Theorem 1.1. Let π be a set of prim

Theorem 1.1. Let π be a set of primes. Let x ∈ G and suppose that Inda,x(x) is a π-number for any a ∈ G.
Then IndG(x) is a π-number.
The proof of the above theorem is very short and elementary. It is interesting to note that if
IndG(x) is a π-number IndH(x) is not necessarily a π-number for each subgroup H. Let M be the
elementary group of order 8 and A the non-abelian group of order 21. Let A act on M in such
a manner that the subgroup of order 7 permutes the involutions in M transitively. Let G be the
extension of M by A. Choose x to be an involution in M. Then IndG(x) = 7 but there is a non-abelian
subgroup, H of order 24 such that IndH(x) = 3.
Another result obtained in the paper is the following theorem.
Theorem 1.2. Suppose that Inda,b,x(x) is a prime-power for any a, b ∈ G. Then IndG(x) is a prime-power.
The proof of Theorem 1.2 is no longer elementary. In particular it uses the well-known result of
Aschbacher and Guralnick [1] that every non-abelian simple group is 2-generated. This depends on
the classification of finite simple groups. Another important tool used in the proof of Theorem 1.2 is
Flavell’s theorem [3] that x ∈ F2(G) if and only if x ∈ F2(a, x) for any a ∈ G.
2. Proofs
Lemma 2.1. Let π be a set of primes and let x be an element of G. Suppose that Inda,x(x) is a π-number for
any a ∈ G. If Q is a π-subgroup of G such that x ∈ NG(Q ), then x ∈ CG(Q ).
Proof. Let a ∈ Q . By the hypotheses Inda,x(x) is a π-number. On the other hand it is clear that this
is a π-number. The lemma follows. 
Proof of Theorem 1.1. Let G be a counterexample of minimal order. Choose a prime q / ∈ π that divides
IndG(x). Let Q be a Sylow q-subgroup of CG(x) and R a Sylow q-subgroup of G such that Q  R. If a ∈
R Q , it follows that Inda,x,Q (x) is divisible by q whence by induction G = a, x, Q . Let Z = Z(R). It
is easy to see that Z ∩Q  Z(G). If Z ∩Q = 1, choose 1 = a ∈ Z. Now equality G = a, x, Q  shows that
Z(Q )  Z(G). Thus, M = Oq(G) = 1. By induction the result holds for G/M. Set H/M = CG/M(xM).
Since [G : H] is a π-number, it suffices to prove that IndH(x) is a π-number. If H < G, this follows by
induction so we can assume that G = H. Being central in G/M, the element x normalizes every Sylow
q-subgroup of G. By Lemma 2.1, we conclude that x centralizes every Sylow q-subgroup of G. Hence
IndG(x) is not divisible by q, a contradiction. The proof is complete. 
Our next goal is to prove Theorem 1.2. In what follows F (G) will denote the Fitting subgroup of G
and Fi(G) the i-th term of the Fitting series.
Lemma 2.2. If G = F (G)x, Theorem1.2 is valid.
Proof. Suppose IndG(x) is divisible by two different primes p and q. Choose a p-element a and a
q-element b in F (G) such that [a, x] =1 and [b, x] =1. It follows that Inda,b,x(x) is divisible by both
p and q, a contradiction. 
In the next lemma we stretch the notation slightly by using the notation IndH(x) even when x / ∈ H.
Lemma 2.3. Let V be an abelian group acted on by a group G, and let x be an element of V such that Inda,b(x)
is a prime-power for any a, b ∈ G. Then IndG(x) is a prime-power.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทที่ 1.1 ให้เป็นชุดของโรงแรมไพรม์π ให้ x ∈ G และสมมติว่า ที่ Ind ได้ x (x) เป็นค่าπใด ๆ ∈กรัมแล้ว IndG(x) เป็นค่า πหลักฐานของทฤษฎีบทข้างต้นคือระยะสั้น และระดับประถมศึกษา เป็นที่สังเกตว่า ถ้าน่าสนใจIndG(x) คือ IndH(x) πเลขไม่จำเป็นต้องหมายเลข πสำหรับแต่ละกลุ่มย่อย H. ให้ M เป็นการกลุ่มประถมศึกษาลำดับที่ 8 และ A ไม่ใช่กลุ่มอาบีเลียนสั่ง 21 ให้กระทำบน M ดังกล่าวลักษณะที่ว่า กลุ่มย่อยของใบสั่ง 7 permutes involutions ที่ใน M transitively ให้ G เป็นการส่วนขยายของ M โดยเลือก A. x จะ เป็นอาวัตนาการใน M แล้ว IndG(x) = 7 แต่มีที่ไม่ใช่อาบีเลียนกลุ่มย่อย H สั่ง 24 ดังกล่าวนั้น IndH(x) = 3ผลที่ได้รับในกระดาษอื่นเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบท 1.2 สมมติที่ Ind a, b, x (x) เป็นนายกพลังงานใด ๆ a, b ∈กรัม แล้ว IndG(x) เป็นนายกพลังงานหลักฐานของทฤษฎีบท 1.2 ระดับประถมไม่ได้ โดยเฉพาะ ใช้รู้จักผลAschbacher และ Guralnick [1] กลุ่มทุกอย่างไม่ใช่อาบีเลียนว่าสร้าง 2 ขึ้นอยู่กับการจัดประเภทของกลุ่มอย่างแน่นอน เป็นเครื่องมือสำคัญอื่นที่ใช้ในหลักฐานของทฤษฎีบท 1.2ทฤษฎีบทของ Flavell [3] ที่ x ∈ F2(G) ถ้าและเฉพาะถ้า x ∈ F2 (a, x) ใด ๆ ∈กรัม2. หลักฐานจับมือ 2.1 ให้เป็นชุดของโรงแรมไพรม์π และให้ x เป็นองค์ประกอบของกรัมสมมติที่ Ind ได้ x (x) เป็นจำนวน πสำหรับใด ๆ ∈กรัม ถ้า Q เป็นπ-กลุ่มย่อยของ G เช่นนั้น x ∈ NG (Q), จากนั้น x ∈ CG (Q)Proof. Let a ∈ Q . By the hypotheses Inda,x(x) is a π-number. On the other hand it is clear that thisis a π-number. The lemma follows. Proof of Theorem 1.1. Let G be a counterexample of minimal order. Choose a prime q / ∈ π that dividesIndG(x). Let Q be a Sylow q-subgroup of CG(x) and R a Sylow q-subgroup of G such that Q  R. If a ∈R Q , it follows that Inda,x,Q (x) is divisible by q whence by induction G = a, x, Q . Let Z = Z(R). Itis easy to see that Z ∩Q  Z(G). If Z ∩Q = 1, choose 1 = a ∈ Z. Now equality G = a, x, Q  shows thatZ(Q )  Z(G). Thus, M = Oq(G) = 1. By induction the result holds for G/M. Set H/M = CG/M(xM).Since [G : H] is a π-number, it suffices to prove that IndH(x) is a π-number. If H < G, this follows byinduction so we can assume that G = H. Being central in G/M, the element x normalizes every Sylowq-subgroup of G. By Lemma 2.1, we conclude that x centralizes every Sylow q-subgroup of G. HenceIndG(x) is not divisible by q, a contradiction. The proof is complete. Our next goal is to prove Theorem 1.2. In what follows F (G) will denote the Fitting subgroup of Gand Fi(G) the i-th term of the Fitting series.Lemma 2.2. If G = F (G)x, Theorem1.2 is valid.Proof. Suppose IndG(x) is divisible by two different primes p and q. Choose a p-element a and aq-element b in F (G) such that [a, x] =1 and [b, x] =1. It follows that Inda,b,x(x) is divisible by bothp and q, a contradiction. In the next lemma we stretch the notation slightly by using the notation IndH(x) even when x / ∈ H.Lemma 2.3. Let V be an abelian group acted on by a group G, and let x be an element of V such that Inda,b(x)is a prime-power for any a, b ∈ G. Then IndG(x) is a prime-power.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 1.1 ให้πเป็นชุดของช่วงเวลา ให้ x ∈ G และคิดว่าตัวบ่งชี้?, x (x) เป็นπหมายเลขสำหรับ∈กรัมใด ๆ
แล้ว IndG (x) เป็นจำนวนπ.
พิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นเป็นระยะสั้นมากและประถมศึกษา เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าถ้า
IndG (x) เป็น IndH πหมายเลข (x) ไม่จำเป็นต้องเป็นπหมายเลขสำหรับแต่ละกลุ่มย่อยเอชเอ็มให้เป็น
กลุ่มของการสั่งซื้อประถมศึกษา 8 และกลุ่มที่ไม่แสวงหาศาสนาคริสต์ของการสั่งซื้อ 21. ขอให้ดำเนินการกับเอ็มใน
ลักษณะที่กลุ่มย่อยของการสั่งซื้อ 7 permutes involutions ในเอ็มสกรรมกริยา ให้ G เป็น
ส่วนขยายของ M โดย A. x เลือกที่จะร่วมในเอ็มแล้ว IndG (x) = 7 แต่มีที่ไม่ใช่ศาสนาคริสต์
กลุ่มย่อย, H 24 ของคำสั่งดังกล่าวที่ IndH (x) = 3.
ผลอีก ที่ได้รับในกระดาษเป็นทฤษฎีบทต่อไป.
ทฤษฎีบท 1.2 สมมติว่า Ind? b, x (x) เป็นพลังงานที่สำคัญสำหรับการใด ๆ ข∈กรัมจากนั้น IndG (x) เป็นพลังงานที่สำคัญ.
หลักฐานการทฤษฎีบท 1.2 ไม่อยู่ประถม โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จะใช้ผลที่รู้จักกันดีของ
ASCHBACHER และ Guralnick [1] ว่าทุกศาสนาคริสต์ที่ไม่ใช่กลุ่มที่ง่ายคือ 2 สร้าง นี้ขึ้นอยู่กับ
การจัดหมวดหมู่ของกลุ่มง่ายๆแน่นอน อีกเครื่องมือสำคัญที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.2 เป็น
ทฤษฎีบทของ Flavell [3] ที่ x ∈ F2 (G) และถ้าหาก x ∈ F2 (?, x?) สำหรับ∈ใดกรัม
2 พิสูจน์
บทแทรก 2.1 ให้πเป็นชุดของช่วงเวลาและปล่อยให้ x เป็นองค์ประกอบของจีสมมติว่า Ind?, x (x) เป็นπหมายเลขสำหรับ
∈กรัมถ้าถามใด ๆ ที่เป็นπ? -subgroup จีดังกล่าวว่า x ∈ NG (Q) แล้ว x ∈ CG (Q).
หลักฐาน ให้∈ Q โดยสมมติฐาน Ind?, x (x) เป็นπหมายเลข ในทางกลับกันก็เป็นที่ชัดเจนว่านี่
คือπ? -number แทรกดังต่อไปนี้ ?
หลักฐานการทฤษฎีบท 1.1 ให้ G เป็น counterexample ของการสั่งซื้อที่น้อยที่สุด เลือกนายกคิว / ∈πที่แบ่ง
IndG (x) ให้ Q เป็น Sylow Q-กลุ่มย่อยของบรรษัทภิบาล (x) และอาร์ Sylow Q-กลุ่มย่อยของ G ดังกล่าวว่า Q? หากอาร์∈
R Q มันตามที่ Ind?, x, Q (x) หารด้วยคิวไหนโดยอุปนัย g =?, x, Q? ให้ Z = Z (R) มัน
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็น∩Q Z ที่? Z (G) หาก Z ∩Q = 1 เลือก 1 = ∈ซีตอนนี้ความเสมอภาค g =?, x, Q? แสดงให้เห็นว่า
Z (Q)? Z (G) ดังนั้น M = OQ (G) = 1 โดยการเหนี่ยวนำผลที่ได้ถือสำหรับ G / M ตั้ง H / M = CG / M (xM).
ตั้งแต่ [G: H] เป็นπจำนวนก็พอเพียงที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่า IndH (x) เป็นπหมายเลข หาก H <G นี้ตามด้วย
การเหนี่ยวนำดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า g = เอชเป็นศูนย์กลางใน G / M องค์ประกอบ x normalizes ทุก Sylow
Q-กลุ่มย่อยของจีโดยบทแทรก 2.1 เราสรุปได้ว่า x รวมศูนย์ทุก Sylow Q- กลุ่มย่อยของจีดังนั้น
IndG (x) ไม่หารโดย q, ความขัดแย้ง หลักฐานเสร็จสมบูรณ์ ?
เป้าหมายต่อไปของเราคือการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.2 ในสิ่งต่อไปนี้ F (G) จะหมายถึงกลุ่มย่อยฟิตติ้งของ G
และสาย (G) ระยะที่ i ของชุดกระชับ.
บทแทรก 2.2 หาก g = F (G)? x ?, Theorem1.2 ถูกต้อง.
หลักฐาน สมมติว่า IndG (x) หารด้วยสองช่วงเวลาที่แตกต่างกัน p และ q เลือกหนองค์ประกอบและ
Q-องค์ประกอบในข F (G) ดังกล่าวว่า [, x] = 1 และ [b, x] = 1 มันตามที่ Ind? b, x (x) หารด้วยทั้ง
p และ q, ความขัดแย้ง ?
ในบทแทรกต่อไปเรายืดสัญกรณ์เล็กน้อยโดยใช้สัญกรณ์ IndH (x) แม้ในขณะที่ x / ∈เอช
บทแทรก 2.3 ให้ V เป็นคริสต์กลุ่มดำเนินการโดยกลุ่ม G และให้ x เป็นองค์ประกอบของ V เช่นที่ Ind? ข? (x)
เป็นพลังงานที่สำคัญสำหรับการใด ๆ ข∈กรัมจากนั้น IndG (x) เป็นพลังงานที่สำคัญ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 1.1 . ให้πเป็นชุดของไพร์ม ให้ x ∈ G และสมมติว่า IND  A , x  ( x ) เป็นπ - สำหรับหมายเลขใด ๆ∈ G .
แล้ว indg ( x ) เป็นπ - หมายเลข
พิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวจะสั้นมาก และระดับประถม เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าถ้า
indg ( x ) เป็นπ - เบอร์ indh ( x ) ไม่จําเป็นต้องπ - หมายเลขสำหรับแต่ละกลุ่มย่อย เอช ให้ m เป็น
กลุ่มเบื้องต้น สั่ง 8 และไม่ใช่กลุ่มศาสนาคริสต์เพื่อ 21ให้ทำอยู่เช่น
ลักษณะที่กลุ่มย่อยที่ 7 permutes เพื่อที่ involutions ใน M ด้วยสกรรมกริยา ให้ g เป็นส่วนขยายของ M
โดย เลือก X เป็น การมีส่วนร่วมใน ม. แล้ว indg ( ( X ) = 7 แต่ก็ไม่ใช่ศาสนาคริสต์
กลุ่มย่อย เช่น indh สั่งซื้อ 24 H ( x ) = 3
ผลอื่นได้ในกระดาษเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้ .
ทฤษฎีบท 1.2 สมมติว่า IND  A , B , X  ( x ) เป็นพลังที่สำคัญสำหรับใด ๆ AB ∈กรัม แล้ว indg ( x ) เป็นอำนาจของนายกรัฐมนตรี
พิสูจน์ทฤษฎีบท 1.2 ไม่มีประถม โดยเฉพาะการใช้ที่รู้จักกันดีและผล
aschbacher guralnick [ 1 ] ทุกศาสนาคริสต์กลุ่ม 2-generated ง่ายไม่ . นี้ขึ้นอยู่กับ
หมวดหมู่ของกลุ่มง่าย ๆแน่นอน . อื่นที่สำคัญ เครื่องมือที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท
1.2 คือทฤษฎีบทของฟลาเวล [ 3 ] x ∈ F2 ( G ) ถ้าและเพียงถ้า x ∈ F2 (  A , x  ) ใด ๆ ∈ G .
2 ปรู๊ฟ
พ 2.1 . ให้πเป็นชุดของรูปแบบและให้ x เป็นองค์ประกอบของ G . สมมติว่า IND  A , x  ( x ) เป็นπ - จำนวนใด ๆ . ถ้า∈
Q เป็นπ  - กลุ่มย่อยของ G ที่∈ ng X ( Q ) แล้ว x ∈ CG ( q )
หลักฐาน ให้∈ Q . โดยสมมติฐาน IND  A , x  ( x ) เป็นπ - หมายเลข บนมืออื่น ๆ มันเป็นที่ชัดเจนว่า
เป็นπ  - หมายเลข มีรูปแบบดังนี้ 
พิสูจน์ทฤษฎีบท 1.1 . ให้ g เป็น counterexample การสั่งซื้อที่น้อยที่สุด เลือกนายก q / ∈πที่แบ่ง
indg ( X ) ให้ Q เป็น sylow q-subgroup ของ CG ( x ) และ R sylow q-subgroup G เช่น Q  อาร์ ถ้า∈
R Q , มันเป็นไปตามที่ IND  A , x , q  ( x ) Q ซึ่งแบ่งโดยอุปนัย g =  A , x , q  . ให้ Z = Z ( R ) มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า
z ∩ Q  Z ( G )