We shall prove by induction that Sn

We shall prove by induction that Sn is a linearly independent set of A. For
n = 1 we have S1 = {1, x}, and let us consider a zero linear combination of
the two elements of S1, that is α1 + βx = 0 with α, β ∈ F. It follows that
D(α1+βx) = 0, and hence β · 1 ·D(x) = 0. From the assumption that D(x) is
not a zero divisor, it follows that β = 0, which in turn implies that α = 0. It
follows that S1 is a set of linearly independent vectors. Now let us note that
from the assumption that xD(x) = D(x)x, we have

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราจะพิสูจน์ โดยการเหนี่ยวนำให้ Sn เป็นอิสระเชิงเส้นชุด A. สำหรับn = 1 เรามี S1 = {1, x }, และให้เราเป็นศูนย์รวมเชิงเส้นขององค์ประกอบสองของ S1 ที่ α1 + βx = 0 พร้อมด้วยกองทัพ β∈เอฟ เป็นไปตามที่D(α1+βx) = 0 และดังนั้นβ· 1 · D(x) = 0 จากสมมุติฐานที่ว่าเป็น D(x)ไม่มีศูนย์หาร เป็นไปตามที่β = 0 ซึ่งจะบ่งชี้ว่าด้วยกองทัพ = 0 มันดังนี้ว่า S1 ชุดเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น ตอนนี้ ให้เราสังเกตว่าจากสมมติฐานที่ว่า xD(x) D (x) = x เรามี

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราจะพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำที่ Sn เป็นชุดที่เป็นอิสระเป็นเส้นตรงของ A. สำหรับ
n = 1 เรามี S1 = {1, x}
และให้เราพิจารณารวมกันเชิงเส้นศูนย์ของทั้งสององค์ประกอบของS1 ที่เป็นα1 + βx = 0 กับα, β∈เอฟมันตามที่
D (α1 + βx) = 0 และด้วยเหตุนี้β· 1 · D (x) = 0 จากสมมติฐานที่ว่า D (x)
จะไม่ได้เป็นตัวหารเป็นศูนย์มันตามที่β = 0 ซึ่งจะแสดงให้เห็นว่าα = 0
มันตามที่S1 เป็นชุดของเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเป็นเส้นตรง ตอนนี้ให้เราทราบว่าจากสมมติฐานที่ว่า xD (x) = D (x) x เรามี

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราต้องพิสูจน์โดยอุปนัยว่า SN เป็นอิสระเป็นเส้นตรง ชุด A สำหรับ
n = 1 เรามี S1 = { 1 X } และขอให้เราพิจารณาศูนย์เส้นรวมกัน
สององค์ประกอบของ S1 ที่ x = 0 กับ 1 αบีตาαบีตา∈ , มันเป็นไปตามที่
D F ( 1 αบีตา x ) = 0 และด้วยเหตุนี้ด้วยบีตาด้วย 1 D ( x ) = 0 จากสมมติฐานว่า D ( x )
ไม่ใช่ศูนย์ตัวหาร มันดังต่อไปนี้ว่าบีตา = 0 ซึ่งจะหมายความว่าα = 0 มัน
คือว่า S1 เป็นชุดของเส้นตรงเวกเตอร์อิสระ ตอนนี้ให้เราทราบว่า
จากสมมติฐานว่า XD ( ( X ) = d ( x ) x , เรามี