Throughout the paper let S be a com

Throughout the paper let S be a commutative semigroup with identity element 1S. A congruence on S is an equivalence relation Δ such that if Δ relates a and b (written aΔb), then for every c ∈ S we also have acΔbc. Two distinguished

congruences are present in every semigroup: i, the identity relation, and u, the universal relation. They are defined by: aib ⇐⇒ a = b , aub ⇐⇒ a,b ∈ S.

The intersection of two congruences α and β is written as α∩β. A congruence

Δ is said to be essential if for every congruence α = i we have α ∩ Δ = i.

Clearly u is an essential congruence. We say Δ is proper if Δ = u.

Let D be the class of commutative semigroups with an identity element 1 and having no proper essential congruences. Oehmke [3], proved that if S ∈ D,

then every ideal of S is generated by an idempotent and proved that the set of ideals of S is linearly ordered by inclusion. Now we shall prove that if S ∈ D,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตลอดทั้งกระดาษ ให้ S เป็น semigroup สลับกับเอกลักษณ์ 1S ลงตัวบน S เป็นδยอดความสัมพันธ์เทียบเท่าการที่ถ้าδยอดเกี่ยวข้อง และ b (เขียน aΔb), แล้วสำหรับทุก c ∈ S นอกจากนี้เรายังมี acΔbc สองแตกต่างไปcongruences มีอยู่ในทุก semigroup: ฉัน ความสัมพันธ์ตัวตน และ ความสัมพันธ์สากล มี defined โดย: aib ⇐⇒ = b, aub ⇐⇒ a, b ∈ s ได้จุดตัดของสอง congruences ด้วยกองทัพและβจะเขียนเป็นα∩β ความลงตัวΔยอดกล่าวได้ว่า เป็นสิ่งจำเป็นถ้าสำหรับทุกด้วยกองทัพลงตัว =ฉันเรามีδยอดด้วยกองทัพ∩ =ฉันชัดเจน u ได้ลงตัวเป็นสำคัญ เราว่า δยอดจะเหมาะสมถ้าδยอด = uให้ D เป็นคลาสของ semigroups สลับกับเอกลักษณ์ 1 และมี congruences จำเป็นไม่เหมาะสม Oehmke [3], พิสูจน์ว่าถ้า∈ S Dแล้วทุกเหมาะ S idempotent การสร้าง และพิสูจน์ว่า เป็นสั่งชุดของอุดมคติของ S โดยรวมเชิงเส้น ตอนนี้เราจะพิสูจน์ว่าถ้า∈ S D

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตลอดกระดาษให้ S เป็น semigroup สับเปลี่ยนกับเอกลักษณ์องค์ประกอบ 1S สอดคล้องกันใน S เป็นเท่าเทียมกันความสัมพันธ์Δดังกล่าวว่าถ้าΔเกี่ยวข้องและ b (เขียนaΔb) แล้วทุกค∈ S เรายังมีacΔbc สองโดดเด่นcongruences ที่มีอยู่ในทุก semigroup: i, ความสัมพันธ์เอกลักษณ์และ u ความสัมพันธ์สากล พวกเขาจะถูกนิยามโดย: Aib ⇐⇒ A = B, AUB ⇐⇒มี b ∈เอสจุดตัดของสองcongruences แอลฟาและβเขียนเป็นα∩β สอดคล้องกันΔมีการกล่าวถึงเป็นสิ่งจำเป็นถ้าαสอดคล้องกันทุก = ฉันเรามีα∩Δ = i. เห็นได้ชัดว่ายูเป็นสิ่งจำเป็นที่สอดคล้องกัน เราบอกว่าเป็นที่เหมาะสมΔΔ = ถ้ายู. ให้ D เป็นชั้นเรียนของ semigroups สับเปลี่ยนกับองค์ประกอบที่ 1 ตัวตนและมี congruences ที่สำคัญไม่เหมาะสม Oehmke [3] ได้รับการพิสูจน์ว่าถ้า S ∈ D, จากนั้นในอุดมคติของ S ทุกคนจะสร้างโดย idempotent และพิสูจน์แล้วว่าชุดของอุดมคติของ S ได้รับคำสั่งเป็นเส้นตรงโดยรวม ตอนนี้เราจะต้องพิสูจน์ให้เห็นว่าถ้า S ∈ D,

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทั่วกระดาษให้ S เป็นกึ่งกรุปสลับที่กับ 1s ธาตุประจำตัว มีความสอดคล้องกันในเป็นความสัมพันธ์สมมูลΔเช่นว่าถ้าΔเกี่ยวข้อง A และ B ( เขียนΔ B ) แล้วทุก C ∈ s เรายังมี AC Δ BC สองคนที่แตกต่าง

congruences มีอยู่ในทุกเซมิกรุป : ฉัน , ตัวตนและประชาสัมพันธ์ และคุณ ความสัมพันธ์แบบสากล พวกเดอจึงเน็ดโดย : AIB ⇐⇒ = B , อ็อบ⇐⇒ A , B ∈ S .

แยกสอง congruences αบีตาและเขียนได้เป็นα∩β . มีความสอดคล้องกัน

Δกล่าวว่าเป็นสิ่งจำเป็น ถ้าทุก ๆα = ฉันมีความสอดคล้องα∩Δ = I

ชัดเจน U เป็นสิ่งจำเป็นความสอดคล้องกัน เราพูดΔเหมาะสมถ้าΔ = U .

ให้ D เป็นชั้นเรียนของกึ่งกรุปสลับที่กับเอกลักษณ์องค์ประกอบ 1 และไม่มี congruences จำเป็นที่เหมาะสม oehmke [ 3 ] ได้พิสูจน์ว่าถ้า∈ D

แล้วทุกอุดมคติของ s จะถูกสร้างขึ้น โดยเป็นนิจพลและพิสูจน์ว่าชุดของอุดมคติของ S คือ linearly สั่ง โดยรวม ตอนนี้เราต้องพิสูจน์ว่าถ้า∈ D