Proof. In fact, if a is a limit poi

Proof. In fact, if a is a limit point of E, then the base E 3 x -> a of deleted
o
neighborhoods UE{P) — UE{O) a of a is defined.
1
We recall that ^(o ) = E n U(a).
4.1 Basic Definitions and Examples 153
If / is continuous at a, then, by finding a neighborhood UE(O) for
the neighborhood V(f(a)) such that f(UE{a)) C V(f{a)), we will simultaneously
have f(UE(a)) C V(/(a)). By definition of limit, therefore,
lim f(x) = f(a).
E3x->a Conversely, if we know that lim f(x) = /(a), then, given a neighborE3x—>a

o o
hood V{f(a)), we find a deleted neighborhood UE{P) such that fUE{o)) C
F(/(a)). But since /(a) G F(/(a)), we then have also f(UE(a)) C ^(/(a)).
By Definition 1 this means that / is continuous at a G E.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน ในความเป็นจริง ถ้าเป็นเป็นจุดจำกัดของ E แล้วฐาน E 3 x -> การของลบoย่าน UE { P) — UE { O) เป็นของกำหนดไว้1 เราจำได้ที่ ^ (o) = E n U(a) 4.1 นิยามพื้นฐานและตัวอย่าง 153ถ้าเป็นอย่างต่อเนื่องที่ a จากนั้น โดยการหาย่าน UE(O) สำหรับย่าน V(f(a)) ที่ f(UE{a)) C V(f{a)) ที่เราจะไปพร้อม ๆ กันมี f(UE(a)) C V(/(a)) โดยนิยามของขีดจำกัด ดังนั้นlim f (x) = f(a)E3x -> ตรงกันข้าม ถ้าเรารู้ว่า lim f (x) = / (a), จากนั้น ได้รับการ neighborE3x — >o oเครื่องดูดควัน V{f(a)) เราค้นหาในย่านลบ UE { P) เช่นที่ fUE { o)) CF(/(a)) แต่ตั้งแต่ /(a) G F(/(a)) เราแล้วยังมี f(UE(a)) C ^ (/ (a))โดย 1 คำนิยาม นี้หมายความ ว่า / ไม่ต่อเนื่องที่เป็น e. G

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ ในความเป็นจริงถ้าเป็นจุดขีด จำกัด ของ E แล้วฐาน E 3 x -> ของลบ
o
ละแวกใกล้เคียง UE {p). - UE {O) ของถูกกำหนดให้
1
เราจำได้ว่า ^ (O) = E n U (ก).
4.1 คำนิยามพื้นฐานและตัวอย่าง 153
หาก / ต่อเนื่องที่แล้วโดยการค้นหา UE เขต (O) สำหรับ
เขตวี (F (ก)) เช่นว่า f (UE {a)) CV (ฉ {a)) เราจะไปพร้อม ๆ กัน
ได้ f (UE (ก)) CV (/ (ก)) ตามคำนิยามของวงเงินจึง
Lim f (x) = f (ก).
E3x-> a ตรงกันข้ามถ้าเรารู้ว่า Lim f (x) = / (ก) แล้วได้รับ neighborE3x-> a

O O
ประทุน V {F (ก)) เราจะพบย่านลบ UE {p) เช่นว่า F UE {o)) C
F (/ (ก)) แต่เนื่องจาก / (ก) GF (/ (ก)) เราแล้วยังได้ f (UE (ก)) C ^ (/ (ก)).
โดยมีความหมาย 1 นี้หมายความว่า / ต่อเนื่องที่จีอี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ ในความเป็นจริง หากอยู่ในขอบเขตที่จุด E แล้วฐาน e 3 x - > ของลบโอย่าน UE { p ) O ) { - e - ของถูกกำหนด1เราจำได้ว่า ^ ( o ) = E / U ( A )4.1 พื้นฐานความหมายและตัวอย่าง 153ถ้าเป็นอย่างต่อเนื่องที่แล้วโดยการหา UE ละแวก ( O )ย่าน V ( f ( a ) f ( UE ) เช่น { ) C V ( f { ) เราจะไปพร้อมกันมี f ( e ( a ) V ( C / ( ) โดยนิยามของขอบเขต ดังนั้นลิม f ( x ) = f ( A )e3x - > ในทางกลับกัน ถ้าเรารู้ว่า lim f ( x ) = / ( ) แล้วให้ neighbore3x - >O oเครื่องดูดควัน 5 { f ( a ) ) เราหาลบละแวก UE { P ) เช่น FUE { O ) cF ( ( ) ) แต่เนื่องจาก / ( g ) F ( ( ) ) เราก็ยังได้ F ( e ( a ) c ^ ( ( ) )โดยนิยาม 1 หมายความว่า / เป็นอย่างต่อเนื่องที่ G E