;
0 Þสีð¼ 0 ; 0 Þ XG ð¼ 0 และ xc3 ð 0 Þ¼ 0 : ð 8 Þ
ในระยะสุดท้าย ในการแสดงออก และ dxc3 DT dxb

DT , เป็นเพียงอัตราการถ่ายโอนมวล
ทางอ้อมหรือส่วนของความต้านทานโอน
มวล การต้านทานโดยรวมที่นี่ c3max มีความเข้มข้นสูงสุดของทางตันที่ซับซ้อน xc3
.
4 ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับระบบปฏิกิริยาเอนไซม์
วัตถุประสงค์หลักของเราคือการ ควบคุมอัตราการหมุน ( เช่นอัตราการถ่ายโอนมวล
) เพื่อให้เราสามารถได้รับการผลิตสูงสุดของไบโอดีเซล .
ยัง มันเป็นวัตถุของเราเพื่อให้ฟังก์ชันต้นทุนที่ต่ำที่สุด
เราใช้ตัวแปรควบคุมð T Þ U ,ซึ่งเป็นข้อมูลที่เวลา t
กวนหมอภิรมย์ 0 6 u ð T Þ 6 1 ที่นี่คุณð T
Þแทนการควบคุมอินพุตกับค่าปกติจะอยู่ระหว่าง 0 และ 1 [ 48 ] ยังð
u t Þ¼ 1 แทนการใช้สูงสุดของð stirrer และ u t Þ  0 ซึ่งหมายถึงไม่มีการเปลี่ยนแปลงในหมุนหมุน
.
ตามสมมติฐานข้างต้น การควบคุมระบบการเหนี่ยวนำ
ที่สอดคล้องกับระบบ ( 7 ) จะ dxe

:DT ¼ r1xt XE þ r1xc1 þ r4xc2 r4xexb ;

dxt DT ¼ r1xt XE þ r1xc1 r5xace þ r5xc3 ;

dxace DT ¼ r2xc1 r2xacexg r3xf XA þ r3xc2 r5xace þ r5xc3 ;

dxb DT ¼ k4xc2 r4xexb þ u ð T Þ ksxb 1 สี

สาเหตุจากการใช้ยาแก้ปวดเกินขนาด ;
dxa DT ¼ r3xacexa þ r3xc2 ;

dxc1 DT ¼ r1xt XE r1xc1 r2xc1 þ r2xacexg ;

dxc2 DT ¼ r3xacexa r3xc2 r4xc2 þ r4xexb ;

dxc3 DT ¼ r5xace r5xc3 þ u ð T Þ ksxc3 1 xc3
c3max ;

dxg DT ¼ r2xc1 r2xacexg ð 9 Þ
;ด้วยเงื่อนไขเบื้องต้นที่ได้รับจากอีคิว ( 8 ) .
ค่าใช้จ่ายในการทำงานจึงเป็นยุทธศาสตร์ที่
J ½ u ð T Þ  ¼ Z TF
t0

pu2 ð T Þ qx2
b ð T Þþ RX2 C3
H
ไอดีที ð 10 Þ
ที่นี่ เราต้องการที่จะขยายการผลิตไบโอดีเซลและ ลดการยับยั้งเอนไซม์เช่น
ลดความเข้มข้นของทางตัน
ซับซ้อน xc3 . พารามิเตอร์ P ð > 0 Þคือน้ำหนักคงที่บน
ประโยชน์ของต้นทุนการผลิตและ Q และ R เป็นโทษ
ตัวคูณ .
ตอนนี้เราต้องการที่จะหาที่เหมาะสม เช่น การควบคุม  U
U
J ð  Þ¼มินเจð U : U Þ 2 U
ที่เป็นยอมรับชุดควบคุมที่กำหนดโดย
U ¼ฟูð T U T ÞðÞวัด ; 0 6 u ð T Þ 6 1 ; t 2 ½ Ti ; TF  g
ð 11 Þ
ที่นี่เราใช้หลักการ pontryagin ขั้นต่ำ [ 49,50 ] หา U  ð T
Þ . Hamiltonian เป็นสูตร ,
h ¼ pu2
ð T Þ qx2
b ð T
Þþ RX2 C3 þ x9
ฉัน¼ 1
nifi ; ð 12 Þ
ที่ 1 N9 มีตัวแปรและ adjoint ฟีi = 1 , 2 , . . . 9 อยู่ด้านขวาของอีคิว
( 9 ) คือ F 1 ¼ r1xt XE þ r1xc1 þ r4xc2 r4xexb ฯลฯ
ทฤษฎีบท ถ้าได้รับการควบคุมที่เหมาะสมคุณ  ð T Þและโซลูชั่น
x 
e ; x 
t ; x 
Ace ; x 
b ; x 
; x  C1 C2 

; X ; x 
3
  ของระบบที่สอดคล้องกัน ( อีคิว 7 )
J ð U U Þลดมากกว่า แล้วมีอยู่ adjoint ตัวแปร N1 N9 ซึ่ง
พอใจ

dn1 สมการต่อไปนี้DT ¼ r1xt ð n6 N1 Þþ r4xb ð N7 N4 Þþ r5xa ð 5 N8 Þ ;

dn2 DT ¼ r1xe ð N1 N2 n6 þÞ ;

dn3 DT ¼ r3xa ð 5 N7 Þþ r5xt ð N8 Þþ r2xg ð N3 þÞ n6 N9

; dn4 DT ¼ 2qxb þ r4xe þ N4
ksxbu ð T
T
Þสาเหตุจากการใช้ยาแก้ปวดเกินขนาด ksu ðÞ 1 สี
 สาเหตุจากการใช้ยาแก้ปวดเกินขนาด n7r4xe ;

dn5 DT ¼ r3xace ð 5 N7 Þþ r5xe ð N1 N8 Þ ;

dn6 DT ¼ R1 n6 N2 ðÞþ R2 ð n6 N3 N9 Þ ;

¼ r4n4 R3 dn7 แฟรช þ r3n7 ;

dn8 DT ¼ R5 ð N8 N2 N3 Þþ n8u ð T Þ KS 1 xc3

þ c3max n8u ð T Þ ksxc3 c3max 1
;
dn9
DT ¼ r2xace ð n3 n6 N9 þÞ : ð 13 Þ
พร้อมกับขวางสภาพผมð TF Þ¼ 0 ผม¼ 1 9 .
เพิ่มเติม คุณ  ð T Þสามารถเขียนได้เป็น 
U
ð T Þ¼มา