Cyclic GroupsWe began our study of

Cyclic Groups
We began our study of abstract algebra very concretely, by looking at the group Z of integers, and the related groups Z_n. We discovered that each of these groups is generated by a single element, and this motivated the definition of an abstract cyclic group. In this section, Theorem 3.5.2 shows that every cyclic group is isomorphic to one of these concrete examples, so all of the information about cyclic groups is already contained in these basic examples.
You should pay particular attention to Proposition 3.5.3, which describes the subgroups of Z_n, showing that they are in one-to-one correspondence with the positive divisors of n. In n is a prime power, then the subgroups are “linearly Ordered” in the sense that given any two subgroups, one is a subset of the other. These cyclic groups have a particularly simple structure, and form the basic building blocks for all finite abelian groups. (In Theorem 7.5.4 we will prove that every finite abelian group is isomorphic to a direct product of cyclic groups of prime power order.)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กลุ่มวัฏจักรเราเริ่มศึกษาพีชคณิตนามธรรมของเรามากรูปธรรม โดยมองที่กลุ่ม Z จำนวนเต็ม และกลุ่มที่เกี่ยวข้อง Z_n เราพบว่า แต่ละกลุ่มเหล่านี้ถูกสร้างขึ้น โดยองค์ประกอบเดียว และนี้แรงจูงใจคำจำกัดความของกลุ่มวัฏจักรนามธรรม ในส่วนนี้ ทฤษฎีบท 3.5.2 ภาพแสดงทุกกลุ่มทุกรอบว่า isomorphic ตัวอย่างคอนกรีตเหล่านี้ อย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อให้ข้อมูลเกี่ยวกับกลุ่มวัฏจักรทั้งหมดมีอยู่ในตัวอย่างพื้นฐานเหล่านี้คุณควรใส่ใจเป็นพิเศษเพื่อเสนอ 3.5.3 ซึ่งอธิบายถึงกลุ่มย่อยของ Z_n แสดงว่า พวกเขาอยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับหารบวกของ n N เป็นกำลังสำคัญ นั้นกลุ่มย่อยที่มี "เชิงเส้นสั่ง" ในแง่ที่ว่า ให้กลุ่มย่อยสอง หนึ่งเป็นเซตย่อยของอื่น ๆ กลุ่มวัฏจักรเหล่านี้มีโครงสร้างอย่างง่ายโดยเฉพาะอย่างยิ่ง และแบบฟอร์มการสร้างบล็อกพื้นฐานกลุ่มอาบีเลียนจำกัดทั้งหมด (ในทฤษฎีบท 7.5.4 เราจะพิสูจน์ว่าทุกกลุ่มอาบีเลียนจำกัด isomorphic ผลิตภัณฑ์โดยตรงของกลุ่มวัฏจักรของพลังงานเฉพาะสั่ง)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กลุ่มวงกลม
เราเริ่มการศึกษาของนามธรรมพีชคณิตมากอย่างเป็นรูปธรรม โดยมองในกลุ่ม Z ของจำนวนเต็ม และกลุ่ม z_n เราค้นพบว่า แต่ละกลุ่มเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียว และมีนิยามของกลุ่มที่เป็นนามธรรม ในส่วนนี้แสดงให้เห็นว่าทุกวงจรทฤษฎีบท 3.5.2 กลุ่มพวกเราหนึ่งของตัวอย่างคอนกรีตเหล่านี้ดังนั้น ข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับกลุ่มเป็นวงกลมแล้วที่มีอยู่ในตัวอย่างพื้นฐานเหล่านี้ .
คุณควรให้ความสนใจโดยเฉพาะข้อเสนอ 3.5.3 ซึ่งอธิบายถึงกลุ่มของ z_n , แสดงให้เห็นว่าพวกเขาอยู่ในการติดต่อกับตัวหารบวกหนึ่ง ( n เป็นอำนาจนายกรัฐมนตรี จากนั้นกลุ่มย่อย " linearly สั่ง " ในความรู้สึก ที่ให้ใด ๆที่สองกลุ่มย่อยหนึ่งคือบางส่วนของอื่น ๆ กลุ่มนี้มีโครงสร้างเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งง่ายและรูปแบบอาคารพื้นฐานสำหรับกลุ่มศาสนาคริสต์ จำกัดทั้งหมด ( ใน 7.5.4 เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ทุกกลุ่มศาสนาคริสต์ จำกัดเป็นผลิตภัณฑ์โดยตรงของกลุ่มพวกเราเป็นอำนาจนายกรัฐมนตรีสั่ง
)