Proof. (1) Let J be an ideal of L′.

Proof. (1) Let J be an ideal of L′. Since f(0) = 0′ ∈ J, we obtain 0 ∈ f−1(J).
Let a, b ∈ f−1(J) where a, b ∈ L. Then f(a), f(b) ∈ J. Since J is an ideal in
L′, we obtain that f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b) ∈ J. Therefore a ∨ b ∈ f−1(J). Again,
let x ∈ f−1(J) and r ∈ L. Then f(x) ∈ J. Now f(x ∧ r) = f(x) ∧ f(r) ∈ J.
Hence x ∧ r ∈ f−1(J). Therefore f−1(J) is an ideal of L. Since 0′ ∈ J, we obtain
Kerf = f−1({0′}) ⊆ f−1(J).
(2) Since f is a homomorphism and 0 ∈ I, we obtain that 0′ = f(0) ∈ f(I).
Let f(a), f(b) ∈ f(I), where a, b ∈ I. Since I is an ideal, a ∨ b ∈ I and hence
f(a ∨ b) ∈ f(I). Therefore f(a) ∨ f(b) ∈ f(I). Again, let f(a) ∈ f(I) and r ∈ L′,
where a ∈ I. Since f is onto, there exists s ∈ L such that f(s) = r. Now
f(a) ∧ r = f(a) ∧ f(s) = f(a ∧ s) ∈ f(I). Therefore f(I) is an ideal in L′.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐานการ (1) ให้ถูกเหมาะของ L′ J ตั้งแต่ f(0) = 0′ ∈ J เราได้รับ 0 ∈ f−1(J)ให้ a, b ∈ f−1(J) a, b ∈ L. แล้ว f(a), f(b) ∈เจ เนื่องจาก J เหมาะในL′ เราได้รับนั้น f (∨ b) = f(a) ∨ f(b) ∈เจ ดังนั้นการ∨ b ∈ f−1(J) อีกครั้งให้ x ∈∈ r และ f−1(J) L. แล้ว f(x) ∈เจ ตอนนี้ f (x ∧ r) = f(x) ∧ f(r) ∈เจดังนั้น f−1(J) ∈ r x ∧ ดังนั้น f−1(J) จึงเหมาะของ L. ตั้งแต่ 0′ ∈ J เรารับKerf = f−1({0′}) ⊆ f−1(J)(2) เนื่องจาก f เป็นแบบ homomorphism และ 0 ∈ เราได้ที่ 0′ = f(0) ∈ f(I)ให้ f(a), f(b) ∈ f(I), b ∈ a ฉัน ตั้งแต่ฉันเป็นเหมาะ การ∨ b ∈ฉัน และดังนั้นf (∨ b) ∈ f(I) ดังนั้น f(a) ∨ f(b) ∈ f(I) ให้ f(a) ∈ r และ f(I) ∈ L′ อีกครั้ง∈การฉัน เนื่องจาก f ไปยัง มี∈ s L เช่นที่ f(s) =อาร์เดี๋ยวนี้f(a) ∧ r = f(a) ∧ f(s) = f(I) ∈ f (∧ s) ดังนั้น f(I) จะเหมาะใน L′

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ (1) ให้ J เป็นอุดมคติของ L ' ตั้งแต่ f (0) = 0 '∈ J เราได้รับ 0 ∈ F-1 (J).
ขอข∈ F-1 (J) ที่ A, B ∈ลิตรแล้ว f (), f (ข) ∈เจตั้งแต่ J เหมาะใน
L 'เราได้ว่า f (ข∨) = f () ∨ f (ข) ∈เจดังนั้น∨ข∈ F-1 (J) อีกครั้ง
ให้ x ∈ F-1 (J) และ R ∈ลิตรแล้ว f (x) ∈เจตอนนี้ f (x ∧ R) = f (x) ∧ f (R) ∈เจ
ดังนั้น x ∧ R ∈ฉ -1 (J) ดังนั้น F-1 (J) เป็นอุดมคติของ L. ตั้งแต่ 0 '∈ J เราได้รับ
Kerf = F-1 ({0 '}) ⊆ F-1 (J).
(2) ตั้งแต่ฉเป็น Homomorphism และ 0 ∈ผมเราได้ที่ 0 '= f (0) ∈ f (I).
ให้ f (a) f (ข) ∈ f (I) ที่ A, B ∈ I. ตั้งแต่ผมเป็นเหมาะ∨ ข∈ฉันและด้วยเหตุนี้
f (ข∨) ∈ f (I) ดังนั้น f () ∨ f (ข) ∈ f (I) อีกครั้งให้ f () ∈ f (I) และ R ∈ L '
ที่∈ I. ตั้งแต่ฉเป็นบนมีอยู่∈ S L ดังกล่าวว่า f (s) = R ตอนนี้
f () ∧ r = f () ∧ f (s) = f (S ∧) ∈ f (I) ดังนั้น f (I) เป็นที่เหมาะสำหรับใน L '

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ ( 1 ) ให้ เจ เหมาะเป็นของฉันได้รับ . เนื่องจาก f ( 0 ) = 0 นั้น∈ J เราขอรับ 0 ∈ F − 1 ( J )
ให้ A , B ∈ F − 1 ( J ) ที่ A , B ∈ L แล้ว F ( A ) f ( b ) J . J ∈ตั้งแต่เป็นอุดมคติใน
L นั้น เราได้รับ ให้ f ( ∨ B ) = f ( a ) f ( b ) J ∨∈จึง∨ B ∈ F − 1 ( J ) อีกครั้ง
ให้∈ F − 1 X ( J ) L และ R ∈แล้ว f ( x ) f ( x ∧ตอนนี้∈ J . r ) = f ( x ) ∧ F ( R ) ∈ J .
ดังนั้น x ∧ R ∈ F − 1 ( J ) ดังนั้น F − 1 ( J ) ที่เป็นอุดมคติของ Lตั้งแต่ 0 นั้น∈ J เราขอรับ
เคิฟ = F − 1 ( { 0 นั้น⊆ F − 1 ( } ) J )
( 2 ) เมื่อ F คือ homomorphism และ 0 ∈ฉันได้รับว่า 0 นั้น = f ( 0 ) ∈ F ( i )
ให้ f ( a ) , F ( b ) ∈ F ( i ) ที่ A , B ∈ฉันตั้งแต่ฉันเป็นอุดมคติ , ∨ B ∈ผมและด้วยเหตุนี้
F ( ∨ B ) ∈ F ( I ) ดังนั้น f ( a ) f ( b ) ∨∈ F ( I ) อีกครั้ง ให้ F ( ) ∈ F ( i ) และ R ∈ผมดูแลผมตั้งแต่ที่∈
, F บน มี S ∈ L ที่ F ( s ) = ตอนนี้
Rf ( A ) ∧ r = F ( ) ∧ F ( s ) = f ( ∧ s ) ∈ F ( I ) ดังนั้น f ( I ) ที่เป็นอุดมคติใน L ’ .