An Equivalent Problem To The Twin P

An Equivalent Problem To The Twin Prime Conjecture
Francesca Balestrieri∗
July 1, 2011
Abstract
In this short paper we will show, via elementary arguments, the equivalence of
the Twin Prime Conjecture to a problem which might be simpler to prove. Some
conclusions are drawn, and it is shown that proving the Twin Prime Conjecture is
equivalent to proving that there cannot be an infinite string of consecutive natural
numbers satisfying some specified equations.
1 Main Theorem
The main theorem of this paper is the following.
Theorem 1.1 (Main Theorem). The Twin Prime Conjecture is true if, and only if, there
exist infinitely many n ∈ N such that n 6= 6xy+x−y and n 6= 6xy+x+y and n 6= 6xy−x−y,
for all x, y ∈ N.
In other words, the Conjecture is true iff ∄N ∈ N such that ∀n ≥ N, n is of one of the forms
n = 6xy + x − y or n = 6xy + x + y or n = 6xy − x − y, for some x, y ∈ N.
In order to prove the Main Theorem, we will need to prove some preliminary results; two
thirds of this paper are devoted to this aim.
2 Preliminary Results
Consider the two sequences:
an = 6n + 1 (1)
bn = 6n − 1 (2)
A simple argument shows that these two sequences generate all the prime numbers (and
some other non-prime numbers). The following Lemma is a useful criterion which tells us
for which n the terms an and bn are non-prime, and hence, by complement, for which n the
terms an and bn are prime.
∗
[e-mail]
1Lemma 2.1. Let an and bn be the two sequences specified before. Then
an non − prime ⇐⇒ n = 6xy + x − y
bn non − prime ⇐⇒ n = 6xy + x + y or n = 6xy + x + y
for all x, y ∈ N.
To prove this Lemma, we need to prove some minor lemmata first.
2.1 Some proofs
Let A = {an : n ∈ N} and let B = {bn : n ∈ N}, where an and bn are the sequences (1) and
(2) respectively.
Lemma 2.2. It is not possible to express any term ak of the sequence an as the product ax ·ay
for any (ax, ay) ∈ A×A, nor to express it as the product bx · by for any (bx, by) ∈ B ×B. It is
possible to express a term ak of the sequence an as the product at
· br of a couple of numbers
(at
, br) ∈ A × B if, and only if, k = 6tr + t − r. In other words, ak = at
· br if, and only if,
k = 6tr + t − r.
Proof. Let ak = 6k − 1, at = 6t − 1, ax = 6x − 1, ay = 6y − 1 and br = 6r + 1.
The last part of the theorem is almost trivial. In fact,
at
· br
= (6t − 1) · (6r + 1)
= 36tr − 6r + 6t − 1
= 6(6tr − r + t) − 1
and hence ak = at
· br if, and only if, k = 6tr + t − r .
For the first part, consider
ax · ay
= (6x − 1) · (6y − 1)
= 36xy − 6x − 6y + 1
= 36xy − 6x − 6y + 2 − 1
= 2(18xy − 3x − 3y + 1) − 1.
Hence, we must show that 18xy − 3x − 3y + 1 is not divisible by 3. This is easy, since
18xy − 3x − 3y + 1 = 3(9xy − x − y) + 1 ≡ 1 (mod 3).
Therefore, there are no x, y ∈ N such that ax · ay = ak .
Similarly, consider
bx · by
= (6x + 1) · (6y + 1)
2= 36xy + 6x + 6y + 1
= 36xy + 6x + 6y + 2 − 1
= 2(18xy + 3x + 3y + 1) − 1.
Hence, we must show that 18xy+3x+3y+1 is not divisible by 3. Again, this is straightforward
since
18xy + 3x + 3y + 1 = 3(9xy + x + y) + 1 ≡ 1 (mod 3).
Therefore, there are no x, y ∈ N such that bx · by = ak .
A similar lemma can be proved for the terms of the sequence bn.
Lemma 2.3. It is not possible to express any term bk of the sequence bn as the product ax ·dy
for any (ax, dy) ∈ A×B. It is possible to express a term bk of the sequence bn as the product
at
· ar of a couple of numbers (at
, ar) ∈ A × A if, and only if, k = 6tr − t − r, and as the
product bt
· br of a couple of numbers (bt
, br) ∈ B ×B if, and only if, k = 6tr +t+r. In other
words, bk = at
·ar if, and only if, k = 6tr−t−r and bk = bt
· br if, and only if, k = 6tr+t+r.
Proof. Let bk = 6k + 1, at = 6t − 1, ar = 6r − 1, ax = 6x − 1, bt = 6t + 1, br = 6r + 1 and
by = 6y + 1.
The last part of the theorem is almost trivial. In fact,
at
· ar
= (6t − 1) · (6r − 1)
= 36tr − 6r − 6t + 1
= 6(6tr − r − t) + 1
and hence bk = at
· ar if, and only if, k = 6tr − t − r .
Also,
bt
· br
= (6t + 1) · (6r + 1)
= 36tr + 6r + 6t + 1
= 6(6tr + r + t) + 1
and hence bk = bt
· br if, and only if, k = 6tr + t + r .
For the first part, consider
ax · by
= (6x − 1) · (6y + 1)
= 36xy + 6x − 6y − 1
= 36xy + 6x − 6y − 2 + 1
= 2(18xy + 3x − 3y − 1) + 1.
Hence, we must show that 18xy + 3x − 3y − 1 is not divisible by 3. This is easy, since
18xy + 3x − 3y − 1 = 3(9xy + x − y) − 1 ≡ −1 (mod 3).
Therefore, there are no x, y ∈ N such that ax · by = bk .
3The following is an obvious result.
Lemma 2.4. Given any term ak of the sequence an, all the primes smaller than ak have
already been generated by the sequences an and bn for n < k . Similarly, given any term bk of
the sequence bn, all the primes smaller than bk have already been generated by the sequences
an and bn for n ≤ k.
Proof. Consider the sequence pn = (a1 , b1 , a2 , b2, a3 , b3 , . . . , ak , bk, . . .). Evidently, pn
is a strictly increasing sequence. Furthermore, pn contains all the prime numbers. Suppose
that one prime number p smaller than ak is not generated before the term ak; then, since all
the prime numbers are generated by the sequence pn, p must be generated after ak. But the
sequence pn is strictly increasing, and therefore p is greater than ak. This is a contradiction,
and hence all the primes smaller than ak are generated before ak.
The second half of the Lemma can be proved in a similar way.
2.2 More proofs
A few remarks and observations are now necessary.
2.2.1
Given a term ak, we have shown that
ak = at
· br ⇐⇒ k = 6tr + t − r;
otherwise, ak cannot be expressed as the product of any other pair of terms in A×A, B ×B
or A × B.
This can be generalised.
Note: An improper but self-evident use of notation will be made in the next paragraph.
Let ak be a non-prime term of the sequence an. Using Lemma 2.4, all the factors of ak
will be terms ai
, bj
for some i, j < k. Let say that α factors of ak belong to the set A, and
β factors of ak belong to the set B. Since ak is non-prime, α + β > 1. In short form,
ak = A
α
· B
β
(with α + β > 1),
where A (improperly) denotes an element of A and B (improperly) denotes an element of
B.
There are a few cases to consider, depending on the values of α and β. Notice that in
each case we will repetively use Lemma 2.2 and Lemma 2.3.
41. If α = 0, then for any natural value of β (> 1), we will have that ak = Bβ
. But Bβ
is
an element of the set B. Hence, we have an equation with an element of the set A in
the LHS and an element of the set B in the RHS, and A ∩ B = ∅. This is nonsense,
and hence it cannot be that α = 0.
2. If α is even, then for any β ∈ N ∪ {0}, we can write ak as
ak = A
α
· B
β = (A · A) · (A · A) · . . . · (A · A) · B
β = B
α/2
· B
β = B
(α/2)+β
and we have a situation analogous to the one in case 1. Hence, α cannot be even.
3. If α is odd, then α − 1 is positive even or zero) and, for any β ∈ N ∪ {0}, we can write
ak as
ak = A
α
· B
β = A · A
α−1
· B
β = A · B
(α−1)/2
· B
β = A · B
(α−1)/2+β
and this is consistent with what we have already proved, since A denotes an element
at of the set A and B(α−1)/2+β
is an element br of B, that is, A · B(α−1)/2+β = at
· br for
some t, r ∈ N.
So, if ak is non-prime, it is necessarely of the form ak = Aα
· Bβ
, where α is odd, β is
any number in N ∪ {0}, and (α + β) > 1. Of course, the converse is also true.
Hence, ak is non-prime ⇐⇒ ak = A
α
· Bβ where α is odd, β is any number in N ∪ {0},
and (α + β) > 1 ⇐⇒ ak = at
· br for some t, r ∈ N ⇐⇒ k = 6tr + t − r.
By Lemma 2.4, in all the other cases ak is prime.
2.2.2
Given a term bk, we have shown that
bk = at
· ar ⇐⇒ k = 6tr − t − r;
bk = bt
· br ⇐⇒ k = 6tr + t + r;
otherwise, bk cannot be expressed as the product of any other pair of terms in A × A, B × B
or A × B.
This, again, can be generalised.
Note: An improper but self-evident use of notation will be made in the next paragraph.
Let bk be a non-prime term of the sequence bn. Using Lemma 2.4, all the factors of bk
will be terms ai
, bj
for some i ≤ k and some j < k. Let say that α factors of bk belong to
the set A, and β factors of bk belong to the set B. Since bk is non-prime, α+ β > 1. In short
form,
bk = A
α
· B
β
(with α + β > 1),
where A (improperly) denotes an element of A and B (improperly) denotes an element of
B.
5There are a few cases to consider, depending on the values of α and β. Notice that in
each case we will repetively use Lemma 2.2 and Lemma 2.3.
1. If α = 0, then for any natural value of β (> 1), we will have that bk = Bβ
, and this is
consistent with what we have already proved, since B denotes an element bt of the set
B and Bβ−1
is an element br of B, that is, B · Bβ−1 = bt
· br for some t, r ∈ N.
2. If α is even, then for any β ∈ N ∪ {0}, we can write bk as
bk = A
α
· B
β = (A · A) · (A · A) · . . . · (A · A) · B
β = B
α/2
· B
β = B
(α/2)+β
and we have a situation analogous to the one in case 1, which is consistent.
Furthermore, if α is even, then α−2 is positive even or zero. Then for any β ∈ N∪{0},
we can write bk as
bk = A
α
· B
β = A · A · A
α−2
· B
β = A · A · B
(α−2)/2
· B
β = (A · B
(α−2)/2
) · (A · B
β
)
and this is consistent with what we have already proved, since (A · B(α−2)/2
) is an
element at of the set A and (A · Bβ
) is an element ar of the set A , that is, (A ·
B(α−2)/2
) · (A · Bβ
) = at
· ar for some t, r ∈ N.
3. If α is odd, then α − 1 is positive even or zero and, for any β ∈ N ∪ {0}, we can write
bk as
bk = A
α
· B
β = A · A
α−1
· B
β = A · B
(α−1)/2
· B
β = A · B
(α−1)/2+β
.
But A · B(α−1)/2+β
is an element of the set A, and hence we have an equation with
an element of the set B in the LHS and an element of the set A in the RHS. Since,
A ∩ B = ∅, this is nonsense, and therefore it cannot be that α is odd.
So, if bk is non-prime, it is necessarely of the form bk = Aα
· Bβ
, where α is pos

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นปัญหาที่เทียบเท่ากับข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่

balestrieri Francesca ∗กรกฎาคม 1 , 2011

ในบทคัดย่อกระดาษสั้น ๆนี้เราจะแสดงผ่านอาร์กิวเมนต์ประถม สมมูลของ
การคาดเดานายกแฝดปัญหาซึ่งอาจจะง่ายกว่าการพิสูจน์ บาง
สรุปวาด และมันแสดงให้เห็นว่านายกรัฐมนตรีพิสูจน์การคาดเดาคือ
แฝดเท่ากับพิสูจน์ว่ามีไม่สามารถเป็นสตริงของตัวเลขที่น่าพอใจอนันต์ติดต่อกันธรรมชาติ

1 ที่ระบุบางสมการ ทฤษฎีบทหลัก
ทฤษฎีบทหลักของบทความนี้คือต่อไปนี้ .
ทฤษฎีบท 1.1 ( ทฤษฎีบทหลัก ) การคาดเดาของนายกรัฐมนตรีแฝดเป็นจริงถ้าและเพียงถ้ามัน
มีอยู่จำนวน n ∈ N ซึ่ง N = − 6 6xy X Y และ X 6 = 6xy y และ x 6 = 6xy −− Y ,
สำหรับ x , y ∈
Nในคำอื่น ๆคาดเดาเป็นจริง IFF ∄ N ∈ n เช่นที่∀ N ≥ n , n เป็นหนึ่งในรูปแบบที่ 6xy x
n = − Y หรือ N = 6xy X Y หรือ N = −− 6xy X Y สำหรับ x , y .
∈เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทหลัก เราจะต้องพิสูจน์ผลเบื้องต้นบาง ; 2
ในสามของกระดาษนี้จะทุ่มเทเพื่อเป้าหมายนี้ ผลเบื้องต้น

2 พิจารณาลำดับ :
2 = 1 เป็นทัวร์ ( 1 )
3 = − 1 ( 2 )
ทัวร์อาร์กิวเมนต์ที่เรียบง่ายแสดงให้เห็นว่าทั้งสองลำดับสร้างทั้งหมดจำนวนเฉพาะ (
บางอื่นๆที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ) ในบทตั้งต่อไปนี้เป็นเกณฑ์ที่มีประโยชน์ซึ่งบอกเรา
ที่ n เงื่อนไขและจะไม่ต่อนายกรัฐมนตรี และดังนั้น โดยเสริม ซึ่ง n
แง่และ BN เป็นนายกรัฐมนตรี ∗

fb340 @ แคม ac.uk
1lemma 2.1 . ให้กับโครงการเป็นลำดับสองที่ระบุไว้ก่อน งั้น
เป็นนายกรัฐมนตรี⇐⇒ไม่ใช่− n = 6xy x y −− 3 ไม่เฉพาะ⇐⇒
n = 6xy X Y หรือ N = 6xy X Y
สำหรับ x , y .
∈พิสูจน์บทตั้งนี้เราต้องการพิสูจน์บางอย่าง lemmata เล็กน้อยก่อน

= 2.1 บางหลักฐานกัน { : N ∈ n } และให้ b = { BN : N ∈ n } ที่เป็น และพัฒนาเป็นลำดับ ( 1 ) และ ( 2 ) 2
.
แทรก 2.2 . มันเป็นไปไม่ได้ที่จะบริการใด ๆของระยะเวลาและลำดับเป็นขวานผลิตภัณฑ์ด้วย
. .สำหรับใด ๆ ( ขวาน เอ ) ∈เป็น× , หรือแสดงเป็นส่วนประกอบด้วย โดยผลิตภัณฑ์ใด ๆที่สุด โดย∈ b × B ) มันเป็นไปได้ที่จะแสดงระยะ
AK ของลำดับการเป็นผลิตภัณฑ์ที่
ด้วย BR ของคู่ของตัวเลข
(
, บี ) ∈เป็น× B ถ้าและเพียงถ้า , K = 6tr T − R . ในคำอื่น ๆที่อลาสกา =
ด้วย BR ถ้าและเพียงถ้า
k = 6tr T − R .
พิสูจน์ ให้ AK = 6K − 1 , − 1 = 6T , ขวาน = 6x − 1 , − 1 และ 16 อ่า = =
6r br 1 .ส่วนสุดท้ายของทฤษฎีบทที่เกือบจะไร้สาระ ในความเป็นจริงที่

ด้วย br
= ( 6T − 1 ) ด้วย ( 6r
= − 1 ) 36tr 6r 6T − 1
= 6 ( 6tr −− 1 และ R T )

ด้วยดังนั้น AK ที่ BR ถ้าและเพียงถ้า , K = 6tr T − R .
สำหรับ ส่วนแรก พิจารณา

= ขวานด้วยอ่า ( 6x − 1 ( 16 ) ด้วย− 1 ) = −− 16 36xy 6x
1
= 36xy −−− 1
2 ตั้ง 16 = 2 ( 18xy −− 3x 3y 1 ) − 1 .
ดังนั้นเราต้องแสดงให้เห็นว่า 18xy −− 3y 3x 1 ไม่แบ่ง 3 นี้เป็นเรื่องง่าย เนื่องจาก 18xy −− 3y
3 x 1 = 3 x 9xy −− 1 ( mod ≡ 1 Y ) 3 ) .
ดังนั้นไม่มี x , y ∈ n เช่นขวานด้วยอ่า = AK .
ในทํานองเดียวกัน พิจารณา

= ( BX ด้วยโดยเฉพาะด้วย ( 1 ) 16 1 )
2 = 36xy 6x 16 1
= 36xy 6x 16 2 − 1 = 2 ( 18xy 3x 3y

1 ) − 1 ดังนั้น เราต้องแสดงให้เห็นว่า 18xy 3x 3y 1 ไม่ใช่ หารด้วย 3 อีกครั้งนี่คือตรงไปตรงมา

18xy ตั้งแต่ 3x 3y 1 = 3 ( 9xy x y ) 1 ≡ 1 ( mod 4 ) .
ดังนั้นไม่มี x , y ∈ n เช่น BX ด้วยโดย = AK .
บทแทรกที่คล้ายกันสามารถพิสูจน์ได้ในแง่ของลำดับ BN .
แทรก 2.3 มันไม่ได้เป็นไปได้ที่จะแสดงใด ๆในระยะ BK ของลำดับ BN เป็นขวานผลิตภัณฑ์ด้วยดี้
สำหรับใด ๆ ( ขวาน , ดี้ ) ∈ a × b . มันเป็นไปได้ที่จะแสดงระยะ BK ของลำดับซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์
ที่
ด้วย AR ของคู่ของตัวเลข (
, AR ) ∈ a × A ถ้าและเพียงถ้า , K = −− 6tr T R และเป็นผลิตภัณฑ์บีทีด้วย

br ของคู่ของตัวเลข ( 2
, BR ) ∈ b × B ถ้าและเพียงถ้าเค = 6tr T R . ในคำอื่น ๆที่

BK = ด้วย AR ถ้าและเพียงถ้า , K = −− 6tr T R และ BK = BT
ด้วย BR ถ้าและเพียงถ้า , K = 6tr T R .
พิสูจน์ ให้ BK = 6 1 , − 1 = 6T , AR = 6r − 1 , − 1 ขวาน = 6x บาท = 6T 1 BR = 6r 1
.
16 1ส่วนสุดท้ายของทฤษฎีบทที่เกือบจะไร้สาระ ในความเป็นจริงที่

ด้วย AR
= ( 6T − 1 ) ด้วย ( 6r − 1 )
= 36tr −− 6r 6T 1
= 6 ( 6tr R −− 1
t ) และด้วยเหตุนี้ BK = ที่
ด้วย AR ถ้าและเพียงถ้า , K = −− 6tr T R .
นอกจากนี้ บีทีด้วย

br
= ( 6T 1 ) ด้วย ( 1 6r )
= 36tr 6r 6T 1
= 6 ( 6tr R T )

และด้วยเหตุนี้ BK = BT Suite ห้องนอนถ้าและเพียงถ้า , K = 6tr T R .
สำหรับส่วนแรก พิจารณา
ขวานด้วยโดย
= ( 6x − 1 ( 16 ) ด้วย 1 )