The inviscid Burgers’ equationThe i

The inviscid Burgers’ equation

The inviscid Burgers’ equation is a model for nonlinear wave propagation, especially in fluid mechanics. It takes the form
egin{displaymath}
fbox{$displaystyle
u_t + u u_x = 0
$}
%
end{displaymath} (3.5)

The characteristic equations are, according to (3.4),

egin{displaymath}
frac{{
m d}x}{{
m d}t} = u qquad frac{{
m d}u}{{
m d}t} = 0.
end{displaymath}

The second of these shows that $u$ is constant along the characteristics of the Burgers’ equation, and then the first equation shows that the characteristic lines are straight lines in the $x,t$-plane.
The solution of the two characteristic ordinary differential equations above is simple:

egin{displaymath}
x = u t + C_1 qquad u = C_2
end{displaymath}

The general solution of the partial differential equation may be found in terms of $x$ and $t$ by noting that $C_2$ must be a function of $C_1$, $C_2=C_2(C_1)$, and then substituting $x-ut$ for $C_1$:
egin{displaymath}
u = C_2(x-ut).
end{displaymath}

Some special cases are singular in those terms; they require that $C_1$ is written in terms of $C_2=u$:
egin{displaymath}
x = u t + C_1(u).
end{displaymath}

Normally, either expression may be taken to be the general solution of the ordinary differential equation. One-parameter function $C_2$, respectively $C_1$ remains to be identified from whatever initial or boundary conditions there are.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมการของเบอร์เกอร์ inviscidสมการของเบอร์เกอร์ inviscid เป็นรูปแบบการแพร่กระจายคลื่นไม่เชิงเส้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ของไหล ใช้แบบฟอร์ม egin{displaymath }fbox{$displaystyleu_t + u u_x = 0$}%end{displaymath } (3.5)สมการลักษณะจะ ตาม (3.4), egin{displaymath }frac{{
m d } x } {t {
m d } } = u qquad frac{{
m d } u } {t {
m d } } = 0end{displaymath }ที่สองของเหล่า $u$ ที่เป็นค่าคงที่ตามลักษณะของสมการของเบอร์เกอร์ แล้ว สมการแรกแสดงว่า บรรทัดลักษณะเป็นเส้นตรงใน $x, t$-เครื่องบินวิธีสองลักษณะสามัญเชิงอนุพันธ์สมการข้างต้นคือง่าย: egin{displaymath }x = u t + C_1 qquad u = C_2end{displaymath }อาจพบการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนใน $x$ และ$ $t โดยสังเกตที่ $C_2$ ต้องฟังก์ชันของ $C_1, $C_2=C_2(C_1)$ และจากนั้น แทนที่ $x-ut$ $C_1$ สำหรับ: egin{displaymath }u = C_2(x-ut)end{displaymath }บางกรณีเป็นเอกพจน์ในเงื่อนไขเหล่านั้น พวกเขาต้องการที่จะเขียน $C_1$ ใน $C_2 = u$: egin{displaymath }x = u t + C_1(u)end{displaymath }ปกติ นิพจน์ใดอาจทำให้ การแก้ปัญหาทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ฟังก์ชันหนึ่งพารามิเตอร์ $C_2$ ตามลำดับ $C_1$ ยังคงจะต้องระบุสิ่งแรกหรือมีเงื่อนไขขอบเขต

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เบอร์เกอร์ของสมการเบอร์เกอร์ inviscid

' ' inviscid สมการแบบไม่เชิงเส้นการแพร่กระจายคลื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ของของไหล ใช้แบบฟอร์มเริ่มต้น displaymath } {
N fbox
{ $ displaystyle
u_t u u_x = 0 =
$ } %

N จบ { displaymath } ( 3.5 )

สมการและตาม ( 3.4 )

{ }
N เริ่ม displaymath frac { { RM D } X } { D } T } { RM = u N frac qquad { { RM D } U } { D } T } { RM =
0สิ้นสุด } { displaymath

สองของเหล่านี้แสดงให้เห็นว่า $ U $ เป็นค่าคงที่ ตามลักษณะของสมการเบอร์เกอร์ ' แล้วสมการแรกปรากฎว่า เส้นลักษณะเป็นเส้นตรงใน $ x , t $
- เครื่องบิน โซลูชั่นของทั้งสองลักษณะสามัญสมการอนุพันธ์ข้างต้นเป็นเรื่องง่าย :

{ }
X N เริ่ม displaymath = u t c_1 qquad u = c_2
} {

displaymath สิ้นสุดการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการอนุพันธ์บางส่วนอาจพบได้ในแง่ของ $ x $ และ $ t $ $ $ c_2 โดยสังเกตว่าต้องเป็นหน้าที่ของ c_1 $ $ $ c_2 = c_2 ( c_1 ) $ แล้ว $ $ $ c_1 x-ut แทน $ :
{ }
U displaymath เริ่มต้น = c_2 ( x-ut )
{ }

N จบ displaymath บางกรณีพิเศษเป็นเอกพจน์ในเงื่อนไขเหล่านั้น พวกเขาต้องการที่ $ c_1 $ เขียนในแง่ของ $ c_2 = u $ :
{ }
x = เริ่ม displaymath U T
c_1 ( U )สิ้นสุด } { displaymath

ปกติ ทั้งการแสดงออกอาจจะถ่ายเพื่อโซลูชั่นทั่วไปของสมการอนุพันธ์สามัญ หนึ่งพารามิเตอร์ของฟังก์ชัน $ $ $ $ c_2 ตามลำดับ c_1 ยังคงถูกระบุจากที่เริ่มต้นหรือขอบเขตเงื่อนไขมี