108 D. Weisz-Patrault et al. / Jour

108 D. Weisz-Patrault et al. / Journal of Materials Processing Technology 223 (2015) 105–123
coefficients are evaluated as follows:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0 = 1
4
 2
0
m
rr ()d
k
≥
1 k = 1
2
 2
0
m
rr ()
+
im
r()
exp

ik
 d
k
≥
0 k =
− 1
2
 2
0
(2
+
k)m
rr ()
+
ikm
r()
exp

i(k
+
2)
 d
(5)These latter integrals can be computed very efficiently using fastFourier transform (fft) as detailed by Weisz-Patrault et al. (2011),which is the main reason of the very short computation timesobtained with the presented method (time displayed by ScilabEnterprises (2012): 0.05 s for a quadcore CPU running at 2.8 GHz).However, optical fiber Bragg gratings do not directly measurestresses, but strains and with three strain measurements in dif-ferent directions, one can obtain stresses. However, as detailedin Section 4, the radial Fiber Bragg Grating measurements are notconsistent with the two other strain measurements (circumfer-ential and at 45◦), and cannot be used with confidence (this isprobably due to some gluing issues). Therefore to overcome thisdifficulty, the inverse method must be modified in order not touse the radial strain measurement. From (3) the stress tensor isobtained component wisely:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
rr (r, )
= 1
2
+∞
k=0

r
Rm
k 
(2
−
k)k exp

ik

+
(2
−
k) ¯k exp

−ik

−
k exp

i(k
+
2)

− ¯k exp

−i(k
+
2)

r(r, )
=
− 1
2i
+∞
k=0

r
Rm
k 
−kk exp

ik

+
k ¯k exp

−ik

−
k exp

i(k
+
2)

+ ¯k exp

−i(k
+
2)

(r, )
= 1
2
+∞
k=0

r
Rm
k 
(2
+
k)k exp

ik

+
(2
+
k) ¯k exp

−ik

+
k exp

i(k
+
2)

+ ¯k exp

−i(k
+
2)

(6)Fig. 3. Optical fiber Bragg grating sensors orientation.The isotropic behavior is given by:
2ε
=

− 
3
+
2
tr () 1 (7)where bold symbols are vectors, bold underlined symbols are 2ndorder tensors,  is the stress tensor, ε is the strain tensor, 1 is theidentity tensor, (, ) are Lamé coefficients. Thus, the strain ten-sor is obtained component wisely as a function of the unknowncoefficients kand k: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2εrr (r, )
=
+∞
k=0

1
2

r
Rm
k 
(2
−
k)k exp

ik

+
(2
−
k) ¯k exp

−ik

−
k exp

i(k
+
2)

− ¯k exp

−i(k
+
2)

−

r
Rm
k


+


k exp

ik

+ ¯k exp

−ik

2εr (r, )
=
− 1
2i
+∞
k=0

r
Rm
k 
−kk exp

ik

+
k ¯k exp

−ik

−
k exp

i(k
+
2)

+ ¯k exp

−i(k
+
2)

2ε (r, )
=
+∞
k=0

1
2

r
Rm
k 
(2
+
k)k exp

ik

+
(2
+
k) ¯k exp

−ik

+
k exp

i(k
+
2)

+ ¯k exp

−i(k
+
2)

−

r
Rm
k


+


k exp

ik

+ ¯k exp

−ik

(8)Fiber Bragg Gratings enable to measure at the inner radius Rmthe following strains: εmrr(), εm45() and εm() as shown in Fig. 3.Thus, a simple tensorial calculation gives:
ε45 =
−εr
+ εrr +
ε
2
(9)Thus, strains according to the available directions (ε45and ε)are written as follows: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2ε(r, )
=
+∞
k=0

1
2

r
Rm
k 
(2
+
k)k exp

ik

+
(2
+
k) ¯k exp

−ik

+
k exp

i(k
+
2)

+ ¯k exp

−i(k
+
2)

−

r
Rm
k 

+


k exp

ik

+ ¯k exp

−ik

2ε45(r, )
=
+∞
k=0

1
2i

r
Rm
k 
−kk exp

ik

+
k ¯k exp

−ik

−
k exp

i(k
+
2)

+ ¯k exp

−i(k
+
2)

+

r
Rm
k 

+


k exp

ik

+ ¯k exp

−ik

(

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

108 D. ไวสซ์ Patrault et al. / 223 เทคโนโลยีประมวลผลสมุดรายวันการผลิต (2015) 105 – 123สัมประสิทธิ์มีค่าเป็นดังนี้:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩0 = 14 2 0mrr () dk≥1 k = 12 2 0m(rr)+ผม mr()expikdk≥0 k =− 12 2 0(2+k) m(rr)+ik mr()expฉัน (k+2)d(5) ปริพันธ์หลังเหล่านี้สามารถคำนวณโดยใช้แปลง fastFourier (fft) เป็นรายละเอียดโดยไวสซ์ Patrault et al. (2011), ซึ่งเป็นเหตุผลหลักของ timesobtained สั้นมากคำนวณด้วยวิธีการนำเสนอ อย่างมีประสิทธิภาพ (แสดง โดย ScilabEnterprises (2012) เวลา: 0.05 s สำหรับ CPU quadcore ที่ทำงานที่ 2.8 GHz) อย่างไรก็ตาม ใยแก้วนำแสงทำ Bragg gratings ผ่านความพยายามโดยตรงที่ measurestresses แต่สายพันธุ์ และ มีการวัดต้องใช้สามทิศทาง dif ferent หนึ่งสามารถรับความเครียดไม่ อย่างไรก็ตาม เป็น detailedin 4 ส่วน Grating Bragg ใยวัดรัศมีมี notconsistent กับสองอื่น ๆ ต้องใช้วัด (circumfer-ential และ 45◦), และไม่สามารถใช้ได้ ด้วยความมั่นใจ (นี้ isprobably เนื่องจากบางปัญหา gluing) ดังนั้น จะเอาชนะ thisdifficulty วิธีการผกผันต้องสามารถปรับเปลี่ยนลำดับไม่ touse วัดต้องใช้รัศมี (3) ความเครียด tensor isobtained คอมโพเนนต์อย่างชาญฉลาด:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩rr (r,)= 12+∞k = 0rRmk(2−k) ประสบการณ์ kik+(2−k) ประสบการณ์ k ¯−ik−ประสบการณ์ kฉัน (k+2)−¯ k exp−i (k+2)r (r,)=− 12i+∞k = 0rRmkประสบการณ์ −k kik+k ¯ k exp−ik−ประสบการณ์ kฉัน (k+2)+ ¯ k exp−i (k+2)(r, )= 12+∞k = 0rRmk(2+k) ประสบการณ์ kik+(2+k) ประสบการณ์ k ¯−ik+ประสบการณ์ kฉัน (k+2)+ ¯ k exp−i (k+2)(6) Fig. 3 Grating เซ็นเซอร์แนว Bragg ใยแก้วนำแสง พฤติกรรม isotropic ได้โดย:2 Ε=− 3+2(tr) 1 (7) ที่มีสัญลักษณ์เป็นตัวหนาเป็นเวกเตอร์ สัญลักษณ์ขีดเส้นใต้ตัวหนามี 2ndorder tensors คือ tensor เครียด εคือ tensor ต้องใช้ 1 คือ tensor theidentity, () เป็น Lamé สัมประสิทธิ์การ ดังนั้น ต้องใช้สิบสอได้รับคอมโพเนนต์อย่างชาญฉลาดเป็นฟังก์ชันของ unknowncoefficients kand k: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2 εrr (r,)=+∞k = 012rRmk(2−k) ประสบการณ์ kik+(2−k) ประสบการณ์ k ¯−ik−ประสบการณ์ kฉัน (k+2)−¯ k exp−i (k+2)−rRmk+ประสบการณ์ kik+ ¯ k exp−ik2 εr (r,)=− 12i+∞k = 0rRmkประสบการณ์ −k kik+k ¯ k exp−ik−ประสบการณ์ kฉัน (k+2)+ ¯ k exp−i (k+2)Ε 2 (r,)=+∞k = 012rRmk(2+k) ประสบการณ์ kik+(2+k) ประสบการณ์ k ¯−ik+ประสบการณ์ kฉัน (k+2)+ ¯ k exp−i (k+2)−rRmk+ประสบการณ์ kik+ ¯ k exp−ik(8) ไฟเบอร์ Bragg gratings ผ่านความพยายามที่เปิดใช้งานการวัดที่ภายในรัศมี Rmthe ต่อสายพันธุ์: (εmrr) εm45 () และ εm ()ตามที่แสดงใน Fig. 3.Thus, tensorial คำนวณอย่างง่าย ๆ ให้:Ε45 =−εr+ Εrr +Ε2(9) ดังนั้น สายพันธุ์ตามคำแนะนำ (ε45and ε) ว่างจะเขียนดังนี้: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩Ε 2 (r,)=+∞k = 012rRmk(2+k) ประสบการณ์ kik+(2+k) ประสบการณ์ k ¯−ik+ประสบการณ์ kฉัน (k+2)+ ¯ k exp−i (k+2)−rRmk+ประสบการณ์ kik+ ¯ k exp−ik2 ε45(r,)=+∞k = 012irRmkประสบการณ์ −k kik+k ¯ k exp−ik−ประสบการณ์ kฉัน (k+2)+ ¯ k exp−i (k+2)+rRmk+ประสบการณ์ kik+ ¯ k exp−ik(

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

108 D. Weisz-Patrault et al, / วารสารวัสดุเทคโนโลยีการประมวลผล 223 (2015) 105-123
สัมประสิทธิ์มีการประเมินดังนี้
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0 = 1
4
 2?
0
? เมตร
RR (?) d?
k
≥
1 k = 1
2?
 2?
0
? เมตร
RR (?)
+
ฉัน? เมตร
R? (?)
ประสบการณ์
?
IK?
? ? d
k
≥
0 k =
- 1
2
 2
0
(2
+
? k) ม
(?) RR
+
? IK ม
? (?) อา
exp
?
ฉัน (k
+
2)?
? d?
(5) หลังปริพันธ์เหล่านี้สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากในการใช้ fastFourier (FFT) โดยมีรายละเอียดโดย Weisz-Patrault et al, (2011) ซึ่งเป็นสาเหตุหลักของการคำนวณที่สั้นมาก timesobtained กับวิธีการที่นำเสนอ (เวลาแสดงโดย ScilabEnterprises (2012): 0.05 สำหรับ CPU quadcore ทำงานที่ 2.8 GHz) อย่างไรก็ตามใยแก้วนำแสง gratings แบร็กไม่ได้โดยตรง measurestresses แต่สายพันธุ์และมีสามวัดความเครียดในทิศทางที่แตกต่าง-หนึ่งสามารถได้รับความเครียด แต่เป็น detailedin มาตรา 4, รัศมีไฟเบอร์ Bragg วัดตะแกรงมี notconsistent กับทั้งสองสายพันธุ์อื่น ๆ ที่วัด (circumfer-ential และ45◦) และไม่สามารถนำมาใช้ด้วยความมั่นใจ (isprobably นี้เนื่องจากบางประเด็นที่ติดกาว) ดังนั้นการที่จะเอาชนะ thisdifficulty วิธีผกผันต้องได้รับการแก้ไขเพื่อไม่ touse วัดค่าความเครียดรัศมี จาก (3) เมตริกซ์ความเครียด isobtained องค์ประกอบอย่างชาญฉลาด:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
? RR (R,?)
= 1
2
+ ∞?
k = 0
?
อาร์
Rm
k?
(2
-
k)? k ประสบการณ์
?
IK?
?
+
(2
-
k) ¯ k ประสบการณ์?
?
-ik?
?
-
? k ประสบการณ์
?
ฉัน (k
+
2)?
?
? - ¯ k ประสบการณ์
?
-i (k
+
2)?
??
อาร์ (R,?)?
=
- 1
2i
? + ∞
k = 0
?
อา
Rm
k?
-k k ประสบการณ์?
?
IK?
?
+
k ¯ k ประสบการณ์?
?
-ik?
?
-
? k ประสบการณ์
?
ฉัน (k
+
2)?
?
k + ¯ประสบการณ์?
?
-i (k
+
2)?
??
??? (R,?)
= 1
2
+ ∞?
k = 0
?
อา
Rm
? K?
(2
+
k)? k ประสบการณ์
?
IK?
?
+
(2
+
k) ¯? k ประสบการณ์
?
-ik?
?
+
? k ประสบการณ์
?
ฉัน (k
+
2)?
?
+ ¯? k ประสบการณ์
?
-i (k
+
2)?
??
(6) รูปที่ 3. ไฟเบอร์ออฟติคอลแบร็กเซ็นเซอร์ตะแกรง orientation.The พฤติกรรม isotropic จะได้รับโดย:
2 ε?
=
?
? -
3
+
2?
ที 1 (7) สัญลักษณ์ที่เป็นตัวหนาจะเวกเตอร์สัญลักษณ์ขีดเส้นใต้ตัวหนาเป็น tensors 2ndorder (?)? เป็นเมตริกซ์ความเครียดεเมตริกซ์เป็นสายพันธุ์ที่ 1 theidentity เมตริกซ์ (?,?) มีค่าสัมประสิทธิ์การตาย ดังนั้นสายพันธุ์สิบสจะได้รับองค์ประกอบอย่างชาญฉลาดเป็นหน้าที่ของ unknowncoefficients Kand k?: (อาร์) = ? + ∞ k = 0 ? 1 2 ? อาRm k? (2 - k)? k ประสบการณ์? IK? ? + (2 - ? k) ¯ k ประสบการณ์? -ik? ? - ? k exp ? ฉัน (k + 2)? ? - ¯ k ประสบการณ์? ? -i (k + 2)? ?? - ? อาRm ? k ? ? + ? ? ? k ประสบการณ์? ? IK ? ? k + ¯ประสบการณ์? -ik? ??? 2? εr? (r) = - 1 2i ? + ∞ k = 0 ? อาRm ? K? -k k ประสบการณ์? ? IK? ? + k ¯ k ประสบการณ์? ? -ik? ? - ? k ประสบการณ์? ฉัน (k + 2)? ? + ¯? k ประสบการณ์? -i (k + 2)? ?? 2? ε ?? (r) = ? + ∞ k = 0 ? 1 2 ? อาRm ? K? (2 + k)? k ประสบการณ์? IK? ? + (2 + k) ¯? k ประสบการณ์? -ik? ? + ? k exp ? ฉัน (k + 2)? ? k + ¯ประสบการณ์? ? -i (k + 2)? ?? - ? อาRm ? k ? ? + ? ? ? k ประสบการณ์? ? IK ? ? k + ¯ประสบการณ์? ? -ik ??? (8) ไฟเบอร์ Bragg Gratings ช่วยให้การวัดที่ Rmthe ภายในรัศมีสายพันธุ์ต่อไปนี้: εmrr, εm45และεm ?? ดังแสดงในรูป (?) (?) (?) 3.Thus การคำนวณ tensorial ให้ง่าย: ε45 = -εr? εrr + + ε ?? 2 (9) ดังนั้นสายพันธุ์ตามทิศทางที่มีอยู่ (ε45andε ??) จะเขียนดังนี้⎧⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 2? ?? ε (R,?) = ? + ∞ k = 0 ? 1 2 ? อาRm ? K? ( 2 + k)? k ประสบการณ์? IK? ? + (2 + k) ¯? k ประสบการณ์? -ik? ? + ? k ประสบการณ์? ฉัน (k + 2)? ? + ¯? k ประสบการณ์? -i (k + 2)? ?? - ? อาRm ? K? ? + ? ? k ประสบการณ์? ? IK? ? k + ¯ประสบการณ์? ? -ik? ??? ε45 2 (R)? = + ∞? k = 0 ? 1 2i ? r Rm k? -K k ประสบการณ์? ? IK? ? + k ¯ k ประสบการณ์? ? -ik? ? - ? k ประสบการณ์? ฉัน (k + 2)? ? k + ¯ประสบการณ์? ? -i (k + 2)? ?? + ? อาRm ? K? ? + ? ? ? k ประสบการณ์? IK? ? + ¯? k ประสบการณ์? -ik? ??? (

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

108 . ไวสซ์ patrault et al . วารสารของเทคโนโลยีการประมวลผลวัสดุ 223 ( 2015 ) 105 – 123
) ประเมิน ดังนี้ ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩


 0 = 1
4 
 2 
0
m
 RR (  ) D 
k

1 ≥  k = 1
2 
 2 
0
m
 RR (  )

ผม  M
r  (  )

-

 exp   D 
k
≥
0
 K = − 1
2 
 2 
0
( 2
k ) M
 RR (  )

ผม  M
r  (  )


ผม  EXP ( k
2 )

  D ( 5 ) ส่วนประกอบหลังนี้สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพการใช้ fastfourier แปลง ( FFT ) ตามรายละเอียดโดยไวสซ์ patrault et al . ( 2011 ) ซึ่งเป็นสาเหตุหลักของการคำนวณ timesobtained สั้นมากกับวิธีการนำเสนอ ( เวลาแสดงโดย scilabenterprises ( 2012 ) : 0.05 สำหรับ quadcore CPU ที่ใช้ที่ 2.8 GHz ) อย่างไรก็ตามเส้นใยแบร็กตะแกรง measurestresses ไม่ตรง ,แต่สายพันธุ์และสามการวัดความเครียดใน ferent dif เส้นทางหนึ่งสามารถได้รับความเครียด อย่างไรก็ตาม detailedin มาตรา 4 , ตะแกรงไฟเบอร์แบร็กรัศมีวัดพืชกับอีกสองสายพันธุ์ ( circumfer และการวัด ential 45 ◦ ) และไม่สามารถใช้กับความเชื่อมั่นนี้มีปัญหาเนื่องจากบางติดกาว ) จึงจะเอาชนะ thisdifficulty ,วิธีการผกผันต้องดัดแปลงเพื่อใช้วัดความเครียดรัศมี จาก ( 3 ) ความเครียดโดยเมตริกซ์ส่วนประกอบอย่างชาญฉลาด :


⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩  RR ( R ,  )
2 = 1

 ∞
k = 0 =



  R ) K ( − 
2

K ) K  EXP

-

 
( − 2

K ) K ¯  EXP

-
   −−



ผม  exp  K ( k
2 )

  −¯  K exp − i ( K 



2 )

    R  ( R ,  = − 1 )



 2i ∞
k = 0 =



 RM  R K K K exp − 


ผม   

¯  K K exp −อิค  




 K −  EXP

ผม  ( k
2 )

  ¯  K exp − i ( K 



2 )

      ( R ,  )
= 1
2
 ∞
k = 0 =



  R ) K 
2

K ) K  EXP

-
 

( 2

K ) K ¯  EXP

-
 −  

 K

 EXP ฉัน ( k
2 )

  ¯  K exp − i ( K 



2 )

   ( 6 ) รูปที่ 3 เส้นใยแบร็กตะแกรงวางเซ็นเซอร์ พฤติกรรมแบบให้โดย :
2  ε
=

 − 
3
2
  TR (  ) 1 ( 7 ) ที่หนาเป็นสัญลักษณ์เวกเตอร์ตัวหนาขีดเส้นใต้สัญลักษณ์ 2ndorder สั่ง  เป็นเมตริกซ์ , ความเครียด , ความเครียดεเป็นเมตริกซ์เมตริกซ์ 1 theidentity (   , ) เป็นลำจากค่าสัมประสิทธิ์ ดังนั้น เมื่อย 10 ส. ได้รับส่วนประกอบอย่างชาญฉลาดเป็นฟังก์ชันของ unknowncoefficients  kand  K : ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2  ε RR ( R ,  )
=
 ∞
k = 0 =

1
2

r

 RM 
2
K ( −

K ) K  EXP
ik


(2
−
k) ¯k exp

−ik

−
k exp

i(k

2)

− ¯k exp

−i(k

2)

−

r
Rm
k





k exp

ik

¯k exp

−ik

2εr (r, )
=
− 1
2i
 ∞
k=0

r
Rm
k 
−kk exp

ik


k ¯k exp

−ik

−
k exp

i(k

2)

¯k exp

−i(k

2)

2ε (r, )
=
 ∞
k=0

1
2

r
Rm
k 
(2

k)k exp

ik


(2

k) ¯k exp

−ik


k exp

i(k

2)



 ¯  K exp − i ( k
2 )


   − 
r
k

 RM 




    EXP

- K  

¯   K exp −อิค 


   
( 8 ) แบร็กตะแกรงไฟเบอร์ช่วยให้วัดที่ภายในรัศมี rmthe ตามสายพันธุ์ : ε MRR (  ) ε m45 (  ) และε M   (  ) ดังแสดงในรูปที่ 3 ดังนั้น การคำนวณ tensorial ง่ายช่วยให้ε 45 :
=
−ε R 
εε   RR

2
( 9 ) ดังนั้น สายพันธุ์ตามทิศทางของ ( ε 45and ε   ) เขียนไว้ดังนี้⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2ε(r, )
=
 ∞
k=0

1
2

r
Rm
k 
(2

k)k exp

ik


(2

k) ¯k exp

−ik


k exp

i(k

2)

¯k exp

−i(k

2)

−

r
Rm
k 




k exp

ik

¯k exp

−ik

2ε45(r, )
=
 ∞
k=0

1
2i

r
Rm
k 
−kk exp

ik


k ¯k exp

−ik

−
k exp

i(k

2)

¯k exp

−i(k

2)



r
k )
  




   K exp

ผม 

¯   K exp −อิค 


   
(