Representation theory is a branch o

Representation theory is a branch of mathematics that studies abstract algebraic structures by representing their elements as linear transformations of vector spaces, and studies modules over these abstract algebraic structures.[1] In essence, a representation makes an abstract algebraic object more concrete by describing its elements by matrices and the algebraic operations in terms of matrix addition and matrix multiplication. The algebraic objects amenable to such a description include groups, associative algebras and Lie algebras. The most prominent of these (and historically the first) is the representation theory of groups, in which elements of a group are represented by invertible matrices in such a way that the group operation is matrix multiplication.[2]

Representation theory is a useful method because it reduces problems in abstract algebra to problems in linear algebra, a subject that is well understood.[3] Furthermore, the vector space on which a group (for example) is represented can be infinite-dimensional, and by allowing it to be, for instance, a Hilbert space, methods of analysis can be applied to the theory of groups.[4] Representation theory is also important in physics because, for example, it describes how the symmetry group of a physical system affects the solutions of equations describing that system.[5]

A feature of representation theory is its pervasiveness in mathematics. There are two sides to this. First, the applications of representation theory are diverse:[6] in addition to its impact on algebra, representation theory:

illuminates and generalizes Fourier analysis via harmonic analysis,[7]
is connected to geometry via invariant theory and the Erlangen program,[8]
has an impact in number theory via automorphic forms and the Langlands program.[9]
The second aspect is the diversity of approaches to representation theory. The same objects can be studied using methods from algebraic geometry, module theory, analytic number theory, differential geometry, operator theory, algebraic combinatorics and topology.[10]

The success of representation theory has led to numerous generalizations. One of the most general is in category theory.[11] The algebraic objects to which representation theory applies can be viewed as particular kinds of categories, and the representations as functors from the object category to the category of vector spaces. This description points to two obvious generalizations: first, the algebraic objects can be replaced by more general categories; second, the target category of vector spaces can be replaced by other well-understood categories.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีแสดงเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษานามธรรมพีชคณิตโครงสร้าง โดยเป็นตัวแทนขององค์ประกอบเป็นการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นที่ และศึกษาโมดูผ่านเหล่านี้โครงสร้างทางพีชคณิตนามธรรม [1] ในสาระสำคัญ การแสดงทำให้วัตถุทางพีชคณิตนามธรรมคอนกรีตเพิ่มเติม โดยอธิบายองค์ประกอบของการดำเนินการทางพีชคณิตในแง่ของการบวกเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ วัตถุทางพีชคณิตที่คล้อยตามคำอธิบายการรวมกลุ่ม เชื่อมโยงฉาก และฉากโกหก โดดเด่นที่สุดของเหล่านี้ (และในประวัติศาสตร์ครั้งแรก) เป็นทฤษฎีเป็นตัวแทนของกลุ่ม ซึ่งแสดงองค์ประกอบของกลุ่ม โดยสามารถหาอินเวอร์สเมทริกซ์ในลักษณะว่า การดำเนินงานของกลุ่มเป็นการคูณเมทริกซ์ [2]ทฤษฎีการแสดงเป็นวิธีมีประโยชน์ เพราะจะช่วยลดปัญหาในพีชคณิตนามธรรมปัญหาพีชคณิตเชิงเส้น เรื่องที่เข้าใจกันดี [3] นอกจากนี้ สามารถอนันต์มิติเวกเตอร์ที่ซึ่งกลุ่ม (ตัวอย่าง) แสดง และโดยอนุญาตให้เป็น เช่น พื้นที่ Hilbert วิธีการวิเคราะห์สามารถใช้ได้กับทฤษฎีของกลุ่ม [4] แสดงทฤษฎีเป็นสิ่งที่สำคัญในฟิสิกส์ เพราะ เช่น จะอธิบายถึงวิธีกลุ่มสมมาตรของระบบทางกายภาพที่มีผลต่อการแก้ปัญหาของสมการที่อธิบายว่า ระบบ [5]คุณลักษณะของทฤษฎีตัวแทนคือ การเกิดปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ มีสองด้านนี้ ครั้งแรก การใช้งานของทฤษฎีตัวแทนหลากหลาย: แห่งนี้ในผลกระทบต่อพีชคณิต ทฤษฎีแทน [6]:สว่าง และ generalizes การวิเคราะห์ฟูริเยร์ผ่านวิเคราะห์, [7]เชื่อมต่อกับเรขาคณิตผ่านทฤษฎีการบล็อกและโปรแกรมแอร์ลานเกน, [8]มีผลกระทบในทฤษฎีจำนวนผ่านฟอร์ม automorphic และโปรแกรม Langlands [9]ด้านที่สองคือ ความหลากหลายของวิธีการนำเสนอทฤษฎี สามารถศึกษาวัตถุเดียวกันโดยใช้วิธีจากพีชคณิตเรขาคณิต โมดูทฤษฎี ทฤษฎีวิเคราะห์เลข เรขาคณิตต่าง ทฤษฎีผู้ประกอบการ พีชคณิตคณิตศาสตร์เชิงการจัด และโทโพโลยี [10]ความสำเร็จของทฤษฎีตัวแทนทำให้เดิม ๆ มากมาย หนึ่งทั่วไปส่วนใหญ่เป็นประเภททฤษฎี [11] พีชคณิตวัตถุที่เกี่ยวข้องในทฤษฎีตัวแทนสามารถใช้เป็นชนิดเฉพาะประเภท และแทนเป็น functors จากวัตถุประเภทประเภทของช่องว่างเวกเตอร์ คำอธิบายนี้ไปจากเดิม ๆ ชัดเจนสอง: ครั้งแรก พีชคณิตวัตถุสามารถถูกแทนที่ โดยทั่วไปประเภท ที่สอง ประเภทเป้าหมายจอดเวกเตอร์สามารถแทน โดยประเภทอื่น ๆ ความเข้าใจที่ดี

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีการแสดงเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างพีชคณิตนามธรรมโดยเป็นตัวแทนของพวกเขาเป็นองค์ประกอบการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นที่และการศึกษามากกว่าโมดูลโครงสร้างพีชคณิตนามธรรมเหล่านี้. [1] ในสาระสำคัญที่เป็นตัวแทนที่ทำให้วัตถุพีชคณิตนามธรรมเป็นรูปธรรมมากขึ้นโดยการอธิบายองค์ประกอบของตนโดยการฝึกอบรมและการดำเนินงานเกี่ยวกับพีชคณิตในแง่ของการบวกเมทริกซ์และคูณเมทริกซ์ วัตถุพีชคณิตคล้อยตามเช่นคำอธิบายรวมถึงกลุ่ม algebras สมาคมและ algebras โกหก ที่โดดเด่นที่สุดของเหล่านี้ (และในอดีตครั้งแรก) เป็นทฤษฎีการแสดงของกลุ่มซึ่งในองค์ประกอบของกลุ่มโดยมีตัวแทนเมทริกซ์ผกผันในลักษณะดังกล่าวว่าการดำเนินการกลุ่มคูณเมทริกซ์ได้. [2]

แทนทฤษฎีเป็นวิธีที่มีประโยชน์ เพราะจะช่วยลดปัญหาในการพีชคณิตนามธรรมปัญหาในพีชคณิตเชิงเส้นเรื่องที่เป็นที่เข้าใจกันดี. [3] นอกจากนี้ปริภูมิเวกเตอร์ที่เป็นกลุ่ม (ตัวอย่าง) เป็นตัวแทนสามารถอนันต์มิติและปล่อยให้มันเป็นเช่นพื้นที่ฮิลแบร์ต, วิธีการวิเคราะห์สามารถนำไปใช้ทฤษฎีของกลุ่ม. [4] ทฤษฎีการแสดงยังเป็นสิ่งสำคัญในฟิสิกส์เพราะเช่นนั้นอธิบายวิธีสัดส่วนกลุ่มของระบบทางกายภาพมีผลกระทบต่อการแก้ปัญหาของสมการอธิบายระบบว่า. [5]

คุณลักษณะของทฤษฎีแทนจะแพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์ มีสองด้านนี้ ประการแรกการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแสดงที่มีความหลากหลาย: [6] นอกเหนือไปจากผลกระทบต่อพีชคณิตทฤษฎีการแสดง:

สว่างและทำการวิเคราะห์ฟูริเยร์ที่ผ่านการวิเคราะห์ฮาร์มอนิ [7]
เชื่อมต่อกับเรขาคณิตผ่านทฤษฎี invariant และโปรแกรม Erlangen [8 ]
มีผลกระทบในทฤษฎีจำนวนผ่านรูปแบบ automorphic และโปรแกรม Langlands. [9]
ด้านที่สองคือความหลากหลายของวิธีการทฤษฎีการเป็นตัวแทน วัตถุเดียวกันสามารถศึกษาโดยใช้วิธีการจากพีชคณิตเรขาคณิตทฤษฎีโมดูลการวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวนเรขาคณิตต่างกันทฤษฎีการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต combinatorics และ topology. [10]

ความสำเร็จของทฤษฎีการแสดงได้นำไปสู่ภาพรวมต่าง ๆ นานา หนึ่งในทั่วไปมากที่สุดคือในหมวดหมู่ทฤษฎี. [11] วัตถุพีชคณิตที่ใช้ทฤษฎีการแสดงสามารถดูเป็นชนิดโดยเฉพาะอย่างยิ่งของหมวดหมู่และการแสดงเป็น functors จากหมวดวัตถุประเภทของพื้นที่เวกเตอร์ คำอธิบายนี้จุดที่สองภาพรวมที่ชัดเจน: แรกวัตถุพีชคณิตจะถูกแทนที่ด้วยประเภททั่วไปมากขึ้น สองประเภทที่กำหนดเป้าหมายของเวกเตอร์พื้นที่สามารถเปลี่ยนได้ตามหมวดหมู่ที่ดีอื่น ๆ เข้าใจ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีคือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างพีชคณิตนามธรรมโดยเป็นตัวแทนขององค์ประกอบของการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์และศึกษาโมดูลเหล่านี้มากกว่าโครงสร้างพีชคณิตนามธรรม [ 1 ] ในสาระ การทำให้วัตถุพีชคณิตนามธรรมรูปธรรมมากขึ้น โดยได้อธิบายองค์ประกอบของเมทริกซ์และการดำเนินงานในแง่ของการบวกเมตริกซ์พีชคณิตเมทริกซ์การคูณ ในพีชคณิตวัตถุสิ่งอำนวยความสะดวกเช่นรายละเอียดรวมถึงกลุ่มเชื่อมโยงพีชคณิตโกหกพีชคณิต . ที่โดดเด่นที่สุดของเหล่านี้ ( และในประวัติศาสตร์ครั้งแรก ) เป็นแทนทฤษฎีของกลุ่มซึ่งในองค์ประกอบของกลุ่มจะแสดงโดย invertible เมทริกซ์ในลักษณะกลุ่มปฏิบัติการ การคูณเมทริกซ์ [ 2 ]ทฤษฎีการเป็นตัวแทน เป็นวิธีที่มีประโยชน์ เพราะมันช่วยลดปัญหาพีชคณิตนามธรรมของปัญหาในพีชคณิตเชิงเส้น เรื่องที่เข้าใจได้ดี [ 3 ] นอกจากนี้ เวกเตอร์พื้นที่ที่กลุ่ม ( ตัวอย่าง ) เป็นตัวแทนสามารถอนันต์มิติ และอนุญาตให้มันเป็น ตัวอย่าง ฮิลเบิร์ตพื้นที่ วิธีการ ของการวิเคราะห์สามารถประยุกต์ทฤษฎีของกลุ่ม [ 4 ] แทนทฤษฎีสำคัญในวิชาฟิสิกส์ เพราะมันอธิบายถึงวิธีสมมาตรกลุ่มของระบบทางกายภาพมีผลต่อคำตอบของสมการที่อธิบายว่าระบบ [ 5 ]คุณสมบัติของทฤษฎี คือ แพร่หลายในคณิตศาสตร์ มี 2 ด้านนี้ ก่อน การประยุกต์ใช้ทฤษฎีหลากหลาย : [ 6 ] นอกเหนือไปจากผลกระทบในพีชคณิตทฤษฎี :ส่องสว่าง และฟูเรียร์การวิเคราะห์เช่นนี้ได้ขยายผ่านการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก [ 7 ]เชื่อมต่อกับทางทฤษฎีค่าคงที่เรขาคณิตและโปรแกรมเพิร์ท , [ 8 ]มีผลกระทบในทฤษฎีจำนวนผ่านรูปแบบ automorphic และโปรแกรมแลงแลนด์ [ 9 ]ด้านที่สอง คือ ความหลากหลายของแนวทางทฤษฎีการเป็นตัวแทน วัตถุเดียวกันสามารถใช้ศึกษาวิธีการจากเรขาคณิต พีชคณิต ทฤษฎีโมดูลการวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวนเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ , ทฤษฎี , ผู้ประกอบการ , พีชคณิต และทอพอโลยี [ 10 ]ความสำเร็จของทฤษฎีมี led ทั่วไปมากมาย หนึ่งในประเภททั่วไปมากที่สุด คือ ในทางทฤษฎี [ 11 ] วัตถุเชิงพีชคณิตซึ่งใช้ทฤษฎีดูได้เป็นบางชนิด ประเภท และเป็นตัวแทนในฐานะ functors จากประเภทวัตถุในประเภทของการเป็นเวกเตอร์ นี้รายละเอียดจุดสองชัดเจนทั่วไป : แรก , พีชคณิตวัตถุจะถูกแทนที่โดยประเภททั่วไปมากขึ้น ประการที่สอง เป้าหมายประเภทของปริภูมิเวกเตอร์สามารถถูกแทนที่ด้วยอื่น ๆ ก็เข้าใจ ประเภท