Closed Operators Which Commute with

Closed Operators Which Commute with Convolution*
JAMES A. WOOD
Department of Mathematics, Georgetown University, Washington, D. C. 20007
and Department of Mathematics, Virginia Commonwealth University,
Richmond, Virginia 23220
Submitted by R. Bellman
1. INTRODUCTION
Denote by Li the Banach algebra of absolutely (Lebesgue) integrable
functions on the real line, with the usual operations of addition and
scalar multiplication, with multiplication defined by convolution;
(f * id4 = l-“m f(x - t> At) 4 and with the norm of an element f ELM
defined by I] f 11 = s_mm 1 f (t)l dt. As usual, we identify functions which are
equal almost everywhere. For f EP, the Fourier transformf of f is defined by
f(x) = sza eiztf(t) dt.
If K(t), - 03 < t < + CO, is a function of bounded variation on the
real line, then the operator TK : L1 + L1, defined by
Tdf> (~1 = lrn fh - t)dK(tL -cc
is a bounded linear operator which commutes with convolution in the sense
that TK( f * g) = f t T,(g) = g * TK( f) for all f, g E L1 and
II TKII = j-m I dW)I . --io
(The integral is taken in the Lebesgue-Stieltjes sense and sz- I dK(t)l is the
total variation of K as a set function.) It is known that this is the most general
type of bounded operator which commutes with convolution. More precisely,
if T is a bounded operator which commutes with convolution, then there
exists a function K(t) of bounded variation on the entire line, such that
T(f) (4 = .k:mf(x - t) dK(t) f or allfeLl and 11 T/I = sym 1 dK(t)l . (Note
that T need not be assumed linear, this fact being implied by the conclusion.)
Thus, if T is a bounded (linear) operator which commutes with convolution,
*This research was supported by U. S. Army Research Office, Durham, N. C.,
Contract No. DA-31-124-ARO-D-271; National Science Foundation Grant No.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผู้ประกอบการปิดซึ่งการเดินทางกับการพัฒนา *ไม้อ.เจมส์ภาควิชาคณิตศาสตร์ คิวบา วอชิงตัน D. C. 20007และภาควิชา คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยเวอร์จิเนียเครือจักรภพริชมอนด์ เวอร์จิเนีย 23220โดย R. ยาม1. บทนำแสดง โดยหลี่ Banach พีชคณิตของจริง ๆ (Lebesgue) มือกลฟังก์ชันบนบรรทัดจริง มีการดำเนินงานปกติของนอก และการคูณสเกลา กับคูณที่กำหนด โดยการพัฒนา(f * id4 = l- " m f (x - t > ที่) 4 และ ด้วยบรรทัดฐานของการองค์ประกอบ f เอล์มกำหนด โดยผม] f 11 s_mm 1 f (t) = l dt เหมือนปกติ เราระบุฟังก์ชันที่มีเท่ากับเกือบทุก สำหรับ f ที่ EP, transformf ฟูริเยร์ของ f จะถูกกำหนดโดยf (x) = sza eiztf(t) dtถ้า K(t), - 03 < t < + CO เป็นการทำงานของรูปแบบ bounded บนบรรทัดจริง แล้วผู้ประกอบการ TK: L1 + L1 กำหนดโดยTdf > (~ 1 = lrn fh - t) dK (tL -ccเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น bounded ซึ่ง commutes กับการพัฒนาในแง่ที่ TK (f * g) = f t T,(g) = g * TK (f) สำหรับทั้งหมด f, g E L1 และII TKII ม j =ฉัน dW) ฉัน -io(ในระบบเมตริกจะมาในความรู้สึก Lebesgue Stieltjes และ sz - ฉัน l dK (t) เป็นการรวมรูปของ K เป็นฟังก์ชันตั้งค่า) เป็นที่รู้จักกันว่า เป็นทั่วไปมากที่สุดประเภทของผู้ประกอบการ bounded ซึ่ง commutes กับการพัฒนา เบสถ้า T เป็นตัวดำเนินการ bounded ซึ่ง commutes กับการพัฒนา แล้วมีฟังก์ชัน K(t) ของรูปแบบ bounded บนบรรทัดทั้งหมด ที่มีอยู่เช่นที่T(f) (4 =.k:mf(x-t) dK(t) f หรือ allfeLl และ 11 T / ฉัน = sym 1 dK (t) l (หมายเหตุว่า T ต้องไม่สามารถสันนิษฐานเชิงเส้น ความจริงข้อนี้มีนัยตามข้อสรุป)ดังนั้น ถ้า T เป็นตัวดำเนินการ (เชิงเส้น) bounded ซึ่ง commutes กับการพัฒนา* งานวิจัยได้รับการสนับสนุน โดยสำนักงานวิจัยกองทัพอเมริกา Durham, N. C.หมายเลขสัญญา DA-31-124-ARO-D-271 หมายเลขเงินช่วยเหลือมูลนิธิวิทยาศาสตร์แห่งชาติ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปิดให้บริการผู้ประกอบการซึ่งการเดินทางกับบิด *
เจมส์เอไม้
ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยจอร์จวอชิงตัน ดี.ซี. 20007
และภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยเวอร์จิเนียเครือจักรภพ
ริชมอนด์เวอร์จิเนีย 23220
เขียนโดยอาร์ยาม
1 บทนำ
แสดงว่าโดยหลี่พีชคณิต Banach ของอย่าง (เกอ) integrable
ฟังก์ชั่นบนเส้นจริงกับการดำเนินงานตามปกติของการบวกและการ
คูณสเกลาคูณด้วยกำหนดโดยบิด;
(F * ID4 = L- "MF (x - T> ที่ ) ที่ 4 และกฎเกณฑ์ขององค์ประกอบ F ELM
กำหนดโดย I] F 11 = s_mm 1 f (t) L DT. ตามปกติเราระบุฟังก์ชั่นที่มีความ
เท่าเทียมกันเกือบทุกที่. สำหรับ F EP ที่ transformf ฟูริเยร์ F มีการกำหนด โดย
f (x) = SZA eiztf (t) dt.
ถ้า k (t) - 03 <T <+ CO เป็นฟังก์ชั่นของการเปลี่ยนแปลงทางทิศ
บรรทัดจริงแล้ว TK ประกอบการ: L1 + L1 กำหนดโดย
TDF > (~ 1 = LRN FH - T) DK (TL -cc
เป็นผู้ประกอบการเชิงเส้น จำกัด ซึ่ง commutes กับบิดในแง่ที่
ว่า TK (F * G) = Ft T (G) = G * TK (ฉ) สำหรับทุก F, G E L1 และ
ครั้งที่สอง TKII = JM ฉัน DW) i. --io
(ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญถูกนำมาในความรู้สึกเกอ-Stieltjes และ sz- ฉัน DK (t) L เป็น
รูปแบบทั้งหมดของ K รวมฟังก์ชั่นชุด.) เป็นที่รู้จักกันว่านี่คือทั่วไปมากที่สุด
ประเภทของผู้ประกอบการที่ จำกัด ซึ่ง commutes กับบิด. อย่างแม่นยำมากขึ้น
ถ้า T เป็นผู้ประกอบการที่ จำกัด ซึ่ง commutes กับบิดแล้วมี
อยู่ K ฟังก์ชั่น (T) ของการเปลี่ยนแปลงทางทิศทั้งเส้นเช่น ที่
T (F) (4 = .k: MF (x - T) DK (t) f หรือ allfeLl 11 และ T / I = 1 SYM DK (t) L (หมายเหตุ
ว่า T ไม่จำเป็นต้องสันนิษฐานว่าเส้นความเป็นจริงนี้ถูกโดยนัยสรุป.)
ดังนั้นหาก T เป็นที่สิ้นสุด (เชิงเส้น) ผู้ประกอบการซึ่ง commutes กับบิด,
* งานวิจัยนี้ได้รับการสนับสนุนจากกองทัพสหรัฐสำนักวิจัย, Durham, NC,
เลขที่สัญญา DA-31-124-ARO-D-271; มูลนิธิวิทยาศาสตร์แห่งชาติฉบับที่แกรนท์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปิดผู้ประกอบการซึ่งเดินทางด้วยขด *เจมส์ ไม้ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยจอร์จทาวน์ กรุงวอชิงตัน ดี. ซี 20007และภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยจักรภพเวอร์จิเนียริชมอนด์ , เวอร์จิเนีย 23220พนักงานส่งโดย1 . แนะนำแสดงโดย หลี่ ในพีชคณิตบานาค ( lebesgue ) ความสมบูรณ์ของอย่างแน่นอนฟังก์ชันบนบรรทัดที่แท้จริง กับการดำเนินงานตามปกติของการบวกและการคูณสเกลาร์กับการคูณกำหนดโดยขด ;( F * id4 = l - m " F ( x - T > ) 4 และบรรทัดฐานขององค์ประกอบ F เอล์มกำหนดโดยผม ] F 11 = s_mm 1 f ( t ) l DT . ตามปกติ เราสามารถระบุฟังก์ชันซึ่งเป็นเท่ากับเกือบทุกแห่ง f EP , transformf ฟูเรียร์ f เป็น กําหนดโดยf ( x ) = sza eiztf ( T ) DT .ถ้า k ( t ) - 03 < t < + Co เป็นฟังก์ชันที่จำกัดของการเปลี่ยนแปลงในจริงบรรทัดแล้วผู้ประกอบการ TK : L1 + L1 , กําหนดโดยTDF > ( ~ 1 = lrn FH - T ) DK ( TL - ซีซีเป็นผู้ประกอบการแลกเปลี่ยนกับขดเส้นล้อมรอบซึ่งในความรู้สึกที่ TK ( f * g ) = F T T ( g ) = G * TK ( F ) สำหรับ F G E L1 และ2 tkii = J M ผมแห้ง ) . -- โอ( จำนวนที่ถ่ายใน lebesgue stieltjes ความรู้สึกและ SZ - DK ( T ) L คือการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของ K เป็นชุดฟังก์ชัน มันเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นทั่วไปมากที่สุดประเภทจำกัดของผู้ประกอบการซึ่งเดินทางด้วยขด . มากขึ้นแน่นอนถ้า T เป็นผู้ประกอบการซึ่งเดินทางด้วยขดล้อมรอบนั้นมีอยู่ฟังก์ชัน K ( T ) จำกัดของการเปลี่ยนแปลงในบรรทัดทั้งหมด เช่นT ( F ) ( 4 = . K : MF ( x - T ) DK ( T ) f หรือ allfell 11 T / I = sym 1 DK ( T ) L . ( หมายเหตุนั้นไม่ต้องสันนิษฐานเชิงเส้น ข้อเท็จจริงนี้ถูกกล่าวโดยสรุป )ดังนั้นถ้า T เป็นล้อมรอบ ( เชิงเส้น ) ผู้ประกอบการซึ่งเดินทางกับผลการประสาน* การวิจัยนี้ได้รับการสนับสนุนโดยสำนักงานวิจัยสหรัฐกองทัพ Durham , N . C ,สัญญาไม่ da-31-124-aro-d-271 ; มูลนิธิวิทยาศาสตร์แห่งชาติให้ไม่