it has a double-infinity of square

it has a double-infinity of square roots plus two scalar square roots as given by (4a) and (4b). Case 2: A is not a scalar matrix. If A is not a scalar matrix then tr X # O in (3). Consequently, every square root X has the form: Substituting this expression for X into (1)and using the Cayley-Hamilton theorem for A we find A" (2&,J> -T"A + (det A)I = O ((trA)A -(det A)I) + (2e,J> -T"A + (det A)I = 0 Since A is not a scalar matrix then A is not a zero matrix, so If (tr A)' # 4 det A then both values of el may be used in (5) without reducing T to zero. Consequently, it follows from (3) that we may write X, the square root of A, as Here each ei = 1,and if det A # 0 the result determines exactly four square roots for A. However, if det A = 0 then result (6a) detennines two square roots for A as given by Alternatively, if (tr A)' = 4det A # 0, then one value of E, in (5) reduces T to zero whereas the other value ~ields the result

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มีห้องอินฟินิตี้ของรากสองรากสเกลาที่กำหนดโดย (4a) และ (4b) กรณีที่ 2: A ไม่ได้เมทริกซ์สเกลา ถ้า A เป็นเมตริกซ์สเกลาแล้ว tr X # O ใน (3) ดัง รากทุก X มีแบบ: แทนนิพจน์นี้สำหรับ X ใน (1) และการใช้ทฤษฎีบทฮามิลตัน Cayley สำหรับเราค้นหา A " (2 & เจ > -T " A + (เดช A) ฉัน = O ((ตรา) A- (เดช A) ฉัน) + (2e เจ > -T " A + (เดช A) ฉัน = 0 เนื่องจากเป็นไม่เมทริกซ์สเกลา แล้วไม่ศูนย์เมทริกซ์คือ ถ้าเช่นนั้น (tr A)' #4 เดช A แล้วค่าทั้งสองของเอลอาจใช้ใน (5) โดยไม่ลด T เป็นศูนย์ได้ ดังนั้น เป็นไปตาม (3) เราอาจเขียน X ค่ารากที่สองของ A เป็นที่นี่ละ ei = 1 และเดช A #0 ผลกำหนดสี่ตรงรากสำหรับอ. อย่างไรก็ตาม ถ้าเดช A = 0 แล้วผลลัพธ์ (6a) detennines สองรากสำหรับ A ที่กำหนดโดยหรือ ถ้า (tr A)' = 4det A #0 แล้วค่า E หนึ่งใน (5) ลด T เป็นศูนย์ในขณะที่ค่าอื่น ๆ ~ ields ผล < 2e1J = = tr A และกรณี รากสองที่กำหนดให้ โดยไม่มี "อ. tr 2 นี้ในที่สุด ถ้า (tr A)' =เดช 4 A = 0 แล้วค่าทั้งสองของเอลลด T เป็นศูนย์ (5) ดังนั้น เป็นไปตาม โดยความขัดแย้งที่มีรากไม่ สำหรับกรณีนี้ เราสรุปว่า เมทริกซ์ nonscalar, A มีรากถ้า และเท่านั้น อย่างน้อย 1 หมายเลข tr A และ A เดช nonzero แล้วเมตริกซ์มี 4 รากรับ โดย (Ga) (ตรา)'# 4det A, A #0 เดช และรากสองที่กำหนด (Gb) หรือ (Gc) ถ้าเร็ว ๆ นี้จาก (6a) ที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ก็มีคู่อินฟินิตี้ของรากที่สองบวกสองรากที่สองสเกลาร์ที่กำหนดโดย (4a) และ (4b) กรณีที่ 2: ไม่ได้เป็นสเกลาแมทริกซ์ ถ้าไม่ได้เป็นเมทริกซ์เกลาแล้วทีอาร์เอ็กซ์ # O ใน (3) ดังนั้นทุกราก X มีรูปแบบ: แทนนิพจน์นี้สำหรับ X ลงใน (1) และการใช้ทฤษฎีบทเคย์ลีแฮมิลตันของ A ที่เราพบเป็น "(2 & J> -T" A + (det A) I = O ( (TRA) จาก A - (det A) I) + (2e เจ> -T "A + (det A) I = 0 เ​​นื่องจากไม่ได้เป็นเมทริกซ์เกลาแล้วไม่ได้เป็นศูนย์เมทริกซ์ดังนั้นถ้า (ทีอาร์เอ) '# 4 เดชอุดมจากนั้นค่านิยมของเอลทั้งสองอาจจะใช้ใน (5) โดยไม่ต้องลด T เพื่อเป็นศูนย์. ดังนั้นมันดังมาจาก (3) ที่เราอาจจะเขียน x, รากที่สองของเป็นที่นี่แต่ละเน = 1 และถ้าเดชอุดม # 0 ผลจะเป็นตัวกำหนดว่าสี่รากที่สองสำหรับเอ แต่ถ้า det A = 0 แล้วส่งผล (6a) detennines สองรากที่สองของ A ที่กำหนดโดยหรือถ้า (ทีอาร์เอ) '= 4det # 0 จากนั้นหนึ่งค่าของ E ใน (5) ลด T เพื่อเป็นศูนย์ในขณะที่ค่าอื่น ~ ields ผล <; 2e1J = ทีอาร์และกรณีมีตรงสองรากที่กำหนดโดย T "2 ทีอาร์เอในที่สุดนี้ ถ้า (TR A) = 4 det A = 0 แล้วค่าทั้งสองเอลลด T เพื่อเป็นศูนย์ใน (5). ดังนั้นมันจึงตามด้วยความขัดแย้งที่มีไม่มีราก. สำหรับกรณีนี้เราสรุปได้ว่าเมทริกซ์ nonscalar, A มีรากที่สองถ้าหากว่าอย่างน้อยหนึ่งหมายเลขทีอาร์และ det A, ไม่ใช่ศูนย์ เมทริกซ์นั้นมีสี่ตารางรากที่กำหนดโดย (GA) ถ้า (TRA) # 4det A, det # 0 และสองรากที่ได้รับจาก (Gb) หรือ (Gc) ถ้าเป็นมูลค่า noting จาก (6a) ที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มันมีอินฟินิตี้เท่าของรากที่สองบวกสองสเกลาร์สแควร์รากเป็นให้โดย ( 4 ) และ ( 4B ) กรณีที่ 2 : ไม่ใช่สเกลาร์เมทริกซ์ ถ้าไม่ใช่สเกลาร์เมทริกซ์แล้ว TR x # O ( 3 ) ดังนั้นทุกกรณฑ์ x มีรูปแบบ : แทนการแสดงออกนี้ X ลงใน ( 1 ) และการใช้ทฤษฎีบทเคย์เลย์แฮมิลตันสำหรับเราหา " ( 2 & J & GT - t " ( เดช ) = O ( ( TRA ) - ( 5 ) ชั้น ( 2 ) ,เจ& GT - t " ( เดช ) ฉัน = 0 เนื่องจากไม่ใช่สเกลาร์เมทริกซ์แล้วไม่เป็นเมทริกซ์ศูนย์ดังนั้นหาก ( TR ) ' # 4 เดชแล้ว ทั้งค่าของ เอล อาจจะใช้ ( 5 ) โดยไม่ลดทีศูนย์ ดังนั้นตามจาก ( 3 ) เราอาจเขียน x รากที่สองของที่นี่แต่ละ EI = 1 และถ้ามันเป็น# 0 ผลกำหนดตรงสี่จัตุรัสรากของ อย่างไรก็ตามถ้ามัน = 0 แล้วผล ( 6a ) detennines สองสี่เหลี่ยม รากเป็นให้หรือถ้า ( TR ) ' = 4det เป็น# 0 แล้วหนึ่งค่าของ E ใน ( 5 ) ลด t ศูนย์ในขณะที่อีกค่า ~ ields ผล < = = ; 2e1j TR และกรณี , มีคน 2 . รากที่สองโดยให้ t " 2 TR . ในท้ายที่สุด หาก ( TR ) ' = 4 เดช = 0 แล้วค่าทั้งสองของเอลลดทีศูนย์ใน ( 5 )ดังนั้นตามความขัดแย้งที่ไม่มีรากสแควร์ กรณีนี้เราสรุปได้ว่า nonscalar เมทริกซ์ , และ , มีรากตารางถ้าและเพียงถ้าอย่างน้อยหนึ่งของตัวเลข , TR และเดช เป็น 0 . แล้ว Matrix ได้สี่จัตุรัสรากให้ ( GA ) ถ้า ( TRA ) ' # 4det , มันเป็น# 0 และ 2 จัตุรัสรากให้ ( GB ) หรือ ( GC ) ถ้ามันเป็นมูลค่า noting ( 6a ) ว่า