THREE WORLDS OF MATHEMATICSThe theo

THREE WORLDS OF MATHEMATICS

The theory of three worlds of mathematics is now formulated in detail in the book How Humans Learn to Think Mathematically. This offers a framework for the development of mathematical thinking based on perception developing subtly in sophistication through the mental world of conceptual embodiment, operation developing through actions that become mathematical operations in a world of operational symbolism and increasingly subtle use of verbal reason that leads to formal aspects of embodiment and symbolism and eventually to a world of axiomatic formalism. The development takes account of the individual's previous experience which may operate successfully in one context yet remain supportive or become problematic in another, giving rise to emotional reactions to mathematics, leading to a spectrum of success and failure over the longer term. The book starts with the newborn child and traces the development of mathematical thinking throughout school, university and on to the frontiers of research.

Recent published paper summarizing the ideas

My whole life in mathematics education has been devoted to understanding the growth of mathematics at all ages with differing individuals. In my research, I found three fundamentally different ways of operation, one through physical and mental embodiment, including action and the use of visual and other senses, a second through the use of mathematical symbols that operate as process and concept (procepts) in arithmetic, algebra and symbolic calculus, and a third using formal language in increasingly sophisticated formal mathematics in advanced mathematical thinking. As I considered the whole range of mathematical thinking, I began to realise that the notion of three different worlds of mathematics:

(conceptual) embodied
(proceptual) symbolic
(axiomatic) formal
offered a useful categorisation for different kinds of mathematical context. Each has its own individual style of cognitive growth, each has a different way of using language and together they cover a wide range of mathematical activity. An outline of the origins of the theory can be found here and more information (published in For the Learning of Mathematics, 2004) here.

Specific applications of the theory in different contexts are also available: in calculus/analysis given in Rio de Janiero, the Overheads for a recent talk in Bogota, the role of the three different worlds in proof from a presentation in Taipei, and a paper on the three different worlds for the concept of vector, with Anna Watson and Takis Spirou.

Further developments of the theory are reported in presentations given on mathematical learning from childhood to adulthood and the transition from embodiment and symbolism to formal proof. Several invited keynotes for different international audiences are below.

Over time the framework has been developed to take into account genetic aspects which are 'set-before' our birth and cognitive development building experiences 'met-before' in one's development.

The three major set-befores are:

recognition (of similarities, differences and patterns) that may be categorised to give new thinkable concepts,
repetition (of sequences of actions) that may be routinised into automatic procedures,
language, that enables categorisation of thinkable concepts, encapsulation of actions as symbols that can act flexibly as process to do or concept to think about and definition of mathematical structures in a formal sense.

These set-befores lead to the development of each of the three worlds of mathematics which grow more sophisticated and interconnected as the individual matures.

For many learners, algebra only gets as far as the use of procedural techniques (e.g. Lima & Tall, 2008) which show little sign of flexibility in the meaning of symbols as process and concept. Instead, the symbols are 'shifted around' in a way which we term 'procedural embodiment' which involves an imagined movement of symbols, accompanied by a touch of 'magic' to get the right answer (for instance, 'move the term to the other side of the equation and change its sign').

In the later years of secondary school, the introduction of definitions in geometry and the 'rules of arithmetic' in algebra' can lead to formal embodiment in geometry and formal symbolism in arithmetic and algebra, giving a framework as follows:

three worlds

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สามโลกของคณิตศาสตร์ตอนนี้มีสูตรทฤษฎีสามโลกของคณิตศาสตร์ในรายละเอียดในหนังสือวิธีการที่มนุษย์เรียนรู้การคิด Mathematically นี้มีกรอบสำหรับการพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ตามการรับรู้พัฒนารายละเอียดในความซับซ้อนผ่านโลกจิตของแนวคิดลื่น การดำเนินการพัฒนา ด้วยการกระทำที่เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในโลกของสัญลักษณ์ในการดำเนินงานและใช้เหตุผลด้วยวาจาที่ลื่นและสัญลักษณ์ทางด้าน และในที่สุดโลกของ axiomatic formalism ลึกซึ้งมากขึ้น การพัฒนาใช้บัญชีประสบการณ์ก่อนหน้าของแต่ละบุคคลซึ่งอาจมีสำเร็จในบริบทหนึ่ง แต่ยังคงให้การสนับสนุน หรือเป็นปัญหาอีก ให้เพิ่มขึ้นปฏิกิริยาทางอารมณ์กับคณิตศาสตร์ นำการสเปกตรัมของความสำเร็จและความล้มเหลวมากกว่าระยะยาว หนังสือเริ่มต้น ด้วยเด็กทารก และพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ โรงเรียน มหาวิทยาลัย และเข้า สู่ขอบเขตของการวิจัยการสืบค้นกลับล่าสุดกระดาษเผยแพร่สรุปความคิดมีการทุ่มเทชีวิตทั้งหมดในการศึกษาคณิตศาสตร์เพื่อทำความเข้าใจการเติบโตของคณิตศาสตร์ที่อายุกับบุคคลแตกต่างกัน งานวิจัยของฉัน พบความแตกต่างกันสามวิธีการ 1 ถึงลื่นกาย และจิตใจ รวมทั้งการดำเนินการ และใช้ความรู้สึกภาพ และอื่น ๆ ที่สองผ่านการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่มีกระบวนการและแนวคิด (procepts) ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิต และ แคลคูลัสสัญลักษณ์ และที่สามใช้ภาษาเป็นทางการมากขึ้นคณิตศาสตร์ซับซ้อนเป็นทางการในขั้นสูงความคิดทางคณิตศาสตร์ ขณะที่ฉันถือของความคิดทางคณิตศาสตร์ เริ่มตระหนักถึงการที่แนวคิดของสามโลกที่แตกต่างคณิตศาสตร์:รวบรวมไว้ (แนวคิด)(proceptual) สัญลักษณ์เป็นทางการ (axiomatic)นำเสนอ categorisation มีประโยชน์สำหรับชนิดของเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ มีสไตล์ของตัวเองแต่ละของการรับรู้การเจริญเติบโต มีวิธีแตกต่างกันของการใช้ภาษา และกันจะครอบคลุมกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย สามารถพบเค้ากำเนิดของทฤษฎีนี้และข้อมูลเพิ่มเติม (เผยแพร่ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 2004) ที่นี่นอกจากนี้ยังมีโปรแกรมประยุกต์เฉพาะของทฤษฎีในบริบทต่างกัน: แคลคูลัส/วิเคราะห์ในริโอเดอ Janiero วัสดุสำหรับการล่าพูดในโบโกตา บทบาทของโลกแตกต่างกันสามในหลักฐานจากการนำเสนอในไทเป และกระดาษบนโลกที่แตกต่างกันสามสำหรับแนวคิดของเวกเตอร์ แอนนา Watson และ Takis Spirouพัฒนาทฤษฎีที่มีรายงานในการนำเสนอให้ในการเรียนรู้คณิตศาสตร์จากวัยเด็กวัยผู้ใหญ่ได้และเปลี่ยนจากการลื่นและสัญลักษณ์เพื่อเป็นหลักฐาน Keynotes เชิญหลายสำหรับชมนานาชาติต่าง ๆ ที่อยู่ด้านล่างช่วงเวลาที่กรอบได้รับการพัฒนาเป็นบัญชีด้านพันธุกรรมซึ่งเป็น 'ชุดก่อน' เกิดและพัฒนารับรู้สร้างประสบการณ์ 'พบก่อน' ในการพัฒนาของเรามีสามหลักชุด-befores:การรับรู้ (ความเหมือน ความแตกต่าง และรูปแบบ) ที่อาจจัดให้ใหม่แนวคิดเทลอาวีฟทำซ้ำ (ของลำดับของการดำเนินการ) ซึ่งอาจเป็นกระบวนการอัตโนมัติ routinisedภาษา ที่ทำให้ categorisation ของแนวคิดเทลอาวีฟ encapsulation การเป็นสัญลักษณ์ที่สามารถดำเนินการมันเป็นกระบวนการ หรือแนวคิด และนิยามของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ในการศึกษาBefores ชุดนี้นำไปสู่การพัฒนาของโลกที่สามของคณิตศาสตร์ซึ่งเติบโตมีความซับซ้อนมากขึ้น และเชื่อมต่อกันเป็นการเติบโตของแต่ละบุคคล แต่ละสำหรับผู้เรียนจำนวนมาก พีชคณิตเท่านั้นได้เท่าที่ใช้ขั้นตอนเทคนิค (เช่นลิมาและสูง 2008) ซึ่งแสดงเครื่องหมายเล็กน้อยความยืดหยุ่นในความหมายของสัญลักษณ์เป็นกระบวนการและแนวคิด แทน สัญลักษณ์คือ 'เปลี่ยนสถาน' ในแบบที่เราระยะ 'ขั้นตอนลื่น' ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวเรื่องสมมติสัญลักษณ์ พร้อม ด้วยสัมผัสของ 'มายากล' จะได้รับคำตอบถูก (เช่น, 'คำไปอีกด้านหนึ่งของสมการ และเปลี่ยนเครื่องหมายของ')ในปีภายหลังมัธยมศึกษา การแนะนำของคำนิยามในทางเรขาคณิต และ 'กฎของเลขคณิต' ในพีชคณิต ' อาจทำให้ลื่นอย่างเป็นทางการในทางเรขาคณิตและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และพีชคณิต ให้กรอบการทำงานดังนี้:โลกที่สาม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สามโลกคณิตศาสตร์ทฤษฎีของสามโลกของคณิตศาสตร์เป็นสูตรที่ตอนนี้ในรายละเอียดในหนังสือวิธีมนุษย์เรียนรู้ที่จะคิดทางคณิตศาสตร์ นี้มีกรอบในการพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับการรับรู้การพัฒนาอย่างละเอียดในความซับซ้อนผ่านโลกจิตของศูนย์รวมความคิดในการดำเนินงานการพัฒนาผ่านการกระทำที่เป็นดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในโลกของสัญลักษณ์การดำเนินงานและการใช้งานที่ละเอียดอ่อนมากขึ้นของเหตุผลวาจาที่นำไปสู่อย่างเป็นทางการ แง่มุมของศูนย์รวมและสัญลักษณ์และในที่สุดก็เข้าสู่โลกของพิธีจริง การพัฒนาต้องใช้บัญชีของประสบการณ์ที่ผ่านมาของแต่ละบุคคลซึ่งอาจจะประสบความสำเร็จในการดำเนินงานในบริบทหนึ่งที่ยังคงอยู่ในการสนับสนุนหรือกลายเป็นปัญหาอีกให้สูงขึ้นเพื่อตอบสนองทางอารมณ์กับคณิตศาสตร์ที่นำไปสู่สเปกตรัมของความสำเร็จและความล้มเหลวในระยะอีกต่อไป หนังสือเล่มนี้เริ่มต้นด้วยเด็กแรกเกิดและมีร่องรอยของการพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ทั่วทั้งโรงเรียน, มหาวิทยาลัยและไปยังพรมแดนของการวิจัย. บทความที่ตีพิมพ์เมื่อเร็ว ๆ นี้สรุปความคิดทั้งชีวิตของฉันในการศึกษาคณิตศาสตร์ได้รับการอุทิศเพื่อความเข้าใจการเจริญเติบโตของคณิตศาสตร์ที่ทุกเพศทุกวัยกับบุคคลที่แตกต่างกัน ในงานวิจัยของฉันฉันพบสามวิธีที่แตกต่างกันของการดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งผ่านศูนย์รวมทางร่างกายและจิตใจรวมทั้งการกระทำและการใช้ความรู้สึกของภาพและอื่น ๆ ที่เป็นครั้งที่สองที่ผ่านการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ทำงานเป็นกระบวนการและแนวคิด (procepts) ในการคำนวณ พีชคณิตและแคลคูลัสสัญลักษณ์และคนที่สามใช้ภาษาอย่างเป็นทางการในวิชาคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการความซับซ้อนมากขึ้นในความคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง ขณะที่ผมถือว่าเป็นทั้งช่วงของการคิดทางคณิตศาสตร์ที่ผมเริ่มที่จะตระหนักว่าความคิดของสามโลกที่แตกต่างกันของคณิตศาสตร์: (ความคิด) เป็นตัวเป็นตน(proceptual) สัญลักษณ์(จริง) อย่างเป็นทางการที่นำเสนอการจัดหมวดหมู่ที่มีประโยชน์สำหรับชนิดที่แตกต่างจากบริบททางคณิตศาสตร์ แต่ละคนมีสไตล์ของตัวเองแต่ละของการเจริญเติบโตทางความคิดแต่ละคนมีวิธีที่แตกต่างของการใช้ภาษาและการร่วมกันพวกเขาครอบคลุมหลากหลายของกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ ร่างของต้นกำเนิดของทฤษฎีที่สามารถพบได้ที่นี่และข้อมูลอื่น ๆ (ตีพิมพ์ในสำหรับการเรียนรู้คณิตศาสตร์, 2004) ที่นี่. การใช้งานเฉพาะของทฤษฎีในบริบทที่แตกต่างกันนอกจากนี้ยังมีในแคลคูลัส / การวิเคราะห์ที่ได้รับในริโอเด Janiero, ค่าโสหุ้ยในการพูดคุยล่าสุดในโบโกตาบทบาทของสามโลกที่แตกต่างกันในการพิสูจน์จากงานนำเสนอในไทเปและกระดาษในสามโลกที่แตกต่างสำหรับแนวคิดของเวกเตอร์กับแอนนาวัตสันและ Takis สปิโร. การพัฒนาต่อไปของทฤษฎี มีการรายงานในการนำเสนอผลงานที่ได้รับการเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์จากวัยเด็กเป็นผู้ใหญ่และการเปลี่ยนแปลงจากศูนย์รวมและสัญลักษณ์ในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ การกล่าวสุนทรพจน์รับเชิญหลายคนสำหรับผู้ชมต่างประเทศที่แตกต่างกันดังต่อไปนี้. เมื่อเวลาผ่านกรอบการทำงานที่ได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อใช้ในทุกด้านพันธุกรรมบัญชีที่มีการ 'ตั้งก่อนที่จะ' เกิดของเราและพัฒนาองค์ความรู้ประสบการณ์ของอาคารพบมาก่อนในการพัฒนาของคน. สามชุดใหญ่ -befores คือการรับรู้(ความคล้ายคลึงกันที่แตกต่างกันและรูปแบบ) ที่อาจจะมีการจัดหมวดหมู่เพื่อให้แนวคิด thinkable ใหม่ซ้ำ(ลำดับของการกระทำ) ที่อาจจะเข้าสู่ขั้นตอนการ routinised อัตโนมัติภาษาที่ช่วยให้การจัดหมวดหมู่ของแนวคิดthinkable, การห่อหุ้มของการกระทำ เป็นสัญลักษณ์ที่สามารถทำหน้าที่มีความยืดหยุ่นเป็นกระบวนการที่จะทำหรือแนวความคิดที่จะคิดเกี่ยวกับความหมายของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ในความหมายอย่างเป็นทางการ. เหล่านี้ตั้ง befores นำไปสู่การพัฒนาของแต่ละแห่งที่สามของโลกของคณิตศาสตร์ซึ่งเติบโตที่มีความซับซ้อนมากขึ้นและเชื่อมต่อกันเป็นบุคคล ครบกำหนดไถ่ถอน. สำหรับผู้เรียนจำนวนมากพีชคณิตเพียงได้รับเท่าที่ใช้เทคนิคในการดำเนินการ (เช่นลิมาและสูง 2008) ซึ่งแสดงให้เห็นน้อยลงของความยืดหยุ่นในความหมายของสัญลักษณ์เป็นกระบวนการและแนวคิด แต่สัญลักษณ์ที่จะ 'เปลี่ยนรอบในวิธีที่เราคำว่า' ศูนย์รวมขั้นตอน 'ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวจินตนาการของสัญลักษณ์พร้อมด้วยสัมผัสของ' วิเศษ 'เพื่อให้ได้คำตอบที่เหมาะสม (เช่นการ' ย้ายระยะไป อีกด้านหนึ่งของสมการและเปลี่ยนเครื่องหมาย '). ในปีต่อมาโรงเรียนมัธยมแนะนำของคำนิยามในรูปทรงเรขาคณิตและ' กฎของคณิตศาสตร์ในพีชคณิต 'สามารถนำไปสู่ศูนย์รวมอย่างเป็นทางการในเรขาคณิตและสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการในการคำนวณและพีชคณิต ให้กรอบการทำงานดังต่อไปนี้สามโลก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 โลกของคณิตศาสตร์

ทฤษฎีสามโลกของคณิตศาสตร์เป็นสูตรในรายละเอียดในหนังสือว่ามนุษย์เรียนรู้การคิดทางคณิตศาสตร์ . เสนอแนวทางการพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ตามการรับรู้อย่างละเอียดในการพัฒนาความซับซ้อนผ่านโลกของจิต รวม 2 ,การดำเนินงานพัฒนาผ่านการกระทำที่เป็นปฏิบัติการทางคณิตศาสตร์ในโลกของการดำเนินงานและการใช้สีสันมากขึ้น วาจาที่นำไปสู่ด้านอย่างเป็นทางการของตนและสัญลักษณ์ และในที่สุดโลกของสัจพจน์แบบ .การพัฒนาการใช้บัญชีของแต่ละคน ประสบการณ์เดิมซึ่งอาจทำงานได้สำเร็จในบริบทหนึ่ง แต่ยังคงสนับสนุนหรือเป็นปัญหาอื่นให้สูงขึ้น ปฏิกิริยาทางอารมณ์กับคณิตศาสตร์ นำคลื่นของความสำเร็จและความล้มเหลวในระยะยาว .หนังสือเริ่มต้นด้วยเด็กแรกเกิด และร่องรอยการพัฒนาการคิดทางคณิตศาสตร์ได้ทั่วทั้งโรงเรียน มหาวิทยาลัย และ ในเขตแดนของการวิจัย

ล่าสุดตีพิมพ์กระดาษสรุปความคิด

มาทั้งชีวิตในการศึกษาคณิตศาสตร์ ได้รับการอุทิศเพื่อความเข้าใจการเจริญเติบโตของคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันทุกเพศทุกวัย กับบุคคล ในงานวิจัยของฉันฉันพบสามวิธีที่แตกต่างกันในรายละเอียดของการดำเนินการ หนึ่งผ่านทางกาย และจิตใจ รวมถึงการใช้สายตาและประสาทสัมผัสอื่น ๆที่สองผ่านการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้งานตามกระบวนการและแนวคิด ( procepts ) ในเลขคณิตพีชคณิตและแคลคูลัสเชิงสัญลักษณ์และที่สามใช้ภาษาสุภาพเป็นทางการในคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นในการคิดเชิงคณิตศาสตร์ขั้นสูง ผมถือว่าทั้งช่วงของการคิดทางคณิตศาสตร์ ฉันเริ่มตระหนักว่า ความคิดของสามโลกที่แตกต่างกันของคณิตศาสตร์ :

( แนวความคิด ) ใช้สัญลักษณ์

( proceptual ) ( สัจพจน์ ) อย่างเป็นทางการ
เสนอ categorisation มีประโยชน์สำหรับชนิดที่แตกต่างของบริบททางคณิตศาสตร์แต่ละคนมีสไตล์ส่วนตัวของตัวเองของการรับรู้ แต่ละคนมีวิธีที่แตกต่างของการใช้ภาษา และร่วมกันพวกเขาครอบคลุมหลากหลายของกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ เค้าร่างของต้นกำเนิดของทฤษฎีที่สามารถพบได้ที่นี่และข้อมูลเพิ่มเติม ( ตีพิมพ์ในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ , 2004 ) ที่นี่

โดยเฉพาะการประยุกต์ใช้ทฤษฎีในบริบทที่แตกต่างกันนอกจากนี้ยังมี :ในการวิเคราะห์แคลคูลัส / ได้รับในริโอ เดอ janiero , โสหุ้ยเพื่อพูดคุยล่าสุดในโบโกตา , บทบาทของ 3 โลกที่แตกต่างในการนำเสนอหลักฐานจากไทเป และกระดาษใน 3 โลกที่แตกต่างกับแนวคิดของเวกเตอร์ , แอนนา วัตสัน และ Takis spirou .

พัฒนาการของทฤษฎีมีรายงานในงานนำเสนอได้รับในการเรียนรู้คณิตศาสตร์จากวัยเด็กถึงวัยผู้ใหญ่และการเปลี่ยนจากการเป็นตัวแทนและสัญลักษณ์เพื่อพิสูจน์อย่างเป็นทางการ KEYNOTES สำหรับผู้ชมระหว่างประเทศที่แตกต่างกันหลายเชิญด้านล่าง .

ตลอดเวลาซึ่งได้รับการพัฒนาเพื่อใช้ในด้านพันธุกรรมบัญชีซึ่งเป็น ' ตั้ง ' เกิด ' สร้างพัฒนาการทางความคิด และประสบการณ์ของเราพบมาก่อนในหนึ่งของการพัฒนา

หลักสามชุด befores :

ยอมรับ ( ของความเหมือน ความแตกต่างและรูปแบบ ) ที่อาจจะแบ่งให้แนวคิดซึ่งสามารถคิดได้ใหม่
,การทำซ้ำ ( ของลำดับการกระทำ ) ที่อาจจะ routinised เป็นอัตโนมัติขั้นตอน
ภาษา ที่ช่วยให้ categorisation แนวคิดซึ่งสามารถคิดได้ , encapsulation ของการกระทำเป็นสัญลักษณ์ที่สามารถแสดงความยืดหยุ่นในกระบวนการทำ หรือแนวคิดในการคิด และนิยามของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ในความรู้สึกแบบเป็นทางการ

ชุดเหล่านี้ befores นำไปสู่การพัฒนาของแต่ละสามภพของคณิตศาสตร์ซึ่งเติบโตมากขึ้นมีความซับซ้อนและเชื่อมต่อกันเป็นบุคคลที่ผู้ใหญ่

สำหรับผู้เรียนหลาย พีชคณิตได้แค่เท่าที่ใช้เทคนิคกระบวนการ ( เช่น ลิมา&สูง , 2551 ) ซึ่งแสดงเครื่องหมายเล็ก ๆน้อย ๆของความยืดหยุ่นในความหมายของสัญลักษณ์ เช่น กระบวนการ และแนวทาง แทนสัญลักษณ์จะ ' เปลี่ยน ' ในทางที่เราคำ ' ' ที่เกี่ยวข้องกับการคิดเชิงรูปธรรมการเคลื่อนไหวของสัญลักษณ์ พร้อมด้วยสัมผัสของ ' มายากล ' เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง ( เช่น ' เลื่อนระยะเวลาไปอีกข้างของสมการและการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณ ' )

ใน ปีต่อมาของโรงเรียนมัธยมศึกษาการแนะนำของคำนิยามในเรขาคณิตและ ' ' กฎของเลขคณิตพีชคณิตสามารถนำไปสู่รูปธรรมอย่างเป็นทางการในเรขาคณิตและสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการในเลขคณิตและพีชคณิตให้กรอบดังนี้

สามภพ