In mathematics, de Moivre's formula

In mathematics, de Moivre's formula, named after Abraham de Moivre, states that for any complex number (and, in particular, for any real number) x and integer n it holds that

The formula is important because it connects complex numbers (i stands for the imaginary unit) and trigonometry. The expression cos x + i sin x is sometimes abbreviated to cis x.

By expanding the left hand side and then comparing the real and imaginary parts under the assumption that x is real, it is possible to derive useful expressions for cos (nx) and sin (nx) in terms of cos x and sin x. Furthermore, one can use a generalization of this formula to find explicit expressions for the nth roots of unity, that is, complex numbers z such that zn = 1.

Contents

1 Derivation
2 Failure for non-integer powers
3 Proof by induction (for integer n)
4 Formulas for cosine and sine individually
5 Generalization
6 Applications
7 See also
8 References
9 External links
Derivation

Although historically proven earlier, de Moivre's formula can easily be derived from Euler's formula

and the exponential law for integer powers

Then, by Euler's formula,

Failure for non-integer powers

De Moivre's formula does not in general hold for non-integer powers. Non-integer powers of a complex number can have many different values, see failure of power and logarithm identities. However there is a generalization that the right hand side expression is one possible value of the power.

The derivation of de Moivre's formula above involves a complex number to the power n. When the power is not an integer, the result is multiple-valued, for example, when n = ½ then:

Since the angles 0 and 2π are the same this would give two different values for the same expression. The values 1 and −1 are however both square roots of 1 as the generalization asserts.

No such problem occurs with Euler's formula since there is no identification of different values of its exponent. Euler's formula involves a complex power of a positive real number and this always has a preferred value. The corresponding expressions are:

Proof by induction (for integer n)

The truth of de Moivre's theorem can be established by mathematical induction for natural numbers, and extended to all integers from there. Consider S(n):

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในคณิตศาสตร์ สูตรของเดอมัวฟ์ จากอับราฮัมเดอมัวฟ์ ระบุว่า จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ (และ โดยเฉพาะ สำหรับจำนวนจริงใด ๆ) x และจำนวนเต็ม n จะเก็บที่

สูตรเป็นสิ่งสำคัญ เพราะมันเชื่อมต่อซ้อน (ฉันหมายถึงหน่วยจินตภาพ) และตรีโกณมิติ นิพจน์ cos x ฉันบาป x เป็นบางครั้งย่อการ cis x

โดยขยายด้านซ้ายมือ และจากนั้น เปรียบเทียบชิ้นส่วนจริง และจำนวนจินตภาพภายใต้สมมติฐานว่า x เป็นจริง จำเป็นต้องได้รับประโยชน์นิพจน์สำหรับ cos (nx) และบาป (nx) ใน cos x และบาป x นอกจากนี้ หนึ่งสามารถใช้ generalization ของสูตรนี้เพื่อค้นหานิพจน์อย่างชัดเจนสำหรับรากที่ n ของสามัคคี คือ จำนวนเชิงซ้อน z เช่น zn ที่ = 1.

เนื้อหา

มา 1
ล้มเหลว 2 อำนาจไม่ใช่จำนวนเต็ม
พิสูจน์ 3 โดยเหนี่ยวนำ (สำหรับจำนวนเต็ม n)
สูตร 4 สำหรับโคไซน์และไซน์ละ
5 Generalization
ประยุกต์ 6
7 ดู
อ้างอิง 8
9 ลิงก์
มา

แม้ว่าอดีตพิสูจน์ก่อนหน้า สูตรของเดอมัวฟ์สามารถเดินได้มาจากสูตรของออยเลอร์

และกฎหมายเนนสำหรับอำนาจเต็ม

แล้ว ตามสูตรของออยเลอร์,

ความล้มเหลวของอำนาจไม่ใช่จำนวนเต็ม

สูตรของเดอมัวฟ์ไม่ทั่วไปค้างไว้ในอำนาจไม่ใช่จำนวนเต็ม อำนาจไม่ใช่จำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนสามารถมีค่าแตกต่างกันมาก ดูความล้มเหลวของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม จะ generalization ว่านิพจน์ด้านขวามือค่าหนึ่งเป็นไปได้ของพลังงาน

ที่มาของสูตรของเดอมัวฟ์ข้างต้นเกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนการ n พลังงาน เมื่ออำนาจที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ผลมีหลายมูลค่า เช่น เมื่อ n =½แล้ว:

ตั้งแต่มุม 0 และ 2π กัน นี้จะให้ค่าสองค่าที่แตกต่างกันในนิพจน์เดียวกัน ค่า 1 และ −1 เป็นอย่างไรก็ตาม ทั้งสองรากของ 1 เป็น generalization ที่ยืนยัน

ไม่มีปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นกับสูตรของออยเลอร์ว่าไม่ระบุค่าต่าง ๆ ของตัวเลข สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับการใช้พลังงานที่ซับซ้อนของจำนวนจริงบวก และนี้มักจะมีค่าที่ต้องการ เป็นนิพจน์ที่เกี่ยวข้อง:

พิสูจน์ โดยการเหนี่ยวนำ (สำหรับจำนวนเต็ม n)

จริงของทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์สามารถก่อตั้งขึ้น โดยเหนี่ยวนำคณิตศาสตร์สำหรับหมายเลขธรรมชาติ และขยายให้เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดจาก พิจารณา S(n):

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในวิชาคณิตศาสตร์ de Moivre ของสูตรการตั้งชื่อตามอับราฮัมเดอ Moivre กล่าวว่าตัวเลขใด ๆ ที่ซับซ้อน (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุกจำนวนจริง) x และจำนวนเต็มก็ถือได้ว่าสูตรที่เป็นสิ่งสำคัญเพราะมันจะเชื่อมต่อตัวเลขที่ซับซ้อน (i ย่อมาจาก หน่วยจินตนาการ) และตรีโกณมิติ การแสดงออก cos x + บาป i x บางครั้งก็ยากที่จะถูกต้อง x การขยายตัวด้านซ้ายมือแล้วเปรียบเทียบชิ้นส่วนจริงและจินตภาพภายใต้สมมติฐานว่า x เป็นจริงก็เป็นไปได้ที่จะได้รับการแสดงออกที่เป็นประโยชน์สำหรับ cos (NX) และ บาป (NX) ในแง่ของการ cos x และบาป x นอกจากนี้หนึ่งสามารถใช้ทั่วไปของสูตรนี้เพื่อหาการแสดงออกที่ชัดเจนสำหรับรากของความสามัคคีที่เป็นตัวเลขที่ซับซ้อนดังกล่าวว่าซีสังกะสี = 1 สารบัญ1 แหล่งที่มา2 ความล้มเหลวอำนาจที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม3 พิสูจน์โดยอุปนัย (สําหรับจํานวนเต็ม n) 4 สูตรเพื่อโคไซน์และไซน์เป็นรายบุคคล5 ลักษณะทั่วไป6 การประยุกต์ใช้7 ดูเพิ่มเติม8 อ้างอิง9 External links แหล่งที่มาแม้ว่าการพิสูจน์แล้วในอดีตก่อนหน้านี้สูตร de Moivre ที่สามารถจะได้มาจากสูตรออยเลอร์และกฎหมายชี้แจงอำนาจจำนวนเต็มแล้วโดยสูตรออยเลอร์, ความล้มเหลวของอำนาจที่ไม่ใช่จำนวนเต็มสูตรของ De Moivre ไม่ได้ในการถืออำนาจทั่วไปที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อำนาจที่ไม่เป็นจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนสามารถมีค่าที่แตกต่างกันจำนวนมากเห็นความล้มเหลวของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม แต่มีลักษณะทั่วไปว่าการแสดงออกทางด้านขวามือเป็นค่าที่เป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่งของการใช้พลังงานแหล่งที่มาของสูตร de Moivre ข้างต้นเกี่ยวข้องกับจำนวนที่ซับซ้อนเพื่ออำนาจ n เมื่ออำนาจไม่ได้เป็นจำนวนเต็มผลที่ได้คือหลายมูลค่าตัวอย่างเช่นเมื่อ n = ½แล้ว: ตั้งแต่มุม 0 และ2πจะเหมือนกันนี้จะให้สองค่าที่แตกต่างกันสำหรับการแสดงออกเดียวกัน ค่า 1 และ -1 อย่างไรก็ตามทั้งสองรากที่สองของ 1 เป็นลักษณะทั่วไปยืนยันไม่มีปัญหาดังกล่าวเกิดขึ้นกับสูตรออยเลอร์เนื่องจากมีการระบุค่าที่แตกต่างกันของตัวแทนของตน สูตรออยเลอร์ที่เกี่ยวข้องกับการใช้พลังงานที่ซับซ้อนของจำนวนจริงบวกและนี้มักจะมีค่าที่ต้องการ สำนวนที่เกี่ยวข้องคือหลักฐานโดยอุปนัย (ตัวอย่างจำนวนเต็ม n) ความจริงของทฤษฎีบท de Moivre ที่สามารถจัดตั้งขึ้นโดยอุปนัยทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวเลขธรรมชาติและขยายให้เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดจากที่นั่น พิจารณา S (n):

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางคณิตศาสตร์ คือ เด moivre สูตร , ชื่อหลังจากที่อับราฮัมเดอ moivre กล่าวว่าสำหรับการใด ๆที่ซับซ้อนจำนวน ( และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับจำนวนจริง x เป็นจำนวนเต็มและมันถือว่า

สูตรเป็นสิ่งสำคัญเพราะมันเชื่อมต่อกับตัวเลขที่ซับซ้อน ( ผมหมายถึงหน่วยจำนวนจินตภาพ ) และตรีโกณมิติ การแสดงออก cos x ฉันบาป x บางครั้งย่อ CIS

xโดยการขยายด้านซ้ายมือแล้วเปรียบเทียบฟีแนนทรีนภายใต้สมมติฐานว่า X มีจริง มันเป็นไปได้ที่จะได้รับการแสดงออกที่มีประโยชน์สำหรับ cos ( NX ) และบาป ( NX ) ในแง่ของ cos x และบาปเอ็กซ์ นอกจากนี้หนึ่งสามารถใช้วิชาของสูตรนี้เพื่อค้นหาแสดงออกชัดเจนเพื่อแลกรากเหง้าของความสามัคคีที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน z เช่น Zn = 1 .



เนื้อหา1 %
2 ความล้มเหลวไม่ใช่จำนวนเต็มพลัง
3 พิสูจน์โดยอุปนัย ( เป็นจำนวนเต็ม )
4 สูตร โคไซน์และไซน์เฉพาะตัว
5
6
7 การใช้ดู

9
8 การอ้างอิงการเชื่อมโยงภายนอกมา

ถึงแม้ว่าในอดีตแล้ว ก่อนหน้านี้ คือ เด moivre สูตรสามารถจะได้มาจากข้อความคาดการณ์ของสูตร

และกฎหมายแทนสำหรับจำนวนเต็มพลัง

แล้วโดยสูตรของออยเลอร์

,ความล้มเหลวไม่ใช่จำนวนเต็มพลัง

de moivre สูตรไม่ได้ในทั่วไปถือสำหรับไม่เต็มพลัง อำนาจไม่ใช่จำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนจะมีค่าแตกต่างกันมาก เห็นความล้มเหลวของลอการิทึมสถานะ และอำนาจ . อย่างไรก็ตาม มีความเห็นว่า ข้างขวาการแสดงออกเป็นค่าหนึ่งที่เป็นไปได้ของพลัง

ความเป็นมาของ เดอ moivre สูตรข้างต้นเกี่ยวข้องกับตัวเลขที่ซับซ้อนพลังงาน . เมื่ออำนาจไม่ใช่จำนวนเต็ม ผลคือ หลายมูลค่า ตัวอย่างเช่น เมื่อ n = ½แล้ว :

ตั้งแต่มุม 0 และ 2 πเหมือนกัน นี้จะให้สองค่าที่แตกต่างกันสำหรับนิพจน์เดียวกัน ค่า 1 และ− 1 เป็นอย่างไร ทั้งจัตุรัสรากของ 1 อย่าง

การยืนยันไม่มีปัญหาเกิดขึ้นกับสูตรของออยเลอร์ เนื่องจากไม่มีการระบุค่าที่แตกต่างกันของผู้สนับสนุน . สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับอำนาจที่ซับซ้อนของจำนวนจริงบวก และนี้มักจะมีมูลค่าที่ต้องการ ข้อความที่ :

พิสูจน์โดยอุปนัย ( เป็นจำนวนเต็ม )

ความจริงของทฤษฎีบทของเดอ moivre สามารถก่อตั้งโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์สำหรับตัวเลขธรรมชาติและขยายไปยังทุกจำนวนเต็มจากที่นั่น พิจารณา s ( N ) :