By construction, C lies on the circ

By construction, C lies on the circle with center A and radius b. Angle DCE subtends its diameter and thus is right: DCE = 90°. It follows that BCD = ACE. Since ΔACE is isosceles, CEA = ACE.

Triangles DBC and EBC share DBC. In addition, BCD = BEC. Therefore, triangles DBC and EBC are similar. We have BC/BE = BD/BC, or

a / (c + b) = (c - b) / a.

And finally

a² = c² - b²,
a² + b² = c².

The diagram reminds one of Thâbit ibn Qurra's proof. But the two are quite different. However, this is exactly proof 14 from Elisha Loomis' collection. Furthermore, Loomis provides two earlier references from 1925 and 1905. With the circle centered at A drawn, Loomis repeats the proof as 82 (with references from 1887, 1880, 1859, 1792) and also lists (as proof 89) a symmetric version of the above:



For the right triangle ABC, with right angle at C, extend AB in both directions so that AE = AC = b and BG = BC = a. As above we now have triangles DBC and EBC similar. In addition, triangles AFC and ACG are also similar, which results in two identities:

a² = c² - b², and
b² = c² - a².

Instead of using either of the identities directly, Loomis adds the two:

2(a² + b²) = 2c²,

which appears as both graphical and algebraic overkill.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โดยก่อสร้าง C อยู่ในวงกลม A ศูนย์และรัศมี subtends เส้นผ่าศูนย์กลางของ DCE มุมเกิด และดัง อยู่: DCE = 90 องศา เป็นไปตามที่ BCD =เอส เนื่องจาก ΔACE เป็นหน้าจั่วทรง CEA =เอสสามเหลี่ยม DBC และ EBC DBC ใช้ร่วมกัน นอกจากนี้ BCD =บีอีซี ดังนั้น สามเหลี่ยม DBC และ EBC มีลักษณะ เรามี BC / = BD/BC หรือเป็น / (c + b) = (c - b) / แบบและสุดท้ายa² = c² - b²a² + b² = c²ไดอะแกรมการเตือน Qurra Thâbit บินหลักฐานอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ทั้งสองอย่างค่อนข้าง อย่างไรก็ตาม นี่คือสะกด 14 จากคอลเลกชันของ Loomis เอลีชา นอกจากนี้ Loomis ให้อ้างอิงก่อนหน้านี้ทั้งสองจาก 1925 และ 1905 กับวงกลมที่วาด A, Loomis ซ้ำกันที่ 82 (อ้างอิงจาก 1887, 1880, 1859, 1792) และยัง มีรายการ (เป็นหลักฐานที่ 89) สมมาตรแบบด้านบน:สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC กับฉากที่ C ขยาย AB ในทั้งสองทิศทางนั้นที่ AE = AC = b และ BG = BC =เป็น ข้างเราตอนนี้มีสามเหลี่ยม DBC และ EBC เหมือน สามเหลี่ยมเอเอฟซีและจีบก็คล้ายกัน ซึ่งผลลัพธ์ในข้อมูลเฉพาะตัวที่สอง:a² = c² - b² และb² = c² - a²แทนที่จะใช้ลักษณะเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่งโดยตรง Loomis เพิ่มทั้งสอง:2 (a² + b²) = 2 c²ซึ่งปรากฏเป็น overkill กราฟิก และพีชคณิต

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดยการก่อสร้าง, C อยู่บนวงกลมกับศูนย์และรัศมีข มุม DCE subtends เส้นผ่าศูนย์กลางและทำให้ถูกต้อง: DCE = 90 ° มันตามที่ BCD = ACE ตั้งแต่ΔACEเป็นหน้าจั่ว CEA = ACE. สามเหลี่ยม DBC และส่วนแบ่ง EBC DBC นอกจากนี้บีอีซี BCD = ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมและ DBC EBC จะคล้ายกัน เรามี BC / พ.ศ. = BD / BC หรือA / (C + ข) = (ค - ข) / a. และในที่สุดรฒร = c² - b²,. รฒร + b² = c²แผนภาพเตือนหนึ่งในหลักฐานThabit อิบัน Qurra ของ . แต่ทั้งสองแตกต่างกันมาก แต่นี้เป็นหลักฐานว่าจากการเก็บ 14 เอลีชาลูมิส ' นอกจากนี้ลูมิสให้ก่อนหน้านี้สองอ้างอิงจากปี 1925 และ 1905 ด้วยวงกลมศูนย์กลางที่ A วาดลูมิสซ้ำหลักฐานเป็น 82 (ที่มีการอ้างอิงจากปี 1887, 1880, 1859, 1792) และยังแสดง (เป็นหลักฐาน 89) รุ่นสมมาตร ดังกล่าวข้างต้น: สำหรับสามเหลี่ยม ABC มีมุมขวาที่ C ขยาย AB ทั้งสองทิศทางเพื่อให้ AE = AC = b และ BG BC = = a ดังกล่าวตอนนี้เรามีรูปสามเหลี่ยมและ DBC EBC ที่คล้ายกัน นอกจากนี้สามเหลี่ยมเอเอฟซีและ ACG นอกจากนี้ยังมีที่คล้ายกันซึ่งจะส่งผลในสองตัวตน: รฒร = c² - b²และ. b² = c² - รฒรแทนการใช้อย่างใดอย่างหนึ่งของตัวตนโดยตรง Loomis เพิ่มที่สอง: 2 (รฒร + b²) = 2c², ซึ่งปรากฏเป็น overkill ทั้งกราฟิกและพีชคณิต

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยการก่อสร้าง , C ที่อยู่บนวงกลมกับศูนย์และมุมรัศมี พ. dce subtends เส้นผ่านศูนย์กลาง และดังนั้นจึง ถูก dce = 90 องศา . มันเป็นไปตามที่ BCD = เอซ เนื่องจากเป็นหน้าจั่ว CEA = Δเอซ , เอซ

และสามเหลี่ยม DBC EBC แบ่งปัน DBC . นอกจากนี้ BCD = บีอีซี . ดังนั้น สามเหลี่ยมและ DBC EBC จะคล้ายกัน เรามีบีซีเป็น = BD / BC หรือ

( B / C ) = ( c - B ) a .

และในที่สุด

พนักงานขายพนักงานขายพนักงานขาย = C - B , B = C : พนักงานขายพนักงานขายพนักงานขาย .

แผนภาพเตือนหนึ่งของ th âบิตบน qurra พิสูจน์ แต่ทั้งสองจะแตกต่างกันมาก อย่างไรก็ตาม นี่เป็นข้อพิสูจน์ 14 จากเอลีชา ลูมิส ' คอลเลกชัน นอกจากนี้ ลูมิสให้สองก่อนหน้านี้อ้างอิงจากพ.ศ. 2468 และ 1905 กับวงกลมตรงกลางที่วาด ลูมิสซ้ำหลักฐานเป็น 82 ( อ้างอิงจาก 1887 1880 1859 , ,1 ) และยังรายการ ( เป็นหลักฐาน 89 ) รุ่นสมมาตรของข้างต้น :



สำหรับขวาสามเหลี่ยม ABC มีมุมขวาที่ C ขยาย AB ในทั้งสองทิศทางเพื่อให้เอ = AC = b และ BG = BC = A ข้างบน ตอนนี้เรามีสามเหลี่ยมและ DBC EBC ที่คล้ายคลึงกัน นอกจากนี้ ACG ยังคล้ายสามเหลี่ยม และ เอเอฟซี ซึ่งผลลัพธ์ในสองตัวตน :

- b = c พนักงานขายพนักงานขายพนักงานขายและพนักงานขาย =
b c -

พนักงานขายพนักงานขายแทนการใช้อย่างใดอย่างหนึ่งของตนโดยตรง ลูมิสเพิ่มสอง :

2 ( พนักงานขายพนักงานขายพนักงานขาย = 2 , B )

ซึ่งปรากฏเป็นทั้งแบบกราฟิกและพีชคณิตของการฆ่า