In quantum mechanics, the total ang

In quantum mechanics, the total angular momentum quantum number parameterises the total angular momentum of a given particle, by combining its orbital angular momentum and its intrinsic angular momentum (i.e., its spin).

The total angular momentum corresponds to the Casimir invariant of the Lie algebra so(3) of the three-dimensional rotation group.

If s is the particle's spin angular momentum and ℓ its orbital angular momentum vector, the total angular momentum j is

{displaystyle mathbf {j} =mathbf {s} +{oldsymbol {ell }}~.} {displaystyle mathbf {j} =mathbf {s} +{oldsymbol {ell }}~.}
The associated quantum number is the main total angular momentum quantum number j. It can take the following range of values, jumping only in integer steps:

{displaystyle |ell -s|leq jleq ell +s} |ell - s| le j le ell + s
where ℓ is the azimuthal quantum number (parameterizing the orbital angular momentum) and s is the spin quantum number (parameterizing the spin).

The relation between the total angular momentum vector j and the total angular momentum quantum number j is given by the usual relation (see angular momentum quantum number)

{displaystyle Vert mathbf {j} Vert ={sqrt {j,(j+1)}},hbar } Vert mathbf j Vert = sqrt{j , (j+1)} , hbar
The vector's z-projection is given by

{displaystyle j_{z}=m_{j},hbar } j_z = m_j , hbar
where mj is the secondary total angular momentum quantum number. It ranges from −j to +j in steps of one. This generates 2j + 1 different values of mj.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หมายเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมรวม parameterises ในควอนตัม โมเมนตัมเชิงมุมรวมของอนุภาค กำหนดโดยการรวมวงโมเมนตัมเชิงมุมและโมเมนตัมเชิงมุม intrinsic (เช่น การหมุน)โมเมนตัมเชิงมุมรวมสอดคล้องถึงความ Casimir ของ so(3) พีชคณิตการโกหกของกลุ่มการหมุนสามมิติถ้า s เป็นโมเมนตัมเชิงมุมสปินของอนุภาคและℓ เวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมของวงโคจร เจโมเมนตัมเชิงมุมรวมเป็น{ {j } displaystyle mathbf = mathbf {s } + {oldsymbol {ell } } ~ . } { {j } displaystyle mathbf = mathbf {s } + {oldsymbol {ell } } ~ . }หมายเลขควอนตัมที่เกี่ยวข้องคือ j เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมรวมหลัก มันสามารถใช้ช่วงของค่า ที่กระโดดเฉพาะในขั้นตอนจำนวนเต็มต่อไปนี้:{ displaystyle | ell -s | leq jleq ell + s } | ell - s กรุนด์ฟอส le j le ell + sที่ℓเป็นเลขควอนตัมเพิ่ม[แก้ (พารามิเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมวง) และ s เป็นหมายเลขควอนตัมสปิน (พารามิเตอร์การหมุน)ความสัมพันธ์ระหว่าง j เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุมรวมและ j เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมรวมถูกกำหนด โดยความสัมพันธ์ปกติ (ดูเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม){ {j } displaystyle Vert mathbf Vert = ,hbar {sqrt {j,(j+1) } } } Vert mathbf j Vert = sqrt{j , (j + 1) } , hbarของเวกเตอร์ z-ฉายถูกกำหนดโดย{ displaystyle j_ {z } = ,hbar m_ {j } } j_z = m_j , hbarที่ mj เป็นหมายเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมรวมรอง ช่วงจาก −j การ + j ขั้นหนึ่ง นี้สร้าง 2j + 1 ค่าที่แตกต่างของ mj

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในกลศาสตร์ควอนตัมจำนวนโมเมนตัมเชิงมุมควอนตัมรวม parameterises โมเมนตัมเชิงมุมรวมของอนุภาคที่กำหนดโดยการรวมโมเมนตัมเชิงมุมของการโคจรและโมเมนตัมเชิงมุมที่แท้จริง (เช่นการหมุนของมัน). โมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดสอดคล้องกับค่าคงที่เมียร์โกหก พีชคณิตดังนั้น (3) ของกลุ่มการหมุนสามมิติ. หากคือการหมุนโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคและℓโคจรโมเมนตัมเชิงมุมเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมรวม J คือ{ displaystyle mathbf {J} = mathbf {s} + { boldsymbol { ell}} ~.} { displaystyle mathbf {J} = mathbf {s} + { boldsymbol { ell}} ~.} จำนวนควอนตัมที่เกี่ยวข้องเป็นหลักรวมโมเมนตัมเชิงมุมจำนวนควอนตัม J . มันสามารถใช้เวลาช่วงต่อไปของค่ากระโดดเฉพาะในขั้นตอนจำนวนเต็ม: { displaystyle | ell -s | leq J leq ell + S} | ell s - | le J le ell + S ที่ℓเป็นจำนวน azimuthal ควอนตัม (parameterizing โมเมนตัมเชิงมุมโคจร) และ s คือจำนวนสปินควอนตัม (parameterizing ปั่น). ความสัมพันธ์ระหว่างรวมเชิงมุม J โมเมนตัมเวกเตอร์และโมเมนตัมเชิงมุมรวม ควอนตัม J จำนวนจะได้รับจากความสัมพันธ์ปกติ (ดูโมเมนตัมเชิงมุมจำนวนควอนตัม) { displaystyle Vert mathbf {J} Vert = { sqrt {J , (J + 1)}} , hbar} Vert mathbf J Vert = sqrt {J , (J + 1)} , hbar Z-ฉายของเวกเตอร์จะได้รับจาก{ displaystyle J_ {Z} = m_ {J} , hbar} j_z = m_j , hbar ที่ MJ เป็นรวมโมเมนตัมเชิงมุมจำนวนควอนตัมรอง มันมีตั้งแต่ -j กับเจ + ในขั้นตอนที่หนึ่ง นี้สร้าง 2J + 1 ค่าที่แตกต่างของ MJ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในกลศาสตร์ควอนตัม รวม parameterises เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมโมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคทั้งหมดที่ได้รับโดยการรวมโคจรโมเมนตัมเชิงมุมโมเมนตัมเชิงมุมและตัวมัน ( เช่น การปั่น )โมเมนตัมเชิงมุมทั้งหมดสอดคล้องกับแคซีเมียค่าคงที่ของนอนพีชคณิต ( 3 ) ของกลุ่มการหมุนสามมิติถ้าเป็นอนุภาคสปินเป็นโมเมนตัมเชิงมุม และℓเวกเตอร์โมเมนตัมการโคจรเชิงมุมทั้งหมดโมเมนตัมเชิงมุม J คือ{ displaystyle mathbf { J } = mathbf { S } + { { oldsymbol ell } } . } { displaystyle mathbf { J } = mathbf { S } + { oldsymbol ell } } } { ~ที่เกี่ยวข้องเป็นหลัก รวมเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมเลขควอนตัม เจ มันสามารถใช้ช่วงของค่าต่อไปนี้ กระโดดในขั้นตอนเต็ม :{ displaystyle | ell s | leq jleq ell ell s + s - } | | เลอเจเลเอล + sที่ℓคือเลขควอนตัม azimuthal ( parameterizing โมเมนตัมเชิงมุมวง ) และ S คือเลขควอนตัมสปิน ( parameterizing ปั่น )ความสัมพันธ์ระหว่างการรวมเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม J และผลรวมเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม J จะได้รับจากความสัมพันธ์ปกติ ( เห็นเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม )mathbf { J } { displaystyle แนวตั้ง Vert = { SQRT { J ( J + 1 ) } } } ; สีเขียว = สีเขียว mathbf hbar SQRT { J ( J + 1 ) } hbarของเวกเตอร์ z-projection ที่จะได้รับโดย{ displaystyle j_ { Z } { J } = m_ hbar } j_z = m_j hbarที่ MJ เป็นโมเมนตัมเชิงมุมเลขควอนตัมทุติยภูมิทั้งหมด . มันช่วงจาก− J + J ในขั้นตอนเดียว นี้จะสร้าง 2j + 1 ค่าต่าง ๆของ MJ