Corollary. From this it is manifest

Corollary. From this it is manifest that the straight line drawn at right angles to the diameter of a circle from its end touches the circle.

Proposition 17.
From a given point to draw a straight line touching a given circle.
Proposition 18.
If a straight line touches a circle, and a straight line is joined from the center to the point of contact, the straight line so joined will be perpendicular to the tangent.
Proposition 19.
If a straight line touches a circle, and from the point of contact a straight line is drawn at right angles to the tangent, the center of the circle will be on the straight line so drawn.
Proposition 20.
In a circle the angle at the center is double the angle at the circumference when the angles have the same circumference as base.
Proposition 21.
In a circle the angles in the same segment equal one another.
Proposition 22.
The sum of the opposite angles of quadrilaterals in circles equals two right angles.
Proposition 23.
On the same straight line there cannot be constructed two similar and unequal segments of circles on the same side.
Proposition 24.
Similar segments of circles on equal straight lines equal one another.
Proposition 25.
Given a segment of a circle, to describe the complete circle of which it is a segment.
Proposition 26.
In equal circles equal angles stand on equal circumferences whether they stand at the centers or at the circumferences.
Proposition 27.
In equal circles angles standing on equal circumferences equal one another whether they stand at the centers or at the circumferences.
Proposition 28.
In equal circles equal straight lines cut off equal circumferences, the greater circumference equals the greater and the less equals the less.
Proposition 29.
In equal circles straight lines that cut off equal circumferences are equal.
Proposition 30.
To bisect a given circumference.
Proposition 31.
In a circle the angle in the semicircle is right, that in a greater segment less than a right angle, and that in a less segment greater than a right angle; further the angle of the greater segment is greater than a right angle, and the angle of the less segment is less than a right angle.
Proposition 32.
If a straight line touches a circle, and from the point of contact there is drawn across, in the circle, a straight line cutting the circle, then the angles which it makes with the tangent equal the angles in the alternate segments of the circle.
Proposition 33.
On a given straight line to describe a segment of a circle admitting an angle equal to a given rectilinear angle.
Proposition 34.
From a given circle to cut off a segment admitting an angle equal to a given rectilinear angle.
Proposition 35.
If in a circle two straight lines cut one another, then the rectangle contained by the segments of the one equals the rectangle contained by the segments of the other.
Proposition 36.
If a point is taken outside a circle and two straight lines fall from it on the circle, and if one of them cuts the circle and the other touches it, then the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts the circle and the straight line intercepted on it outside between the point and the convex circumference equals the square on the tangent.
Proposition 37.
If a point is taken outside a circle and from the point there fall on the circle two straight lines, if one of them cuts the circle, and the other falls on it, and if further the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts the circle and the straight line intercepted on it outside between the point and the convex circumference equals the square on the straight line which falls on the circle, then the straight line which falls on it touches the circle.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Corollary จากนี้ เป็นรายการให้ลากที่มุมขวาเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจากจุดสิ้นสุดของเส้นตรงสัมผัสวงกลมเรื่องที่ 17จากจุดที่กำหนดเพื่อวาดเส้นตรงวงกลมให้สัมผัสเรื่องที่ 18ถ้าเส้นตรงสัมผัสวงกลม และเข้าร่วมเส้นตรงจากศูนย์ไปยังจุดของการติดต่อ เส้นที่เข้าร่วมดังนั้น จะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเรื่องที่ 19ถ้าเส้นตรงสัมผัสวงกลม และจุดการติดต่อเป็นเส้นตรงออกที่มุมขวาเพื่อค่าแทนเจนต์ ศูนย์กลางของวงกลมจะอยู่เส้นที่วาดเรื่องที่ 20ในวงกลม มุมที่ศูนย์กลางเป็นสองมุมที่เส้นรอบวงเมื่อมุมมีวงเดียวกันเป็นฐานเรื่องที่ 21ในวงกลม มุมในเซ็กเมนต์เดียวกันเท่ากันเรื่องที่ 22ผลบวกของมุมตรงข้ามของ quadrilaterals ในวงเท่ากับสองมุมขวาเรื่องที่ 23บนเส้นตรงเดียวกัน ไม่สามารถจะมีการสร้างคล้ายกัน และไม่เท่าเซ็กเมนต์ที่สองของวงอย่างเดียวเรื่องที่ 24ส่วนคล้ายของวงกลมบนเส้นเท่าเท่ากันเรื่องที่ 25ส่วนของวงกลม วงที่ที่เป็นส่วนอธิบายได้เรื่องที่ 26ในวงการเท่า มุมเท่ายืนบนเส้นรอบวงเท่ากับว่าพวกเขายืน ที่ศูนย์ หรือ ที่เส้นรอบวงเรื่องที่ 27ในวงกลมเท่ากับมุมที่ยืนอยู่บนเส้นรอบวงเท่ากับเท่ากันไม่ว่า จะตั้ง ที่ศูนย์ หรือ ที่เส้นรอบวงเรื่องที่ 28ในวงกลมเท่ากับเท่ากับเส้นตัดเส้นรอบวงเท่ากับ เส้นรอบวงมากขึ้นเท่ากับเท่ากับมากขึ้น และน้อยที่ถูกลงเรื่องที่ 29ในวงการเท่ากัน เส้นตรงที่ตัดเท่ากับเส้นรอบวงเท่ากันเรื่องที่ 30การ bisect กำหนดเส้นรอบวงเรื่องที่ 31ในวงกลม มุมในครึ่งวงกลมที่อยู่ ที่ในเครื่องส่วนน้อยกว่ามุมขวา และที่ในเซ็กเมนต์น้อยลงมากกว่ามุมขวา อีก มุมของเซ็กเมนต์มากขึ้นมากกว่ามุมขวา และมุมของส่วนน้อยคือน้อยกว่ามุมขวาเรื่องที่ 32ถ้าเส้นตรงวงกลม และ จากจุดของการติดต่อมีออกข้าม ในวง เส้นตรงตัดวงกลม แล้วมุมที่ทำให้ มีค่าแทนเจนต์เท่ากับมุมในส่วนอื่นของวงการเรื่องที่ 33บนเส้นตรงที่กำหนดเพื่ออธิบายส่วนของวงกลมยอมรับมุมเท่ากับมุมเป็นเส้นตรงเรื่องที่ 34จากวงที่กำหนดจะตัดส่วนยอมรับมุมเท่ากับมุมเป็นเส้นตรงเรื่องที่ 35ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน เป็นวงกลม สี่เหลี่ยมที่อยู่ส่วนของหนึ่งเท่ากับสี่เหลี่ยมที่อยู่ส่วนของอื่น ๆเรื่องที่ 36ถ้าจุดที่อยู่นอกวงกลม และเส้นตรงสองเส้นตกจากในวงกลม และหนึ่งของพวกเขาตัดวงกลมและการสัมผัสมัน แล้วสี่เหลี่ยมอยู่ โดยทั้งหมดของตรงบรรทัดที่ตัดวงกลม และเส้นตรงที่ดักอยู่ด้านนอกระหว่างจุดและเส้นรอบวงนูนเท่ากับจัตุรัสบนค่าแทนเจนต์เรื่องที่ 37ถ้าจุดที่อยู่นอกวงกลม และ จากจุด มีตกอยู่ในวงกลมเส้นตรงสองเส้น ถ้าหนึ่งในพวกเขาตัดวงกลม และน้ำตกอื่น ๆ บนมัน และถ้าเพิ่มเติมสี่เหลี่ยมที่อยู่ทั้งหมดของตรงเส้นที่ตัดวงกลม และเส้นตรงดักบน นอกระหว่างจุดและเส้นรอบวงนูนเท่ากับจัตุรัสบนเส้นตรงกับวงกลม แล้วเส้นตรงมันสัมผัสวงกลม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ควันหลง จากนี้ก็เป็นที่ประจักษ์ว่าวาดเส้นตรงที่มุมขวาเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจากจุดสิ้นสุดของมันสัมผัสวงกลม. ข้อเสนอที่ 17 จากจุดที่กำหนดเพื่อวาดเส้นตรงสัมผัสวงกลม. โจทย์ 18. ถ้าเป็นเส้นตรง สัมผัสวงกลมและเส้นตรงจะเข้าร่วมจากส่วนกลางไปยังจุดของการติดต่อที่เส้นตรงเพื่อเข้าร่วมจะตั้งฉากกับสัมผัส. โจทย์ 19. ถ้าเป็นเส้นตรงวงกลมสัมผัสและจากจุดของการติดต่อตรง สายจะถูกวาดที่มุมขวาเพื่อสัมผัสซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลมจะมีการวาดเส้นตรงดังนั้น. โจทย์ 20 ในวงกลมมุมที่ศูนย์เป็นมุมมองคู่ที่เส้นรอบวงเมื่อมุมมีเส้นรอบวงเดียวกับ ฐาน. โจทย์ 21 ในวงกลมมุมในเดียวกันส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันอีก. ข้อเสนอ 22 ผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมในวงการเท่ากับสองมุมขวา. โจทย์ 23. บนเส้นตรงเดียวกันมีไม่สามารถสร้างสองที่คล้ายกัน และกลุ่มที่ไม่เท่ากันของวงการอยู่ข้างเดียว. โจทย์ 24. ส่วนที่คล้ายกันของวงการบนเส้นตรงเท่ากับเท่ากับคนอื่น. โจทย์ 25. กำหนดส่วนของวงกลมที่จะอธิบายวงกลมที่สมบูรณ์ของที่มันเป็นส่วน. โจทย์ 26 ในวงการเท่ากับมุมเท่ากันยืนอยู่บนเส้นรอบวงเท่ากับว่าพวกเขายืนอยู่ที่ศูนย์หรือที่เส้นรอบวงได้. โจทย์ 27. ในวงการเท่ากับมุมที่ยืนอยู่บนเส้นรอบวงเท่ากับเท่ากับคนอื่นไม่ว่าจะยืนอยู่ที่ศูนย์หรือที่เส้นรอบวงได้. โจทย์ 28. ในที่เท่าเทียมกัน แวดวงเท่ากับเส้นตรงตัดเส้นรอบวงเท่ากับเส้นรอบวงมากขึ้นเท่ากับมากขึ้นและน้อยเท่ากับน้อย. โจทย์ 29. ในวงการเท่ากับเส้นตรงที่ตัดเส้นรอบวงเท่ากับมีค่าเท่ากัน. โจทย์ 30. การแบ่งครึ่งเส้นรอบวงได้รับ. ข้อเสนอที่ 31 ในวงกลมมุมในครึ่งวงกลมที่ถูกต้องว่าในส่วนมากขึ้นน้อยกว่ามุมขวาและว่าในส่วนน้อยมากกว่ามุมขวา; อีกมุมของส่วนมากขึ้นมากกว่ามุมขวาและมุมของส่วนน้อยคือน้อยกว่ามุมขวา. โจทย์ 32. ถ้าเป็นเส้นตรงวงกลมสัมผัสและจากจุดของการติดต่อมีการวาดข้าม ในวงกลมที่เป็นเส้นตรงวงกลมตัดแล้วมุมซึ่งก็จะทำให้มีการสัมผัสกันเท่ากับมุมในส่วนอื่นของวงกลม. ข้อเสนอที่ 33 บนเส้นตรงที่กำหนดเพื่ออธิบายส่วนของวงกลมยอมรับมุมเท่ากัน มุมเป็นเส้นตรงที่กำหนด. โจทย์ 34. จากวงกลมตัดส่วนยอมรับมุมเท่ากับมุมเป็นเส้นตรงที่กำหนด. โจทย์ 35. หากในวงกลมเส้นตรงสองเส้นตัดอีกคนหนึ่งแล้วสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอยู่โดยส่วนของ หนึ่งเท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอยู่โดยส่วนของอื่น ๆ . the โจทย์ 36. ถ้าเป็นจุดที่จะนำมานอกวงกลมและเส้นตรงสองเส้นตกจากบนวงกลมและถ้าหนึ่งของพวกเขาตัดวงกลมและสัมผัสอื่น ๆ มันแล้ว สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอยู่โดยรวมของเส้นตรงที่ตัดวงกลมและเส้นตรงดักที่มันนอกระหว่างจุดและเส้นรอบวงนูนเท่ากับตารางสัมผัสได้. โจทย์ 37. ถ้าเป็นจุดที่จะนำมานอกวงกลมและจาก ชี้มีตกอยู่ในวงกลมเส้นตรงสองเส้นถ้าหนึ่งของพวกเขาตัดวงกลมและน้ำตกอื่นได้และถ้าต่อสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอยู่โดยรวมของเส้นตรงที่ตัดวงกลมและเส้นตรงดักที่มันนอก ระหว่างจุดและเส้นรอบวงนูนเท่ากับตารางบนเส้นตรงซึ่งตรงกับวงกลมแล้วเส้นตรงซึ่งตรงกับวันที่มันสัมผัสวงกลม