2. 3-Dimensional matrix normsMatrix

2. 3-Dimensional matrix norms
Matrix norms are essential parts of numerical linear algebra (see [12]) and its applications in science, engineering and
finance.
Definition. A 3-dimensional matrix norm ∥ · ∥ is a function from m-by-n-by-s complex matrices into R that satisfies the
following properties:
• ∥A∥ ≥ 0 and ∥A∥ = 0 if and only if A = 0;
• ∥αA∥ = |α| ∥A∥, for scalar α;
• ∥A + B∥ ≤ ∥A∥ + ∥B∥; where A and B are matrices in m-by-n-by-s dimensional space.
Definition. The 1-norm and∞-norm of A ∈ Cm×n×s are defined as follows:
∥A∥1 = max
1≤j≤n
s
k=1
m
i=1
|a(k)
ij | = the largest absolute block-column sum.
∥A∥∞ = max
1≤i≤m
s
k=1
n
j=1
|a(k)
ij | = the largest absolute block-row sum.
Lemma. Let A ∈ Cm×n×s then the ∥A∥1 and ∥A∥∞ are norms.
Proof. Proofs are straightforward and just come from the definition of them.
Definition. The p-norm of A ∈ Cm×n×s is defined as follows:
∥A∥p =

s
k=1
m
i=1
n
j=1
|a(k)
ij |p
1p
, for 1 < p < ∞.
Lemma. Let A be a matrix in m-by-n-by-s dimensional space then ∥A∥p is a norm.
Proof. • ∥A∥p ≥ 0 and ∥A∥p = 0 if and only if A = 0 (by the definition).
• ∥αA∥p = (
s
k=1
mi
=1
nj
=1 |αa(k)
ij |p)
1p
= (|α|ps
k=1
m
i=1
nj
=1 |a(k)
ij

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. 3 มิติเมตริกซ์บรรทัดฐานเมตริกซ์บรรทัดฐานเป็นส่วนสำคัญของตัวเลขพีชคณิตเชิงเส้น (ดู [12]) และการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และทางการเงินการกำหนด เมทริกซ์ 3 มิติทรัพยากรปกติ∥ ∥คือ ฟังก์ชันจากเมทริกซ์คอมเพล็กซ์ m-โดย-n-จาก-s เป็น R ที่เป็นไปตามคุณสมบัติต่อไปนี้:• ∥A∥ ≥ 0 และ ∥A∥ = 0 เมื่อและก็ต่อเมื่อ A = 0• ∥ΑA∥ =|Α| ∥A∥ αสเกลา• ∥A + B∥ ≤ ∥A∥ + ∥B∥; ที่ A และ B เป็นเมทริกซ์ในพื้นที่มิติ m-โดย-n-โดย-sการกำหนด And∞-ปกติปกติ 1 ∈ s Cm × n ×กำหนดไว้ดังนี้:∥A∥1 =สูงสุด1≤j≤nsk = 1mฉัน = 1|a(k)ij แค | =ผลรวมคอลัมน์สัมบูรณ์บล็อกใหญ่ที่สุด∥A∥∞ =สูงสุด1≤i≤msk = 1nj = 1|a(k)ij แค | =ผลรวมสัมบูรณ์บล็อกใหญ่ที่สุดจับมือกัน ให้∈ s Cm × n × แล้ว ∥A∥1 และ ∥A∥∞ เป็นบรรทัดฐานหลักฐานการ ปรู๊ฟมี straightforward และเพิ่งมาจากคำนิยามของพวกเขาการกำหนด ปกติ p ของ∈ s Cm × n ×กำหนดไว้ดังนี้:∥A∥p =sk = 1mฉัน = 1nj = 1|a(k)ij แค |p1p, 1 < p < ∞จับมือกัน ให้ A เป็นเมทริกซ์ในพื้นที่มิติ m-โดย-n-โดย-s แล้ว ∥A∥p เป็นบรรทัดฐานหลักฐานการ • ∥A∥p ≥ 0 และ ∥A∥p = 0 เมื่อและก็ต่อเมื่อ A = 0 (ตามนิยาม)• ∥αA∥p =(sk = 1mi= 1nj= 1 |αa(k)ij แค |p)1 p(|Α|ps =k = 1mฉัน = 1nj= 1 |a(k)ij แค

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2. เมทริกซ์ 3 มิติบรรทัดฐาน
บรรทัดฐานเมทริกซ์เป็นส่วนสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข (ดู [12]) และการประยุกต์ใช้ในด้านวิทยาศาสตร์วิศวกรรมและ
การเงิน.
นิยาม บรรทัดฐานเมทริกซ์ 3 มิติ·∥∥เป็นฟังก์ชั่นจากม. โดย n โดย s เมทริกซ์ที่ซับซ้อนในการวิจัยที่ตอบสนอง
คุณสมบัติต่อไปนี้:
•∥A∥≥ 0 และ∥A∥ = 0 ถ้าหากว่า = 0;
•∥αA∥ = | α | ∥A∥สำหรับαเกลา;
•∥A + B∥≤∥A∥ + ∥B∥; ที่ A และ B มีการฝึกอบรมใน m โดย n โดย s มิติ.
นิยาม 1 บรรทัดฐานand∞บรรทัดฐานของ∈ซม× n × s ที่กำหนดไว้ดังต่อไปนี้
= ∥A∥1สูงสุด
1≤j≤n
s
k = 1
m
i = 1
| (k)
เจ | = . ผลรวมบล็อกคอลัมน์แน่นอนที่ใหญ่ที่สุด
∥A∥∞ = สูงสุด
1≤i≤m
s
k = 1
n
เจ = 1
| (k)
เจ. | = ผลรวมบล็อกแถวแน่นอนที่ใหญ่ที่สุด
แทรก ให้∈ซม× n × s แล้ว∥A∥1และ∥A∥∞เป็นบรรทัดฐาน.
หลักฐาน พิสูจน์จะตรงไปตรงมาและมาจากความหมายของพวกเขา.
นิยาม P-บรรทัดฐานของ∈ซม× n × s ถูกกำหนดให้เป็นดังนี้
∥A∥p =

s
k = 1
m
i = 1
n
เจ = 1
| (k)
เจ | พี
1p
สำหรับ 1 <p <∞.
บทแทรก ให้เป็นเมทริกซ์ใน m โดย n โดยมิติของพื้นที่แล้ว∥A∥pเป็นบรรทัดฐาน.
หลักฐาน •∥A∥p≥ 0 และ∥A∥p = 0 ถ้าหากว่า = 0 (โดยนิยาม).
•∥αA∥p = (
s
k = 1
mi
= 1
nj
= 1 | αa ( k)
เจ | P)
1p
= (| α | ps
k = 1
m
i = 1
nj
= 1 | (k)
เจ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . 3 มิติเมทริกซ์เมทริกซ์บรรทัดฐานบรรทัดฐาน
เป็นส่วนสําคัญของพีชคณิตเชิงเส้น ( ดู [ 12 ] ) และการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมการเงิน
.
นิยาม 3 มิติเมทริกซ์มาตรฐาน∥ด้วย∥เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อน m-by-n-by-s เมทริกซ์เป็น R ที่ตรงคุณสมบัติต่อไปนี้ :
-
∥เป็น∥≥ 0 และ∥เป็น∥ = 0 ถ้าและเพียงถ้า A = 0 ;
- ∥αเป็น∥ = | α | ∥เป็น∥ , สเกลาร์α ;
บริการ∥ B ∥≤∥เป็น∥∥ B ∥ ; ที่ A และ B เป็นเมทริกซ์ในช่องว่างมิติ m-by-n-by-s .
นิยาม การ 1-norm ∞ - และบรรทัดฐานของ∈ cm × n × S มีดังนี้ :
∥เป็น∥ 1 = แม็กซ์
1 J ≤≤ n
 S
M

K = 1  = 1
| A ( k )
| ij = ที่สุดแน่นอนบล็อก
คอลัมน์ผลรวม ∥เป็น∥∞ = แม็กซ์
1 ≤ผม≤ S
M

K = 1  n
J = 1
| A ( k )
| ij = ผลรวมบล็อกที่ใหญ่ที่สุดแถวแน่นอน .
พ .ให้∈ cm × n × S แล้ว∥เป็น∥ 1 และ∥เป็น∥∞เป็นบรรทัดฐาน
พิสูจน์ หลักฐานที่เป็นตรงไปตรงมาและมาจากนิยามของพวกเขา .
นิยาม การ p-norm ของ∈ cm × n × S เป็นดังนี้ :
∥เป็น∥ P =

 S
M

K = 1  = 1
 n
J = 1
| A ( k )
p
| IJ  1P
, 1 < p < . ∞ .
พ . ให้ A เป็นเมทริกซ์ในช่องว่างมิติ m-by-n-by-s แล้ว∥เป็น∥ P เป็น C .
พิสูจน์บริการ∥เป็น∥ P ≥ 0 และ∥เป็น∥ p = 0 ถ้าและเพียงถ้า A = 0 ( โดยละเอียด )
- ∥αเป็น∥ P = (
 S
k = 1
มิ
= 1
 NJ
= 1 | α A ( k )
| IJ p )
1
= ( | α | P  S
M

K = 1  = 1
 NJ
= 1 | A ( k )
IJ