Level 0. Visualization: At this lev

Level 0. Visualization: At this level, the focus of a child's thinking is on individual shapes, which the child is learning to classify by judging their holistic appearance. Children simply say, "That is a circle," usually without further description. Children identify prototypes of basic geometrical figures (triangle, circle, square). These visual prototypes are then used to identify other shapes. A shape is a circle because it looks like a sun; a shape is a rectangle because it looks like a door or a box; and so on. A square seems to be a different sort of shape than a rectangle, and a rhombus does not look like other parallelograms, so these shapes are classified completely separately in the child’s mind. Children view figures holistically without analyzing their properties. If a shape does not sufficiently resemble its prototype, the child may reject the classification. Thus, children at this stage might balk at calling a thin, wedge-shaped triangle (with sides 1, 20, 20 or sides 20, 20, 39) a "triangle", because it's so different in shape from an equilateral triangle, which is the usual prototype for "triangle". If the horizontal base of the triangle is on top and the opposing vertex below, the child may recognize it as a triangle, but claim it is "upside down". Shapes with rounded or incomplete sides may be accepted as "triangles" if they bear a holistic resemblance to an equilateral triangle.[6] Squares are called "diamonds" and not recognized as squares if their sides are oriented at 45° to the horizontal. Children at this level often believe something is true based on a single example.

Level 1. Analysis: At this level, the shapes become bearers of their properties. The objects of thought are classes of shapes, which the child has learned to analyze as having properties. A person at this level might say, "A square has 4 equal sides and 4 equal angles. Its diagonals are congruent and perpendicular, and they bisect each other." The properties are more important than the appearance of the shape. If a figure is sketched on the blackboard and the teacher claims it is intended to have congruent sides and angles, the students accept that it is a square, even if it is poorly drawn. Properties are not yet ordered at this level. Children can discuss the properties of the basic figures and recognize them by these properties, but generally do not allow categories to overlap because they understand each property in isolation from the others. For example, they will still insist that "a square is not a rectangle." (They may introduce extraneous properties to support such beliefs, such as defining a rectangle as a shape with one pair of sides longer than the other pair of sides.) Children begin to notice many properties of shapes, but do not see the relationships between the properties; therefore they cannot reduce the list of properties to a concise definition with necessary and sufficient conditions. They usually reason inductively from several examples, but cannot yet reason deductively because they do not understand how the properties of shapes are related.

Level 2. Abstraction: At this level, properties are ordered. The objects of thought are geometric properties, which the student has learned to connect deductively. The student understands that properties are related and one set of properties may imply another property. Students can reason with simple arguments about geometric figures. A student at this level might say, "Isosceles triangles are symmetric, so their base angles must be equal." Learners recognize the relationships between types of shapes. They recognize that all squares are rectangles, but not all rectangles are squares, and they understand why squares are a type of rectangle based on an understanding of the properties of each. They can tell whether it is possible or not to have a rectangle that is, for example, also a rhombus. They understand necessary and sufficient conditions and can write concise definitions. However, they do not yet understand the intrinsic meaning of deduction. They cannot follow a complex argument, understand the place of definitions, or grasp the need for axioms, so they cannot yet understand the role of formal geometric proofs.

Level 3. Deduction: Students at this level understand the meaning of deduction. The object of thought is deductive reasoning (simple proofs), which the student learns to combine to form a system of formal proofs (Euclidean geometry). Learners can construct geometric proofs at a secondary school level and understand their meaning. They understand the role of undefined terms, definitions, axioms and theorems in Euclidean geometry. However, students at this level believe that axioms and definitions are fixed, rather than arbitrary, so they cannot yet conceive of non-Euclidean geometry. Geometric ideas are still understood as objects in the Euclidean plane.

Level 4. Rigor: At this level, geometry is understood at the level of a mathematician. Students understand that definitions are arbitrary and need not actually refer to any concrete realization. The object of thought is deductive geometric systems, for which the learner compares axiomatic systems. Learners can study non-Euclidean geometries with understanding. People can understand the discipline of geometry and how it differs philosophically from non-mathematical studies.

American researchers renumbered the levels as 1 to 5 so that they could add a "Level 0" which described young children who could not identify shapes at all. Both numbering systems are still in use. Some researchers also give different names to the levels.

Properties of the levels[edit]
The van Hiele levels have five properties:

1. Fixed sequence: the levels are hierarchical. Students cannot "skip" a level.[5] The van Hieles claim that much of the difficulty experienced by geometry students is due to being taught at the Deduction level when they have not yet achieved the Abstraction level.

2. Adjacency: properties which are intrinsic at one level become extrinsic at the next. (The properties are there at the Visualization level, but the student is not yet consciously aware of them until the Analysis level. Properties are in fact related at the Analysis level, but students are not yet explicitly aware of the relationships.)

3. Distinction: each level has its own linguistic symbols and network of relationships. The meaning of a linguistic symbol is more than its explicit definition; it includes the experiences the speaker associates with the given symbol. What may be "correct" at one level is not necessarily correct at another level. At Level 0 a square is something that looks like a box. At Level 2 a square is a special type of rectangle. Neither of these is a correct description of the meaning of "square" for someone reasoning at Level 1. If the student is simply handed the definition and its associated properties, without being allowed to develop meaningful experiences with the concept, the student will not be able to apply this knowledge beyond the situations used in the lesson.

4. Separation: a teacher who is reasoning at one level speaks a different "language" from a student at a lower level, preventing understanding. When a teacher speaks of a "square" she or he means a special type of rectangle. A student at Level 0 or 1 will not have the same understanding of this term. The student does not understand the teacher, and the teacher does not understand how the student is reasoning, frequently concluding that the student's answers are simply "wrong". The van Hieles believed this property was one of the main reasons for failure in geometry. Teachers believe they are expressing themselves clearly and logically, but their Level 3 or 4 reasoning is not understandable to students at lower levels, nor do the teachers understand their students’ thought processes. Ideally, the teacher and students need shared experiences behind their language.

5. Attainment: The van Hieles recommended five phases for guiding students from one level to another on a given topic:[7]

Information or inquiry: students get acquainted with the material and begin to discover its structure. Teachers present a new idea and allow the students to work with the new concept. By having students experience the structure of the new concept in a similar way, they can have meaningful conversations about it. (A teacher might say, "This is a rhombus. Construct some more rhombi on your paper.")
Guided or directed orientation: students do tasks that enable them to explore implicit relationships. Teachers propose activities of a fairly guided nature that allow students to become familiar with the properties of the new concept which the teacher desires them to learn. (A teacher might ask, "What happens when you cut out and fold the rhombus along a diagonal? the other diagonal?" and so on, followed by discussion.)
Explicitation: students express what they have discovered and vocabulary is introduced. The students’ experiences are linked to shared linguistic symbols. The van Hieles believe it is more profitable to learn vocabulary after students have had an opportunity to become familiar with the concept. The discoveries are made as explicit as possible. (A teacher might say, "Here are the properties we have noticed and some associated vocabulary for the things you discovered. Let's discuss what these mean.")
Free orientation: students do more complex tasks enabling them to master the network of relationships in the material. They know the properties being studied, but need to develop fluency in navigating the network of relationships in various situations. This type of activity is much more open-ended than the guided orientation. These tasks will not have set procedures for solving them. Problems may be more complex and require more free exploration to find solutions. (A teacher might say, "How could you construct a rhombus given only two of its sides?" and other

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ระดับ 0 แสดงภาพประกอบเพลง: ระดับนี้ โฟกัสความคิดของเด็กได้ในแต่ละรูป ซึ่งเด็กจะเรียนรู้การจัดประเภท โดยการตัดสินของพวกเขาลักษณะแบบองค์รวม เด็กพูด "ที่เป็นวงกลม มักจะไม่ มีคำอธิบายเพิ่มเติม เด็กระบุต้นแบบของตัวเลข geometrical พื้นฐาน (สามเหลี่ยม วงกลม สี่เหลี่ยม) แล้วใช้ต้นแบบภาพเหล่านี้เพื่อระบุรูปร่างอื่น ๆ รูปร่างเป็นวงกลม เพราะเหมือนดวงอาทิตย์ รูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมเนื่องจากมันดูเหมือนประตูหรือกล่อง และอื่น ๆ สี่เหลี่ยมน่าจะ เรียงลำดับแตกต่างกันของรูปสี่เหลี่ยมมากกว่า และบัสไม่เหมือนรูปอื่นสี่ ดังนั้นรูปร่างเหล่านี้จะจัดแยกกันอย่างสมบูรณ์ในจิตใจของเด็ก เด็กดูตัวเลขในแบบองค์รวม โดยการวิเคราะห์คุณสมบัติของ ถ้ารูปไม่พอเหมือนของต้นแบบ เด็กอาจปฏิเสธการจัดประเภท ดังนั้น เด็กในขั้นนี้อาจ balk ที่เรียกสามเหลี่ยมบาง รูปลิ่ม (กับด้าน 1, 20, 20 หรือด้าน 20, 20, 39) "สามเหลี่ยม" เนื่องจากมีความต่างในรูปร่างจากการมีรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นต้นแบบปกติสำหรับ "สามเหลี่ยม" ได้ ถ้าแนวฐานของสามเหลี่ยมอยู่ด้านบนและด้านล่างของจุดยอดที่ฝ่ายตรงข้าม เด็กอาจรับรู้เป็นรูปสามเหลี่ยม ได้อ้างเป็น "คว่ำ" รูปร่างกับด้านปัดเศษ หรือไม่สมบูรณ์อาจจะยอมรับเป็น "สามเหลี่ยม" ถ้าพวกหมีรูปแบบองค์รวมให้เป็นรูปสามเหลี่ยม [6] สี่เหลี่ยมเรียกว่า "เพชร" และไม่รู้จักเป็นสี่เหลี่ยมถ้าด้านของพวกเขาอยู่ 45 องศากับแนว เด็กในระดับนี้มักจะเชื่อว่า สิ่งที่เป็นจริงตามตัวอย่างเดียวLevel 1. Analysis: At this level, the shapes become bearers of their properties. The objects of thought are classes of shapes, which the child has learned to analyze as having properties. A person at this level might say, "A square has 4 equal sides and 4 equal angles. Its diagonals are congruent and perpendicular, and they bisect each other." The properties are more important than the appearance of the shape. If a figure is sketched on the blackboard and the teacher claims it is intended to have congruent sides and angles, the students accept that it is a square, even if it is poorly drawn. Properties are not yet ordered at this level. Children can discuss the properties of the basic figures and recognize them by these properties, but generally do not allow categories to overlap because they understand each property in isolation from the others. For example, they will still insist that "a square is not a rectangle." (They may introduce extraneous properties to support such beliefs, such as defining a rectangle as a shape with one pair of sides longer than the other pair of sides.) Children begin to notice many properties of shapes, but do not see the relationships between the properties; therefore they cannot reduce the list of properties to a concise definition with necessary and sufficient conditions. They usually reason inductively from several examples, but cannot yet reason deductively because they do not understand how the properties of shapes are related.
Level 2. Abstraction: At this level, properties are ordered. The objects of thought are geometric properties, which the student has learned to connect deductively. The student understands that properties are related and one set of properties may imply another property. Students can reason with simple arguments about geometric figures. A student at this level might say, "Isosceles triangles are symmetric, so their base angles must be equal." Learners recognize the relationships between types of shapes. They recognize that all squares are rectangles, but not all rectangles are squares, and they understand why squares are a type of rectangle based on an understanding of the properties of each. They can tell whether it is possible or not to have a rectangle that is, for example, also a rhombus. They understand necessary and sufficient conditions and can write concise definitions. However, they do not yet understand the intrinsic meaning of deduction. They cannot follow a complex argument, understand the place of definitions, or grasp the need for axioms, so they cannot yet understand the role of formal geometric proofs.

Level 3. Deduction: Students at this level understand the meaning of deduction. The object of thought is deductive reasoning (simple proofs), which the student learns to combine to form a system of formal proofs (Euclidean geometry). Learners can construct geometric proofs at a secondary school level and understand their meaning. They understand the role of undefined terms, definitions, axioms and theorems in Euclidean geometry. However, students at this level believe that axioms and definitions are fixed, rather than arbitrary, so they cannot yet conceive of non-Euclidean geometry. Geometric ideas are still understood as objects in the Euclidean plane.

Level 4. Rigor: At this level, geometry is understood at the level of a mathematician. Students understand that definitions are arbitrary and need not actually refer to any concrete realization. The object of thought is deductive geometric systems, for which the learner compares axiomatic systems. Learners can study non-Euclidean geometries with understanding. People can understand the discipline of geometry and how it differs philosophically from non-mathematical studies.

American researchers renumbered the levels as 1 to 5 so that they could add a "Level 0" which described young children who could not identify shapes at all. Both numbering systems are still in use. Some researchers also give different names to the levels.

Properties of the levels[edit]
The van Hiele levels have five properties:

1. Fixed sequence: the levels are hierarchical. Students cannot "skip" a level.[5] The van Hieles claim that much of the difficulty experienced by geometry students is due to being taught at the Deduction level when they have not yet achieved the Abstraction level.

2. Adjacency: properties which are intrinsic at one level become extrinsic at the next. (The properties are there at the Visualization level, but the student is not yet consciously aware of them until the Analysis level. Properties are in fact related at the Analysis level, but students are not yet explicitly aware of the relationships.)

3. Distinction: each level has its own linguistic symbols and network of relationships. The meaning of a linguistic symbol is more than its explicit definition; it includes the experiences the speaker associates with the given symbol. What may be "correct" at one level is not necessarily correct at another level. At Level 0 a square is something that looks like a box. At Level 2 a square is a special type of rectangle. Neither of these is a correct description of the meaning of "square" for someone reasoning at Level 1. If the student is simply handed the definition and its associated properties, without being allowed to develop meaningful experiences with the concept, the student will not be able to apply this knowledge beyond the situations used in the lesson.

4. Separation: a teacher who is reasoning at one level speaks a different "language" from a student at a lower level, preventing understanding. When a teacher speaks of a "square" she or he means a special type of rectangle. A student at Level 0 or 1 will not have the same understanding of this term. The student does not understand the teacher, and the teacher does not understand how the student is reasoning, frequently concluding that the student's answers are simply "wrong". The van Hieles believed this property was one of the main reasons for failure in geometry. Teachers believe they are expressing themselves clearly and logically, but their Level 3 or 4 reasoning is not understandable to students at lower levels, nor do the teachers understand their students’ thought processes. Ideally, the teacher and students need shared experiences behind their language.

5. Attainment: The van Hieles recommended five phases for guiding students from one level to another on a given topic:[7]

Information or inquiry: students get acquainted with the material and begin to discover its structure. Teachers present a new idea and allow the students to work with the new concept. By having students experience the structure of the new concept in a similar way, they can have meaningful conversations about it. (A teacher might say, "This is a rhombus. Construct some more rhombi on your paper.")
Guided or directed orientation: students do tasks that enable them to explore implicit relationships. Teachers propose activities of a fairly guided nature that allow students to become familiar with the properties of the new concept which the teacher desires them to learn. (A teacher might ask, "What happens when you cut out and fold the rhombus along a diagonal? the other diagonal?" and so on, followed by discussion.)
Explicitation: students express what they have discovered and vocabulary is introduced. The students’ experiences are linked to shared linguistic symbols. The van Hieles believe it is more profitable to learn vocabulary after students have had an opportunity to become familiar with the concept. The discoveries are made as explicit as possible. (A teacher might say, "Here are the properties we have noticed and some associated vocabulary for the things you discovered. Let's discuss what these mean.")
Free orientation: students do more complex tasks enabling them to master the network of relationships in the material. They know the properties being studied, but need to develop fluency in navigating the network of relationships in various situations. This type of activity is much more open-ended than the guided orientation. These tasks will not have set procedures for solving them. Problems may be more complex and require more free exploration to find solutions. (A teacher might say, "How could you construct a rhombus given only two of its sides?" and other

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ระดับ 0 แสดง: ในระดับนี้มุ่งเน้นการคิดของเด็กที่อยู่ในรูปร่างของแต่ละบุคคลซึ่งเด็กจะเรียนรู้ที่จะจัดโดยการตัดสินลักษณะองค์รวมของพวกเขา เด็กก็พูดว่า "นั่นคือเป็นวงกลม" มักจะไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติม ระบุเด็กต้นแบบของตัวเลขทางเรขาคณิตพื้นฐาน (สามเหลี่ยมวงกลมสี่เหลี่ยม) ภาพต้นแบบเหล่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อระบุรูปทรงอื่น ๆ รูปร่างเป็นวงกลมเพราะดูเหมือนว่าดวงอาทิตย์; รูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะดูเหมือนว่าประตูหรือกล่อง; เป็นต้น ตารางดูเหมือนว่าจะมีการจัดเรียงที่แตกต่างกันของรูปร่างกว่าสี่เหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดูไม่เหมือนสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่น ๆ เพื่อให้รูปทรงเหล่านี้จะถูกจัดแยกสมบูรณ์ในใจของเด็ก เด็กดูตัวเลขแบบองค์รวมโดยไม่ต้องวิเคราะห์คุณสมบัติของพวกเขา ถ้ารูปไม่ได้พอมีลักษณะคล้ายกับต้นแบบของเด็กอาจปฏิเสธการจัดหมวดหมู่ ดังนั้นเด็กในขั้นตอนนี้อาจจะหยุดชะงักที่เรียกบางรูปสามเหลี่ยมรูปลิ่ม (กับด้านข้าง 1, 20, 20 หรือด้านข้าง 20, 20, 39) เป็น "สามเหลี่ยม" เพราะมันจึงแตกต่างกันในรูปทรงจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ เป็นปกติสำหรับต้นแบบ "สามเหลี่ยม" ถ้าฐานของรูปสามเหลี่ยมแนวนอนอยู่ด้านบนและด้านล่างของฝ่ายตรงข้ามจุดสุดยอดเด็กอาจรับรู้เป็นรูปสามเหลี่ยม แต่อ้างว่ามันคือ "คว่ำ" รูปทรงโค้งมนกับด้านข้างหรือไม่สมบูรณ์อาจจะได้รับการยอมรับว่าเป็น "สามเหลี่ยม" ถ้าพวกเขาแบกความคล้ายคลึงแบบองค์รวมเพื่อสามเหลี่ยมด้านเท่า. [6] สี่เหลี่ยมที่เรียกว่า "เพชร" และไม่ได้รับการยอมรับเป็นสี่เหลี่ยมถ้าด้านของพวกเขาจะมุ่งเน้นที่ 45 °ถึงแนวนอน เด็กในระดับนี้มักจะเชื่อสิ่งที่เป็นความจริงขึ้นอยู่กับตัวอย่างที่เดียว. ระดับ 1. การวิเคราะห์ในระดับนี้รูปร่างกลายเป็นผู้ถือของคุณสมบัติของพวกเขา วัตถุของความคิดที่มีการเรียนของรูปทรงที่เด็กได้เรียนรู้ในการวิเคราะห์ว่ามีคุณสมบัติ คนในระดับนี้อาจพูดว่า "ตารางมี 4 ด้านและ 4 เท่ากับมุมเท่ากัน. เส้นทแยงมุมของมันจะสอดคล้องกันและตั้งฉากและพวกเขาแบ่งครึ่งแต่ละอื่น ๆ ." คุณสมบัติที่มีความสำคัญมากขึ้นกว่าลักษณะของรูปร่าง ถ้าเป็นรูปเป็นร่างบนกระดานดำและครูอ้างว่ามันมีจุดมุ่งหมายที่จะมีฝ่ายสอดคล้องกันและมุมนักเรียนยอมรับว่ามันเป็นตารางแม้ว่ามันจะถูกดึงออกมาไม่ดี คุณสมบัติจะไม่ได้รับคำสั่ง แต่ในระดับนี้ เด็กสามารถหารือเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขพื้นฐานและรู้จักพวกเขาโดยคุณสมบัติเหล่านี้ แต่โดยทั่วไปไม่อนุญาตให้หมวดหมู่เพื่อที่ทับซ้อนกันเพราะพวกเขาเข้าใจในแต่ละสถานที่ให้บริการในการแยกจากคนอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นพวกเขาจะยังคงยืนยันว่า "ไม่ได้เป็นตารางสี่เหลี่ยม." (พวกเขาอาจแนะนำคุณสมบัติภายนอกเพื่อสนับสนุนความเชื่อดังกล่าวเช่นการกำหนดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปร่างที่มีหนึ่งคู่ของด้านข้างยาวกว่าคู่อื่น ๆ ของฝ่าย.) เด็กเริ่มสังเกตเห็นคุณสมบัติหลายอย่างของรูปทรง แต่ไม่เห็นความสัมพันธ์ระหว่าง คุณสมบัติ; ดังนั้นพวกเขาจึงไม่สามารถลดรายการของคุณสมบัติที่จะกระชับความหมายที่มีเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ พวกเขามักจะเหตุผล inductively จากตัวอย่างหลาย แต่ยังไม่สามารถอนุมานเหตุผลเพราะพวกเขาไม่เข้าใจว่าคุณสมบัติของรูปทรงที่เกี่ยวข้อง. ระดับนามธรรม 2: ในระดับนี้คุณสมบัติจะได้รับคำสั่ง วัตถุของความคิดที่มีคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่นักเรียนได้เรียนรู้ที่จะเชื่อมต่ออนุมาน นักเรียนเข้าใจว่าคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องและเป็นหนึ่งในชุดของคุณสมบัติอาจบ่งบอกถึงทรัพย์สินของผู้อื่น นักเรียนสามารถมีข้อโต้แย้งเหตุผลง่ายๆเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิต นักเรียนในระดับนี้อาจพูดว่า "สามเหลี่ยมหน้าจั่วสมมาตรดังนั้นมุมที่ฐานของพวกเขาจะต้องเท่ากัน." ผู้เรียนตระหนักถึงความสัมพันธ์ระหว่างชนิดของรูปทรง พวกเขารับรู้ว่าทั้งหมดเป็นสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยม แต่ไม่ทั้งหมดจะสแควร์และพวกเขาเข้าใจว่าทำไมสี่เหลี่ยมเป็นประเภทของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนพื้นฐานของความเข้าใจในคุณสมบัติของแต่ละคนอย่างเป็น พวกเขาสามารถบอกได้ว่ามันเป็นไปได้หรือไม่ที่จะมีรูปสี่เหลี่ยมที่เป็นเช่นยังรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พวกเขาเข้าใจเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอและสามารถเขียนคำนิยามสั้น แต่พวกเขายังไม่เข้าใจความหมายที่แท้จริงของการหัก พวกเขาไม่สามารถทำตามข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนเข้าใจสถานที่ของคำจำกัดความหรือความจำเป็นในการเข้าใจหลักการเพื่อให้พวกเขายังไม่สามารถเข้าใจบทบาทของการพิสูจน์ทางเรขาคณิตอย่างเป็นทางการ. ระดับ 3. หัก: นักศึกษาในระดับนี้เข้าใจความหมายของการหักเงิน วัตถุของความคิดที่เป็นเหตุผลแบบนิรนัย (พิสูจน์ง่าย) ซึ่งนักเรียนเรียนรู้ที่จะรวมถึงรูปแบบของระบบการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ (เรขาคณิตแบบยุคลิด) ก ผู้เรียนสามารถสร้างหลักฐานทางเรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษาตอนต้นและเข้าใจความหมายของพวกเขา พวกเขาเข้าใจบทบาทของข้อตกลงไม่ได้กำหนดนิยามหลักการและทฤษฎีในเรขาคณิตแบบยุคลิด อย่างไรก็ตามนักเรียนในระดับนี้เชื่อว่าหลักการและคำจำกัดความที่ได้รับการแก้ไขมากกว่าโดยพลการเพื่อให้พวกเขายังไม่สามารถตั้งครรภ์ที่ไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด ความคิดทางเรขาคณิตที่มีความเข้าใจยังคงเป็นวัตถุในระนาบแบบยุคลิด. ระดับความรุนแรง 4: ในระดับนี้รูปทรงเรขาคณิตเป็นที่เข้าใจกันในระดับของนักคณิตศาสตร์ที่ นักเรียนเข้าใจว่าหมายโดยพลการและไม่จำเป็นต้องจริงหมายถึงการก่อให้เกิดเป็นรูปธรรมใด ๆ วัตถุของความคิดที่เป็นระบบเรขาคณิตนิรนัยซึ่งผู้เรียนเปรียบเทียบระบบจริง ผู้เรียนสามารถศึกษารูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ไม่ได้มีความเข้าใจ ผู้คนสามารถเข้าใจระเบียบวินัยของรูปทรงเรขาคณิตและวิธีการที่มันแตกต่างจากปรัชญาการศึกษาที่ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์. นักวิจัยชาวอเมริกันลำดับระดับที่ 1-5 เพื่อให้พวกเขาสามารถเพิ่มระดับ "0" ซึ่งอธิบายเด็กเล็กที่ไม่สามารถระบุตัวตนของรูปทรงที่ทุกคน ทั้งระบบจำนวนยังคงอยู่ในการใช้งาน . นักวิจัยบางคนยังให้ชื่อแตกต่างกันไปในระดับคุณสมบัติของระดับ[แก้ไข] ระดับแวนฮีลี่มีห้าคุณสมบัติ: 1 ลำดับคงที่: ระดับที่มีลำดับชั้น นักเรียนไม่สามารถ "ข้าม" ระดับ. [5] Hieles รถตู้อ้างว่ามากของความยากลำบากที่มีประสบการณ์โดยนักศึกษาเรขาคณิตเป็นเพราะได้รับการสอนในระดับที่ลดลงเมื่อพวกเขายังไม่ได้ประสบความสำเร็จในระดับนามธรรม. 2 ถ้อยคำ: คุณสมบัติที่แท้จริงในระดับหนึ่งกลายเป็นภายนอกที่ต่อไป (คุณสมบัติที่มีอยู่ในระดับการแสดง แต่นักเรียนยังไม่ได้สติตระหนักถึงพวกเขาจนกว่าระดับการวิเคราะห์. คุณสมบัติในความเป็นจริงที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ในระดับ แต่นักเรียนยังไม่ชัดเจนตระหนักถึงความสัมพันธ์.) 3 ความแตกต่าง: แต่ละระดับมีสัญลักษณ์ภาษาของตัวเองและเครือข่ายความสัมพันธ์ ความหมายของสัญลักษณ์ทางภาษาเป็นมากกว่าคำนิยามที่ชัดเจนของตน จะมีประสบการณ์ร่วมลำโพงที่มีสัญลักษณ์ที่กำหนด สิ่งที่อาจจะ "แก้ไข" ที่ระดับหนึ่งไม่จำเป็นต้องถูกต้องในอีกระดับหนึ่ง ที่ระดับ 0 ตารางเป็นสิ่งที่มีลักษณะเหมือนกล่อง ที่ชั้น 2 ตารางเป็นชนิดพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ไม่มีของเหล่านี้เป็นคำอธิบายที่ถูกต้องของความหมายของ "ตาราง" สำหรับคนเหตุผลที่ชั้น 1 ถ้านักเรียนเป็นเพียงการส่งคำนิยามและคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องโดยไม่ได้รับอนุญาตในการพัฒนาประสบการณ์ที่มีความหมายกับแนวคิดที่นักเรียนจะไม่ สามารถที่จะนำความรู้ที่นอกเหนือจากสถานการณ์ที่ใช้ในบทเรียนนี้. 4 แยก: ครูที่เป็นเหตุผลที่หนึ่งในระดับที่แตกต่างกันพูด "ภาษา" จากนักเรียนในระดับที่ต่ำกว่าการป้องกันการเข้าใจ เมื่อครูพูดของ "สแควร์" เธอหรือเขาหมายถึงชนิดพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นักเรียนระดับ 0 หรือ 1 จะไม่ได้มีความเข้าใจที่เหมือนกันของคำนี้ นักเรียนไม่เข้าใจครูและครูไม่เข้าใจวิธีการที่นักเรียนเป็นเหตุผลที่พบบ่อยสรุปว่าคำตอบของนักเรียนเป็นเพียง "ผิด" รถตู้ Hieles เชื่อว่าคุณสมบัตินี้เป็นหนึ่งในเหตุผลหลักสำหรับความล้มเหลวในเรขาคณิต ครูเชื่อว่าพวกเขาจะแสดงตัวเองอย่างชัดเจนและมีเหตุผล แต่ระดับของพวกเขา 3 หรือ 4 เหตุผลที่ไม่เข้าใจให้กับนักเรียนในระดับล่างหรือไม่เข้าใจครูนักเรียนของพวกเขา 'กระบวนการคิด จะเป็นการดีที่ครูและนักเรียนต้องใช้ร่วมกันที่อยู่เบื้องหลังประสบการณ์ภาษาของพวกเขา. 5 สำเร็จ: รถตู้ Hieles แนะนำห้าขั้นตอนสำหรับแนวทางนักเรียนจากระดับหนึ่งไปยังอีกหัวข้อที่กำหนด: [7] ข้อมูลหรือสอบถามรายละเอียดเพิ่มเติม: นักเรียนได้ทำความคุ้นเคยกับวัสดุและการเริ่มต้นที่จะค้นพบโครงสร้างของมัน ครูนำเสนอความคิดใหม่และเปิดโอกาสให้นักเรียนที่จะทำงานกับแนวคิดใหม่ โดยมีนักเรียนได้สัมผัสกับโครงสร้างของแนวความคิดใหม่ในลักษณะที่คล้ายกันพวกเขาสามารถมีการสนทนาที่มีความหมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ (ครูอาจจะบอกว่า "นี่คือการสร้างรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบาง rhombi เพิ่มเติมเกี่ยวกับกระดาษของคุณ..") แนะนําหรือวางแนวทางกำกับ: นักเรียนงานที่ช่วยให้พวกเขาในการสำรวจความสัมพันธ์โดยปริยาย ครูนำเสนอกิจกรรมที่มีลักษณะชี้นำธรรมที่ช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับคุณสมบัติของแนวคิดใหม่ที่ครูปรารถนาให้พวกเขาได้เรียนรู้ (ครูอาจจะถามว่า "สิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อคุณตัดออกและพับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตามเส้นทแยงมุมอื่น ๆ ในแนวทแยง?" และอื่น ๆ ตามมาด้วยการอภิปราย.) Explicitation: นักเรียนแสดงสิ่งที่พวกเขาได้ค้นพบและเป็นที่รู้จักคำศัพท์ ประสบการณ์ของนักเรียนจะเชื่อมโยงกับสัญลักษณ์ภาษาที่ใช้ร่วมกัน รถตู้ Hieles เชื่อว่ามันเป็นผลกำไรมากขึ้นในการเรียนรู้คำศัพท์หลังจากที่นักเรียนได้มีโอกาสที่จะกลายเป็นคุ้นเคยกับแนวคิดที่ การค้นพบที่ทำอย่างชัดเจนเป็นที่เป็นไปได้ (ครูอาจพูดว่า "นี่คือคุณสมบัติที่เราได้สังเกตเห็นและบางคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องสำหรับสิ่งที่คุณค้นพบขอหารือเกี่ยวกับสิ่งเหล่านี้หมายถึง..") วางแนวทางฟรี: นักเรียนงานที่ซับซ้อนมากขึ้นช่วยให้พวกเขาที่จะโทเครือข่ายความสัมพันธ์ในที่ วัสดุ. พวกเขารู้ว่าคุณสมบัติการศึกษา แต่ต้องพัฒนาความคล่องแคล่วในการเดินเรือเครือข่ายความสัมพันธ์ในสถานการณ์ต่างๆ ประเภทของกิจกรรมนี้เป็นมากขึ้นเปิดกว้างกว่าการวางแนวทางแนะนำ งานเหล่านี้จะไม่ได้มีขั้นตอนที่กำหนดไว้สำหรับการแก้พวกเขา ปัญหาอาจจะซับซ้อนมากขึ้นและจำเป็นต้องมีการตรวจสอบข้อเท็จจริงฟรีมากขึ้นในการหาแนวทางแก้ไขปัญหา (ครูอาจจะบอกว่า "วิธีที่คุณสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรับเพียงสองด้านของตนหรือไม่" และอื่น ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ระดับ 0 ภาพ : ในระดับนี้ เน้นการคิดของเด็ก คือ รูปร่างแต่ละคน ซึ่งเด็กจะเรียนรู้ที่จะจำแนกโดยดูลักษณะองค์รวมของพวกเขา เด็กก็บอกว่า " เป็นวงกลม " ปกติ โดยไม่มีรายละเอียดเพิ่มเติม เด็กศึกษาต้นแบบของตัวเลขเรขาคณิตพื้นฐาน ( สามเหลี่ยม , วงกลม , สี่เหลี่ยม )ต้นแบบภาพเหล่านี้จะใช้เพื่อระบุรูปร่างอื่น มีรูปร่างเป็นวงกลม เพราะมันดูเหมือนแดด รูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า เพราะมันดูเหมือนประตูหรือกล่อง ; และ ตารางที่ดูเหมือนว่าจะเรียงที่แตกต่างของรูปร่างมากกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนไม่เหมือนสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้นรูปทรงเหล่านี้แบ่งออกสมบูรณ์แยกต่างหากในจิตใจของเด็กมุมมองของเด็กแบบองค์รวมโดยการวิเคราะห์คุณสมบัติของพวกเขา ถ้ารูปไม่ขึ้นเหมือนของต้นแบบ เด็กอาจปฏิเสธการจำแนก ดังนั้น เด็ก ในขั้นตอนนี้อาจจะหยุดชะงักที่เรียกบางแยกสามเหลี่ยม ( ด้าน 1 , 20 , 20 หรือด้านข้าง 20 , 20 , 39 ) " สามเหลี่ยม " เพราะมันช่างแตกต่างจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูป ,ซึ่งเป็นปกติสำหรับต้นแบบ " สามเหลี่ยม " ถ้าฐานของสามเหลี่ยมเป็นแนวนอนด้านบนและด้านล่างของจุดยอด เด็กอาจจะรู้จักมันเป็นสามเหลี่ยม แต่อ้างว่ามันคือ " กลับหัว " รูปทรงโค้งมน หรือมีไม่สมบูรณ์ด้านอาจจะยอมรับได้ว่าเป็น " สามเหลี่ยม " ถ้าพวกเขาแบกความคล้ายคลึงกับแบบองค์รวมเพื่อรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า .[ 6 ] สี่เหลี่ยมเรียกว่า " เพชร " และไม่ได้รับการยอมรับเป็นสี่เหลี่ยม ถ้าด้านของพวกเขาจะมุ่งเน้นที่ 45 องศากับแนวราบ เด็กในระดับนี้ มักจะเชื่อในสิ่งที่เป็นจริงขึ้นอยู่กับตัวอย่างเดียว

ระดับ 1 วิเคราะห์ : ในระดับนี้ รูปร่างเป็นผู้ถือคุณสมบัติของพวกเขา วัตถุที่คิดว่าเป็นชั้นของรูปทรง ซึ่งเด็กจะได้เรียนรู้ที่จะวิเคราะห์ว่ามีสรรพคุณบุคคลในระดับนี้อาจจะพูดว่า " ตารางมี 4 ด้าน และ 4 เท่า มุมที่เท่ากัน ของเส้นทแยงมุมและสอดคล้องกับแต่ละอื่น ๆและพวกเขาจะผ่า " คุณสมบัติสำคัญกว่าลักษณะของรูปร่าง ถ้าเป็นรูปที่วาดบนกระดานดำกับครูอ้างว่ามันมีวัตถุประสงค์ที่จะมีความด้านและมุม นักเรียนยอมรับว่ามันเป็นสี่เหลี่ยมถ้ามันคืองานวาด คุณสมบัติที่ยังไม่ได้สั่ง ในระดับนี้ เด็กสามารถหารือเกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขพื้นฐานและจำได้ โดยคุณสมบัติเหล่านี้ แต่โดยทั่วไป ไม่ อนุญาต ให้ ประเภทให้ทับซ้อนกัน เพราะพวกเขาเข้าใจแต่ละคุณสมบัติในการแยกจากคนอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นที่พวกเขาจะยังคงยืนยันว่า " ไม่ได้เป็นตารางสี่เหลี่ยม" พวกเขาอาจจะแนะนำคุณสมบัติที่ไม่เกี่ยวข้องเพื่อสนับสนุนความเชื่อดังกล่าว เช่น การกำหนดเป็นรูปร่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านที่ยาวกว่าคู่อื่น ๆข้าง คู่หนึ่ง ) เด็กเริ่มสังเกตเห็นหลายคุณสมบัติของรูปร่าง แต่ไม่เห็นความสัมพันธ์ระหว่างคุณสมบัติ จึงไม่สามารถลดรายการคุณสมบัติของคำนิยามกระชับกับจำเป็นและเงื่อนไขที่พอเพียงพวกเขามักจะเหตุผลอุปนัยจากตัวอย่างหลาย แต่ยังไม่สามารถเหตุผลแบบอนุมาน เพราะพวกเขาไม่เข้าใจว่าคุณสมบัติของรูปร่างที่เกี่ยวข้อง .

ระดับ 2 นามธรรม : ในระดับนี้ คุณสมบัติถูกสั่ง วัตถุที่คิดว่าเป็นสมบัติทางเรขาคณิต ซึ่งนักเรียนได้เรียนรู้ที่จะเชื่อมต่อกับสมมติฐาน .