The goal is that with the demand an

The goal is that with the demand and initial stock are given, the production
planner is trying to determine the control at time t while the total cost is minimized.
From previous three examples, we can see that the formulation of optimal control
problem mainly involves with three parts; state variables, controls and objective
functional. In general, an optimal control problem can be formed by a system of
equations where state variables described by [7]
17(12): $(m1(t)=w2(t)v i ' ' ritual):
in n-dimensional euclidean space with initial conditions at time t = O
2:(t@) = $0 = x(:cé,a:g,~ -- ,:c3).
The state of the system varies with time according to the system of differential
equations or the system of partial difierential equations
dxi »
E : fl(t» xltlvl-"(t))l
where u(t) is the control. The objective functional is in the form
T
Jan) = (i) + rdt.
with a function ¢ defines to be a real valued function. Generally, an optimal con-
trol problem aims to find the optimal control 'u(t) so that the functional J (qb, u) is
minimized or maximized. To achieve this goal, we need to use Pontryagirfs Maxi-
mum/Minimum principle and some numerical methods The Pontryagin’s Max-
imum principle is described below;the minimum principle is similar and it is not
included here.
Theorem 1. If u*(t) and m*(t) are optimal for our problem as described
above, then there exists a piecewise differentiable adjoirlt variable /(t) such that
H(t,a:*(t),u(t), )(t)) S H(t,;r*(t),u*(t), )(t)) for all controls u at each time t, where
the Hamiltonian H is
H = f(i,$(i)7u(¢l) + >(i)y(1%$(i),'M(i)),
and
>I(t) : _8H(t,a:*(tg,$u (t),)(t))7
/(T) = O,
where to 3 t 3 T.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เป้าหมายก็คือการที่มีความต้องการและหุ้นเริ่มต้นจะได้รับการผลิตวางแผน
พยายามที่จะตรวจสอบการควบคุมเวลา t ในขณะที่ค่าใช้จ่ายทั้งหมดจะลดลง.
จากก่อนหน้าสามตัวอย่างเราจะเห็นว่าสูตรที่ดีที่สุดของการควบคุมปัญหา
ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับกับสามส่วนตัวแปรรัฐควบคุมและวัตถุประสงค์การทำงาน
โดยทั่วไปปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมสามารถเกิดขึ้นโดยระบบของสมการที่ตัวแปร
รัฐตามที่อธิบายใน [7]
17 (12): $ (พิธีกรรม m1 (t) = w2 (t) vi ')
n-มิติแบบยุคลิด พื้นที่ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นที่เวลา t = o
2: (t @) = 0 $ = x (: CE,: กรัม, ~ -: c3).
รัฐของระบบที่แตกต่างกันกับเวลาตามระบบของ สมการที่แตกต่างกัน
หรือระบบของสมการ difierential บางส่วน
DXI »
e:fl (t » xltlvl "(t)) l
ที่ u (t) คือการควบคุม. วัตถุประสงค์การทำงานอยู่ในรูปแบบ
T
มกราคม) = ​​ (i) r . > dt.
ต่อ¢ฟังก์ชั่นกำหนดให้เป็นมูลค่างานจริง. โดยทั่วไป, con-
ที่เหมาะสมปัญหา trol มีจุดมุ่งหมายที่จะหาการควบคุมที่ดีที่สุด 'U (t) เพื่อให้การทำงานเจ (QB, U) เป็น
ลดลงหรือขยาย. เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้เราต้องใช้ pontryagirfs แมกซี่-
แม่ / หลักการขั้นต่ำและบางวิธีเชิงตัวเลขสูงสุดของ Pontryagin-
หลักการ imum อธิบายไว้ด้านล่าง; หลักการขั้นต่ำที่คล้ายกันและมันไม่ได้รวมอยู่ที่นี่

ทฤษฎีบท 1. ถ้าหาก * (t) และ m * (t) ซึ่งเหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาของเราตามที่อธิบายไว้
ข้างต้นแล้วมีอยู่ตัวแปร adjoirlt ค่ differentiable / (t) ดังกล่าวว่า h
(t,: * (t) U (t)) (t)) SH (t; r * (t) U * (t)) (t)) สำหรับทุก U ควบคุมที่ t ในแต่ละครั้งที่
มิลคือเอช
h = f (i, $ (i) 7U (l ¢)> (i) y (% 1 $ (i) 'm (i))

และ> i (t): _8h (t,: * (tg, $ U (t)) (t)) 7
/ (t) = o,
ที่ 3 ที 3 ที.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เป้าหมายคือที่ มีความต้องการ และสินค้าคงคลังเริ่มต้น ได้ การผลิต
พยายามวางแผนการตรวจสอบควบคุมที่เวลา t ในขณะที่ลดต้นทุนรวมได้
จากตัวอย่าง 3 ก่อนหน้านี้ เราสามารถดูที่กำหนดของตัวควบคุมที่เหมาะสมที่สุด
ปัญหาส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับ 3 ส่วน ระบุตัวแปร ตัวควบคุม และวัตถุประสงค์
ทำงาน ทั่วไป มีปัญหาควบคุมเหมาะสมสามารถเกิดขึ้น โดยระบบของ
ที่สถานะตัวแปรอธิบายโดยสมการ [7]
17(12): $(m1 (t) = w2 v (t) ฉัน ' ' พิธีกรรม):
ใน n มิติพื้นที่ euclidean กับสภาพเริ่มต้นที่เวลา t = O
2:(t@) = $0 = x (: cé : g, ~ -,: c3) .
สถานะของระบบที่แตกต่างกันไป ด้วยเวลาตามระบบแตกต่างกัน
สมการหรือระบบสมการ difierential บางส่วน
dxi »
E : fl (t » xltlvl-"(t)) l
ที่ u(t) เป็นตัวควบคุม ประสงค์ทำงานที่อยู่ในรูป
T
Jan) = (i) r < m <เลข > .u > dt.
ด้วย defines เลขฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันที่บริษัทจริง ทั่วไป สุดคอน-
trol ปัญหามุ่ง find ควบคุมเหมาะสมที่สุด ' u(t) เพื่อให้ทำงาน J (qb, u)
ย่อเล็กสุด หรือขยายใหญ่สุด เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ เราจำเป็นต้องใช้ Pontryagirfs แม็กซี่-
หลักสี่มุม/ต่ำสุดและสูงสุดบางวิธีเลข Pontryagin ของ-
หลัก imum อธิบายไว้ด้านล่าง หลักต่ำสุดคือคล้ายกัน และไม่มี
รวมอยู่ที่นี่
1 ทฤษฎีบท ถ้า you*(t) และ m*(t) เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาดังที่
เหนือ แล้วมีการ piecewise differentiable adjoirlt ตัวแปร /(t) เช่น that
H(t,a:*(t),u(t),) (t)) S H(t,;r*(t),u*(t) ) (t)) สำหรับควบคุมในแต่ละเวลา t, u ที่
Hamiltonian H คือ
H = f(i,$(i)7u(¢l) > (i)y(1%$(i),'M(i)),
and
>I(t): _8H (t การ: * (tg, $u (t),)(t))7
/(T) = O,
3 t 3 ต.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป้าหมายคือที่มีความต้องการและหุ้นครั้งแรกจะได้รับการผลิต
ซึ่งจะช่วยบันทึกแผนงานที่ได้พยายามที่จะกำหนดการควบคุมที่ T ในขณะที่ยอดรวมค่าใช้จ่ายที่จะลดลง.
จากตัวอย่างการใช้งานสามก่อนหน้าเราจะเห็นว่าหลักของการควบคุมได้อย่างมี ประสิทธิภาพ เป็นส่วนใหญ่มีความเกี่ยวข้องกับ
ซึ่งจะช่วยแก้ปัญหาด้วยสามส่วนตัวแปรของรัฐโดยมีวัตถุประสงค์และ
ซึ่งจะช่วยควบคุมการทำงาน โดยทั่วไปที่ได้ผลดีที่สุดการควบคุมปัญหาสามารถได้โดยที่ระบบของ
สมรัฐตัวแปรที่ระบุไว้โดย[ 7 ],
17 ( 12 ):$( M 1 ( T )= W 2 ( T ) v ฉัน'พิธีกรรม):
ใน N - มิติตามแบบยูคลิดพื้นที่ครั้งแรกพร้อมด้วย สภาพ ที่เวลา T =
o 2 :( T @)=$ 0 = x (: cé , A : G ,~ - - ,: C 3 ). N รัฐของระบบจะแตกต่างกันไปตามเวลาตามที่ระบบจากส่วนต่าง
สมหรือระบบของบางส่วน difierential สม
dxi "
E :FL ( T " xltlvl - "( T ) L
ที่ U ( T )เป็นการควบคุมที่. โดยมีวัตถุประสงค์ที่เต็มไปด้วยประโยชน์ใช้สอยมีอยู่ในแบบฟอร์ม

T ม.ค.=< L >( i ) R < M <¢>.. U < R >> DT .
พร้อมด้วยฟังก์ชัน„¢ defines เป็นการทำงานแบบเรียลไทม์มูลค่า. โดยทั่วไปแล้วปัญหา trol - - -
ได้ดีที่สุดมีความมุ่งมั่นที่จะ find อย่างมี ประสิทธิภาพ การควบคุม' u ( T )ซึ่งเต็มไปด้วยประโยชน์ใช้สอย J ( QB U )ที่มี
ซึ่งจะช่วยลดหรือเพิ่ม เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้เราจำเป็นต้องใช้ pontryagirfs Maxi ' s Lounge -
หลักการ/ต่ำสุดแม่และวิธีการที่เป็นตัวเลขของ pontryagin หลักการสูงสุด -
imum ได้อธิบายไว้ด้านล่างนี้หลักการอย่างน้อยที่มีความเหมือนและไม่ได้
รวมอยู่ที่นี่.
บทพิสูจน์ 1 หาก U *( T )และ M *( T )จะดีที่สุดสำหรับปัญหาของเราเช่นที่อธิบายไว้
ด้านบนแล้วมี/ปรับ adjoirlt differentiable piecewise ( T )ที่
h ( T , A :*( T ) U ( T ))( T )) s h ( T ,; r *( T ), U *( T ))( T ))สำหรับการควบคุมทั้งหมด U ในแต่ละช่วงเวลา T ,สถานที่ซึ่ง
ที่ hamiltonian H เป็น
H = F (ผม,$( i ), 7 U (ขา)>( i ) Y ( 1% $( i ), on the ' m ( i ),

และ> I ( T ): _8h(t,a: *( TG ,$ u ( T ),)( T ) 7
/( T )= o ,
ที่ 3 T 3 t