These equations may be expanded by

These equations may be expanded by taking the indicated partial derivatives, but it is usually more helpful to have them in the forms just given;furthermore,it is much easier to expand them later if necessary than it is to put the broken pieces back together again. Laplace’s equation is all-embracing, for, applying as it does wherever volume charge density is zero, it states that every conceivable configuration of electrodes or conductors produces a field for which ∇2V = 0. All these fields are different, with different potential values and different spatial rates of change, yet for each of them ∇2V = 0. Because every field (if ρν = 0) satisfies Laplace’s equation, how can we expect to reverse the procedure and use Laplace’s equation to find one specific field in which we happen to have an interest? Obviously,more information is required, and we shall find that we must solve Laplace’s equation subject to certain boundary conditions. Every physical problem must contain at least one conducting boundary and usually contains two or more. The potentials on these boundaries are assigned values, perhaps V0, V1,..., orperhaps numerical values. These definite equipotential surfaces will provide the boundary conditions for the type of problem to be solved. In other types of problems,the boundary conditions take the form of specified values of E (alternatively, a surface charge density, ρS) on an enclosing surface, or a mixture of known values of V and E. Before using Laplace’s equation or Poisson’s equation in several examples, we muststatethatifouranswersatisfiesLaplace’sequationandalsosatisfiestheboundary conditions, then it is the only possible answer. This is a statement of the Uniqueness Theorem, the proof of which is presented in Appendix D.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมการเหล่านี้อาจขยายได้ โดยการระบุอนุพันธ์บางส่วน แต่ก็มักจะเป็นประโยชน์ไว้ในแบบฟอร์มให้ นอกจากนี้ มันง่ายมากเพื่อขยายในภายหลังถ้าจำเป็นที่จะทำการหักชิ้นกลับโดดเหล่านี้อีกครั้ง สมการของลาปลาสทั้งหมดไพบูลย์ สำหรับ ใช้กับทุกที่ความหนาแน่นค่าปริมาตรเป็นศูนย์ ระบุว่า ทุกกำหนดค่าที่เป็นไปได้ของขั้วไฟฟ้าหรือตัวนำสร้างเนื้อหาสำหรับ ∇2V ซึ่ง = 0 fields เหล่านี้จะแตกต่างกัน มีค่าศักยภาพที่แตกต่างกันและอัตราที่แตกต่างเชิงพื้นที่ ของการเปลี่ยนแปลง แต่ สำหรับแต่ละของพวกเขา ∇2V = 0 เพราะทุกเนื้อหา (ถ้าρν = 0) สมการของลาปลาสอัน วิธีเราสามารถคาดหวังการย้อนกลับขั้นตอน และใช้สมการของลาปลาสการหาองโทรทรรศน specific หนึ่งที่ที่เราเกิดมีความสนใจ อย่างชัดเจน จำเป็นต้องมีข้อมูลเพิ่มเติม และเราก็จะหาว่า เราต้องแก้สมการของลาปลาสภายใต้เงื่อนไขขอบเขต ทุกปัญหาทางกายภาพต้องประกอบด้วยขอบเขตทำอย่างน้อยหนึ่ง และมักจะประกอบด้วยสองตัว ศักยภาพในขอบเขตเหล่านี้จะกำหนดค่า V0 ที V1,..., orperhaps ค่าตัวเลข พื้นผิว equipotential definite เหล่านี้จะให้เงื่อนไขขอบเขตสำหรับชนิดของปัญหาที่ได้รับการแก้ไข ในประเภทอื่น ๆ ของปัญหา ขอบเขตเงื่อนไขนำมา specified ค่าของ E (อีกวิธีหนึ่งคือ มีพื้นผิวค่าความหนาแน่น ρS) บนพื้นผิวล้อม หรือส่วนผสมของรู้จักค่าของ V และอี ก่อนที่จะใช้สมการของลาปลาสหรือสมการของ Poisson ในหลายอย่าง เรา muststatethatifouranswersatisfiesLaplace' เงื่อนไข sequationandalsosatisfiestheboundary แล้วก็คำตอบเท่านั้น นี่คือรายการของทฤษฎีบทเอกลักษณ์ หลักฐานที่นำเสนอในภาคผนวก d

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สมการเหล่านี้อาจจะขยายตัวโดยการระบุสัญญาซื้อขายล่วงหน้าบางส่วน แต่ก็มักจะเป็นประโยชน์มากขึ้นจะมีพวกเขาในรูปแบบเพียงแค่ได้รับไปนอกจากนี้มันเป็นเรื่องง่ายมากที่จะขยายตัวได้ในภายหลังถ้าจำเป็นกว่าก็คือการใส่ชิ้นหักกลับมารวมกันอีกครั้ง . สม Laplace คือทั้งหมดกอดสำหรับการประยุกต์ใช้เช่นเดียวกับที่ใดก็ตามที่ค่าใช้จ่ายปริมาณความหนาแน่นเป็นศูนย์มันกล่าวว่าทุกคนเท่าที่จะนึกออก Con ไฟล์โครงสร้าง Fi ของขั้วไฟฟ้าหรือตัวนำผลิต ELD Fi ที่∇2V = 0 ทั้งหมดเหล่านี้ elds Fi จะแตกต่างกันที่มีค่าที่มีศักยภาพที่แตกต่างกัน และอัตราการเชิงพื้นที่ที่แตกต่างกันของการเปลี่ยนแปลง แต่สำหรับแต่ละของพวกเขา∇2V = 0 เพราะทุก ELD Fi (ถ้าρν = 0) satis Fi ES สม Laplace ของวิธีการที่เราสามารถคาดหวังที่จะกลับขั้นตอนและใช้สมการเลซไปยัง FI ครั้งหนึ่ง speci Fi C ภาคสนามในการที่เรา เกิดขึ้นเพื่อให้มีความสนใจ? เห็นได้ชัดว่าข้อมูลเพิ่มเติมที่จำเป็นและเราจะ fi ครั้งที่เราต้องแก้เรื่องสมการ Laplace เพื่อขอบเขตเงื่อนไขบางอย่าง ปัญหาทางกายภาพทุกคนจะต้องมีขอบเขตการดำเนินการอย่างน้อยหนึ่งและมักจะมีสองคนหรือมากกว่า ศักยภาพในขอบเขตเหล่านี้จะถูกกำหนดค่าอาจ V0, V1, ... , orperhaps ค่าตัวเลข เหล่านี้เด Fi Nite พื้นผิวสมศักย์จะให้เงื่อนไขขอบเขตสำหรับประเภทของปัญหาที่จะแก้ไข ในประเภทอื่น ๆ ของปัญหาเงื่อนไขขอบเขตใช้รูปแบบของ speci ค่า Fi เอ็ดอี (ผลัดกันค่าความหนาแน่นพื้นผิวρS) บนพื้นผิวการปิดล้อมหรือมีส่วนผสมของค่าที่รู้จักกันของ V และ E. ก่อนที่จะใช้สมการ Laplace หรือสมการปัวซอง ในหลายตัวอย่างเรา muststatethatifouranswersatis Fi esLaplace'sequationandalsosatis Fi เงื่อนไข estheboundary แล้วมันเป็นเพียงคำตอบที่เป็นไปได้ นี้เป็นคำสั่งของเอกลักษณ์ทฤษฎีบทหลักฐานที่จะนำเสนอในภาคผนวกง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แค่ร้องว่า aeiou ก็พอ