AbstractFor every n ≥ 2 we construc

Abstract
For every n ≥ 2 we construct a factorial domain R for which n is
minimal with the property that every element can be written as the sum
of at most n units.
For any ring R let u(R) be the smallest number n such that every element can
be written as the sum of at most n units. If no such n exists, set u(R) = ∞.
Peter Vamos computed in [Va] u(R) for various rings and found examples
with values 1, 2, 3, ∞. We will show that all finite values occur for factorial
domains. For a slightly different definition of unit sum number see [GPS].
Everything will follow from the following proposition.
Proposition 1 Let R be an integral domain, a a non–zero element of R and n
a natural number ≥ 2. Then R is contained in a domain R0 with the following
properties
1. a is the sum of n units in R0
.
2. If an element of R is the sum of k < n units in R0
, it is the sum of k units
in R.
We call a domain with property 2. an n–extension of R.
Proof: Consider the polynomial ring P = R[x1, . . . , xn−1]. Let S be the
multiplicative monoid generated by x1, . . . , xn−1 and w = −x1 − · · · − xn−1 +a.
R0 will be the quotient ring PS. Clearly, a is a sum of n units in R0
:
a = x1 + · · · + xn−1 + w.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อสำหรับทุก n ≥ 2 เราสร้างโดเมนแฟก R สำหรับ n ที่เป็นน้อยที่สุด ด้วยคุณสมบัติที่สามารถเขียนเป็นผลรวมทุกองค์ประกอบหน่วย n มากที่สุดสำหรับแหวนใดๆ R ให้ u(R) เป็นหมายเลข n ที่น้อยที่สุดให้ทุกองค์ประกอบสามารถสามารถเขียนเป็นผลรวมของหน่วย n มากที่สุด ถ้าไม่เช่น n ตั้ง u(R) =∞ปีเตอร์ Vamos คำนวณใน u(R) [Va] สำหรับแหวนต่าง ๆ และพบตัวอย่างมีค่า 1, 2, 3 ∞ เราจะแสดงว่า ค่าจำกัดทั้งหมดเกิดขึ้นในแฟกทอเรียลโดเมน สำหรับคำนิยามที่แตกต่างกันเล็กน้อยจำนวนรวมหน่วยดู [GPS]ทุกอย่างจะทำตามจากข้อเสนอต่อไปนี้ข้อเสนอ 1 ให้ R เป็นโดเมนอินทิกรัลจำกัดเขต เป็นองค์ประกอบของ R และ n – ศูนย์การจำนวนธรรมชาติมี≥ 2 แล้ว มี R อยู่ในโดเมน R0 มีดังนี้คุณสมบัติ1.เป็นผลรวมของ R0 n หน่วย.2. ถ้าองค์ประกอบของ R คือ ผลรวมของ k < R0 n หน่วยเป็นผลรวมของหน่วย kในอาร์เราเรียกโดเมนที่ มีคุณสมบัติ 2 n – ขยายอาร์หลัก: พิจารณาแหวนพหุนาม P = R [x1,..., xn−1] ให้ S เป็นการเชิงการคูณ monoid สร้าง โดย x1,..., xn−1 และ w = −x1 −··· − xn−1 +R0 จะแหวนผลหารสดด.ชัดเจน การเป็นผลรวมของ R0 n หน่วย:ตัว = x 1 + ··· + xn−1 + w

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อสำหรับ n ≥ 2 เราสร้าง R โดเมนปัจจัยที่ n คือทุกที่น้อยที่สุดกับทรัพย์สินที่ทุกองค์ประกอบสามารถเขียนเป็นผลรวมของที่มากที่สุดn หน่วย. สำหรับแหวนใด ๆ R ให้ท่าน (R) เป็นจำนวนที่น้อยที่สุด n ดังกล่าว ว่าองค์ประกอบทุกคนสามารถเขียนเป็นผลรวมที่มากที่สุดของหน่วยที่n ถ้า n ดังกล่าวไม่อยู่ตั้งยู (R) = ∞. ปีเตอร์ Vamos คำนวณได้ใน [Va] ยู (R) สำหรับวงต่างๆและพบว่าตัวอย่างที่มีค่า1, 2, 3, ∞ เราจะแสดงให้เห็นว่าค่า จำกัด ทั้งหมดเกิดขึ้นปัจจัยโดเมน สำหรับความหมายที่แตกต่างกันเล็กน้อยของผลรวมจำนวนหน่วยที่เห็น [GPS]. ทุกอย่างจะตามมาจากข้อเสนอดังต่อไปนี้. โจทย์ 1 ให้ R เป็นโดเมนหนึ่ง, AA ไม่ใช่ศูนย์องค์ประกอบของ R และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ≥ 2. จากนั้น R ที่มีอยู่ ในโดเมน R0 มีดังต่อไปนี้คุณสมบัติ1 คือผลรวมของหน่วย n ใน R0. 2 ถ้าองค์ประกอบของ R คือผลรวมของ k <n หน่วยใน R0 มันเป็นผลรวมของหน่วย k ในอาร์เราเรียกโดเมนที่มีสถานที่ให้บริการ 2 รูป n การขยายตัวของอาร์พิสูจน์: พิจารณาแหวนพหุนาม p = R [x1, . . , xn-1] ให้ S เป็นหนังสือที่สร้างขึ้นโดยการคูณx1, . . , xn-1 และ W = -x1 - ··· -. xn-1 + A R0 จะฉลาดแหวน PS เห็นได้ชัดว่าเป็นผลรวมของ n หน่วยใน R0: A = x1 + ··· + xn-1 + W

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทคัดย่อสำหรับทุก n
2 R ≥เราสร้างกลุ่มโดเมนที่ n
น้อยที่สุด ด้วยคุณสมบัติที่ทุกองค์ประกอบสามารถเขียนเป็นผลรวมของที่ที่สุด
n หน่วย
สำหรับแหวน r ให้ u ( R ) เป็นจำนวนน้อยที่สุด ( เช่นที่ทุกองค์ประกอบสามารถ
สามารถเขียนเป็นผลรวมที่ที่สุดของ n หน่วย ถ้าไม่มี N มีอยู่ ชุด U ( r ) = ∞ .
ปีเตอร์ Vamos คำนวณใน [ และ ] U ( R ) สำหรับวงต่างๆ และพบตัวอย่าง
ด้วยค่า 1 , 2 , 3 , ∞ . เราจะแสดงให้เห็นว่าค่าจำกัดทั้งหมดเกิดจากการทดลอง
โดเมน สำหรับคำนิยามที่แตกต่างกันเล็กน้อยของจำนวนรวมหน่วยเห็น [ GPS ] .
ทุกอย่างจะตามมาจากโจทย์ต่อไปนี้
ข้อเสนอ 1 ให้ R เป็นโดเมนจำนวนเต็ม , Non –ศูนย์องค์ประกอบของ R และ N
เป็น≥หมายเลขธรรมชาติ 2 . แล้ว R อยู่ใน r0

1 โดเมนที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้คือผลรวมของหน่วยใน r0
.
2 ถ้าองค์ประกอบของ r คือผลรวมของ K < n หน่วยใน r0
มันคือผลรวมของ K .

ในหน่วยที่เราเรียกว่าโดเมนที่มีคุณสมบัติ 2 เป็นส่วนขยายของ R .
n ) หลักฐาน : พิจารณาแหวนพหุนาม P = R [ x1 , . . . . . . . . คริสเตียน , − 1 ] กันเถอะ
การคูณ หนังสือที่สร้างขึ้นโดย x1 , . . . . . . . . คริสเตียน− 1 , −−และ W = 1 · · ·−− 1 A .
r0 ซินจะหารแหวนปล . อย่างชัดเจนคือผลรวมของหน่วยใน r0
:
= 1 · · ·คริสเตียน− 1 W .