The explanation of this instability

The explanation of this instability begins with the existence of tiny perturbations in the stream.[5][6] These are always present, no matter how smooth the stream is. If the perturbations are resolved into sinusoidal components, we find that some components grow with time while others decay with time. Among those that grow with time, some grow at faster rates than others. Whether a component decays or grows, and how fast it grows is entirely a function of its wave number (a measure of how many peaks and troughs per centimeter) and the radius of the original cylindrical stream. The diagram to the right shows an exaggeration of a single component.

By assuming that all possible components exist initially in roughly equal (but minuscule) amplitudes, the size of the final drops can be predicted by determining by wave number which component grows the fastest. As time progresses, it is the component whose growth rate is maximum that will come to dominate and will eventually be the one that pinches the stream into drops.[7]

Although a thorough understanding of how this happens requires a mathematical development (see references[5][7]), the diagram can provide a conceptual understanding. Observe the two bands shown girdling the stream—one at a peak and the other at a trough of the wave. At the trough, the radius of the stream is smaller, hence according to the Young–Laplace equation the pressure due to surface tension is increased. Likewise at the peak the radius of the stream is greater and, by the same reasoning, pressure due to surface tension is reduced. If this were the only effect, we would expect that the higher pressure in the trough would squeeze liquid into the lower pressure region in the peak. In this way we see how the wave grows in amplitude over time.

But the Young-Laplace equation is influenced by two separate radius components. In this case one is the radius, already discussed, of the stream itself. The other is the radius of curvature of the wave itself. The fitted arcs in the diagram show these at a peak and at a trough. Observe that the radius of curvature at the trough is, in fact, negative, meaning that, according to Young-Laplace, it actually decreases the pressure in the trough. Likewise the radius of curvature at the peak is positive and increases the pressure in that region. The effect of these components is opposite the effects of the radius of the stream itself.

The two effects, in general, do not exactly cancel. One of them will have greater magnitude than the other, depending upon wave number and the initial radius of the stream. When the wave number is such that the radius of curvature of the wave dominates that of the radius of the stream, such components will decay over time. When the effect of the radius of the stream dominates that of the curvature of the wave, such components grow exponentially with time.

When all the math is done, it is found that unstable components (that is, components that grow over time) are only those where the product of the wave number with the initial radius is less than unity (scriptstyle kR_0 ;

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำอธิบายของความไม่เสถียรนี้เริ่มต้น ด้วยการดำรงอยู่ของ perturbations เล็ก ๆ ในกระแส [5] [6] เหล่านี้อยู่เสมอ ไม่ว่าจะเป็นกระแสข้อมูลราบรื่นวิธี ถ้า perturbations ที่ได้รับการแก้ไขในคอมโพเนนต์ซายน์ เราพบว่า บางคอมโพเนนต์ขยายเวลาขณะผู้อื่นสลายตัว ด้วยเวลา ในหมู่ผู้ที่เติบโตกับเวลา บางเติบโตในอัตราที่เร็วกว่าคนอื่น ๆ ว่าคอมโพเนนต์ decays หรือเติบโต และวิธีที่รวดเร็วเติบโตเป็นทั้งฟังก์ชั่นของเลขคลื่น (เป็นการวัดจำนวนและต่ำสุดต่อเซนติเมตร) และรัศมีของทรงกระบอกเดิม แผนผังการแสดงพูดเกินจริงของคอมโพเนนต์เดี่ยวโดยสมมติว่าส่วนประกอบทั้งหมดที่เป็นไปได้ในตอนแรกอยู่ในช่วงประมาณเท่า (แต่จิ๋ว) ขนาดของหยดสุดท้ายสามารถทำนาย โดยการกำหนดตัวเลขคลื่นส่วนที่เติบโตที่รวดเร็ว เป็นเวลายะ เป็นส่วนประกอบที่มีอัตราการเติบโตสูงสุดที่จะมาครอง และจะเป็นในที่สุดได้ pinches กระแสเป็นหยด [7]แม้ว่าเข้าใจเหตุการณ์นี้ต้องพัฒนาคณิตศาสตร์ (ดู references[5][7]) แผนภาพให้เข้าใจแนวคิด สังเกตแถบสองแถบที่แสดง girdling สตรีม — หนึ่งที่สูงสุดและอื่น ๆ ที่รางของคลื่น ที่ราง รัศมีของกระแสข้อมูลมีขนาดเล็ก ดังนั้นตามสมการหนุ่ม – Laplace ความดันเนื่องจากแรงตึงผิวจะเพิ่มขึ้น ในทำนองเดียวกันที่ รัศมีของกระแสมีค่า แล้ว โดยเหตุผลเดียวกัน แรงดันเนื่องจากแรงตึงผิวจะลดลง ถ้าผลเดียว เราหวังว่า ความดันสูงในรางจะบีบของเหลวสู่ภูมิภาคความดันต่ำในจุดสูงสุด วิธีนี้ เราเห็นว่าคลื่นที่เติบโตในคลื่นตลอดเวลาแต่สมการ Laplace หนุ่มได้รับอิทธิพลจากรัศมีแยกสองส่วน ในกรณีนี้ หนึ่งมีรัศมี กล่าวถึงเรียบ ของตัวเอง อื่น ๆ คือรัศมีความโค้งของคลื่นเอง ส่วนประกอบในไดอะแกรมแสดงเหล่านี้ ที่สูงสุด และ ในราง สังเกตว่า รัศมีความโค้งในรางเป็น ในความเป็นจริง เป็น ลบ หมายความ ว่า ตามหนุ่ม-Laplace มันจริงลดแรงดันในราง ทำนองเดียวกันรัศมีความโค้งที่เป็นบวก และเพิ่มความดันในภูมิภาคที่ ผลของส่วนประกอบเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกับผลของรัศมีของตัวเองผลสอง ทั่วไป ไม่ว่ายกเลิก หนึ่งในนั้นจะมีขนาดสูงกว่าอื่น ขึ้นอยู่กับหมายเลขคลื่นและระยะเริ่มต้นของกระแส เมื่อหมายเลขคลื่นที่รัศมีความโค้งของคลื่นกุมอำนาจของรัศมีของสตรีม ส่วนประกอบดังกล่าวจะสลายตัวเมื่อเวลาผ่านไป เมื่อผลของรัศมีของกุมอำนาจที่ความโค้งของคลื่น องค์ประกอบชี้แจงขยายเวลาเมื่อคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะทำ พบว่า คอมโพเนนต์ไม่เสถียร (คือ องค์ประกอบที่เติบโตตลอดเวลา) มีเฉพาะผู้ที่เป็นผลิตภัณฑ์ของเลขคลื่นมีรัศมีเริ่มต้นน้อยกว่าสามัคคี (scriptstyle kR_0 ; < ; 1) ส่วนประกอบที่เติบโตที่รวดเร็วเป็นหนึ่งในคลื่นที่มีหมายเลขตรงตามสมการ: [7] kR_0 ;simeq 0.697

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำอธิบายของความไม่แน่นอนนี้เริ่มต้นด้วยการดำรงอยู่ของเยี่ยงอย่างเล็ก ๆ ในสตรีม. [5] [6] เหล่านี้เป็นปัจจุบันอยู่เสมอไม่ว่าเรียบกระแสคือ หากเยี่ยงอย่างได้รับการแก้ไขเป็นส่วนประกอบไซน์เราจะพบว่าบางส่วนเติบโตไปพร้อมกับเวลาขณะที่คนอื่นสลายไปตามกาลเวลา ในหมู่ผู้ที่เติบโตไปพร้อมกับเวลาบางเติบโตในอัตราที่เร็วกว่าคนอื่น ไม่ว่าจะเป็นองค์ประกอบที่สูญสลายหรือเติบโตขึ้นและวิธีการที่รวดเร็วมันจะเติบโตมีทั้งฟังก์ชั่นของจำนวนคลื่น (วัดของจำนวนยอดและต่ำสุดต่อเซนติเมตร) และรัศมีของสตรีมทรงกระบอกต้นฉบับ แผนภาพขวาแสดงการพูดเกินจริงขององค์ประกอบเดียว. โดยสมมติว่าส่วนประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีอยู่ในตอนต้นเท่ากับ ( แต่จิ๋ว) กว้างของคลื่นขนาดของหยดสุดท้ายสามารถคาดการณ์โดยการกำหนดจำนวนคลื่นซึ่งองค์ประกอบที่เติบโตเร็วที่สุด เมื่อเวลาผ่านไปเรื่อยก็เป็นส่วนประกอบที่มีอัตราการเติบโตสูงสุดที่จะมาครองและในที่สุดก็จะเป็นหนึ่งที่ผลัก Stream ในหยดได้. [7] ถึงแม้ว่าความเข้าใจอย่างละเอียดของวิธีการนี้เกิดขึ้นต้องมีการพัฒนาคณิตศาสตร์ (ดูอ้างอิง [ 5] [7]) แผนภาพสามารถให้ความเข้าใจแนวคิด สังเกตทั้งสองวงดนตรีที่แสดง girdling กระแสหนึ่งที่จุดสูงสุดและอื่น ๆ ที่ร่องคลื่นได้ ที่รางรัศมีของกระแสมีขนาดเล็กจึงเป็นไปตามสมการ Young-Laplace ความดันเนื่องจากแรงตึงผิวจะเพิ่มขึ้น ในทำนองเดียวกันที่จุดสูงสุดรัศมีของกระแสนั้นยิ่งใหญ่และโดยเหตุผลเดียวกัน, ความดันเนื่องจากแรงตึงผิวจะลดลง หากครั้งนี้มีผลเฉพาะเราจะคาดหวังว่าแรงดันที่สูงขึ้นในรางจะบีบของเหลวเข้าไปในภูมิภาคความดันลดลงในจุดสูงสุด ด้วยวิธีนี้เราดูว่าคลื่นเติบโตในความกว้างช่วงเวลา. แต่สม Young-Laplace ได้รับอิทธิพลจากสององค์ประกอบรัศมีแยกต่างหาก ในกรณีนี้หนึ่งคือรัศมีกล่าวแล้วของกระแสของตัวเอง อื่น ๆ ที่เป็นรัศมีความโค้งของคลื่นของตัวเอง โค้งติดตั้งในแผนภาพแสดงเหล่านี้ที่จุดสูงสุดและในราง สังเกตว่ารัศมีความโค้งที่รางคือในความเป็นจริงเชิงลบหมายความว่าตาม Young-Laplace ก็จริงลดความดันในราง ในทำนองเดียวกันรัศมีความโค้งที่จุดสูงสุดที่เป็นบวกและเพิ่มความดันในพื้นที่ที่ ผลกระทบขององค์ประกอบเหล่านี้เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับผลกระทบของรัศมีของกระแสเอง. ทั้งสองผลกระทบโดยทั่วไปไม่ว่ายกเลิก หนึ่งของพวกเขาจะมีความสำคัญมากขึ้นกว่าที่อื่น ๆ ขึ้นอยู่กับจำนวนและคลื่นรัศมีเริ่มต้นของกระแส เมื่อจำนวนคลื่นเป็นเช่นนั้นรัศมีความโค้งของคลื่นครอบงำของรัศมีของสตรีม, องค์ประกอบดังกล่าวจะสลายตัวเมื่อเวลาผ่านไป เมื่อผลของรัศมีของกระแสครอบงำของความโค้งของคลื่นองค์ประกอบดังกล่าวเติบโตชี้แจงกับเวลา. เมื่อทุกคณิตศาสตร์จะทำก็พบว่าชิ้นส่วนที่ไม่เสถียร (นั่นคือส่วนประกอบที่เติบโตในช่วงเวลา) เป็นเพียง เหล่านั้นที่สินค้าจำนวนคลื่นที่มีรัศมีเริ่มต้นน้อยกว่าความเป็นเอกภาพ ( scriptstyle kR_0 ; <; 1) องค์ประกอบที่เติบโตเร็วที่สุดเป็นหนึ่งที่มีจำนวนคลื่นสมการตอบสนอง: [7] kR_0 ; simeq ; 0.697

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คำอธิบายของธุรกิจนี้เริ่มต้นด้วยการมีอยู่ของเล็ก ๆได้ในกระแส . [ 5 ] [ 6 ] เหล่านี้อยู่เสมอ ไม่ว่ากระแสเป็นวิธีที่เรียบ ถ้าได้มีการแก้ไขในคอมโพเนนต์ต่าง เราพบว่าบางชิ้นส่วนที่เติบโตกับเวลาในขณะที่คนอื่น ๆผุตามกาลเวลา ในหมู่ผู้ที่เติบโตขึ้นกับเวลา บางคนเติบโตในอัตราที่เร็วกว่าคนอื่น ไม่ว่าจะเป็นองค์ประกอบสลายตัวหรือเติบโตขึ้นและวิธีที่รวดเร็วมันเติบโตเป็นทั้งฟังก์ชันของเลขคลื่นของมัน ( วัดกี่ยอดและ troughs ต่อเซนติเมตร ) และรัศมีของทรงกระบอกกระแสเดิม แผนภาพด้านขวาแสดงเกินความจริงขององค์ประกอบเดียวโดยกำหนดว่าองค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีอยู่ในตอนแรกในเท่ากับ ( แต่เล็กมาก ) แรงบิด ขนาดของหยดสุดท้ายสามารถพยากรณ์ได้โดยกำหนดโดยเลขคลื่นองค์ประกอบที่เติบโตเร็วที่สุด เมื่อเวลาดำเนินไปเป็นชิ้นส่วนที่มีอัตราการเติบโตสูงสุด ซึ่งจะได้มาครอง และในที่สุดจะเป็นหนึ่งที่ผลักกระแสเป็นหยด [ 7 ]แม้ว่าความเข้าใจของวิธีการนี้เกิดขึ้นต้องมีพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ ( ดูอ้างอิง [ 5 ] [ 7 ] ) , แผนภาพสามารถให้ความรู้เชิงมโนทัศน์ สังเกตสองวงแสดงโมกมันกระแสหนึ่งที่ สูงสุด และ อื่น ๆที่เป็นสถานการณ์ของคลื่น ที่รางน้ำ รัศมีของน้ำมีขนาดเล็กจึงตามชายหนุ่มลาปลาซสมการและความดันเนื่องจากแรงตึงผิวเพิ่มขึ้น อนึ่งในช่วงรัศมีลำธารมากกว่า และด้วยเหตุผลเดียวกัน ความดันเนื่องจากแรงตึงผิวลดลง ถ้ามันได้ผลเท่านั้น เราก็คาดหวังว่าสูงกว่าแรงดันในรางจะบีบน้ำเข้าไปในภูมิภาคลดลง ความดันสูงสุด ในวิธีนี้เราจะเห็นวิธีการเติบโตในคลื่นคลื่นตลอดเวลาแต่สมการลาปลาซ ยังได้รับอิทธิพลจากสององค์ประกอบรัศมีที่แยกต่างหาก ในกรณีนี้หนึ่งคือรัศมี กล่าวแล้ว ในลำธารนั่นเอง อื่น ๆ คือ รัศมีความโค้งของคลื่นนั้นเอง เราติดตั้งในแผนภาพแสดงเหล่านี้ที่จุดสูงสุด และรางน้ำ สังเกตว่ารัศมีความโค้งในรางที่เป็น , ในความเป็นจริง , ลบ หมายความว่า ตามหนุ่มลาปลาซ จริงๆ มันลดแรงดันในราง เช่นเดียวกันรัศมีความโค้งที่ยอดเป็นบวกและเพิ่มความดันในพื้นที่ที่ ผลของส่วนประกอบเหล่านี้จะอยู่ตรงข้ามกับผลของรัศมีของลำธารนั่นเองสองผลโดยทั่วไปจะไม่ตรง ยกเลิก หนึ่งของพวกเขาจะมีขนาดมากกว่าอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับจำนวนและรัศมีเริ่มต้นคลื่นของกระแสข้อมูล เมื่อนับคลื่นเป็นเช่นที่รัศมีความโค้งของคลื่นอยู่ที่รัศมีของน้ำ ส่วนประกอบดังกล่าวจะสลายตัวเมื่อเวลาผ่านไป เมื่อผลของรัศมีของกระแสครอบงำของความโค้งของคลื่น ส่วนประกอบดังกล่าวเติบโตชี้แจงกับเวลาเมื่อคำนวณเสร็จแล้ว พบว่าองค์ประกอบที่ไม่แน่นอน ( คือส่วนประกอบที่ขยายระยะเวลา ) เฉพาะผู้ที่ผลิตภัณฑ์ของเลขคลื่นกับรัศมีเริ่มต้นน้อยกว่าความสามัคคี ( scriptstyle kr_0 ; < ; 1 ) ส่วนที่เติบโตเร็วที่สุดเป็นหนึ่งที่มีเลขคลื่นตรงสมการ [ 7 ]kr_0 simeq 0.697 ; ;