Idealized spring-mass systems play

Idealized spring-mass systems play an important role in mechanical and
other engineering problems. Figure 12.11 shows such a system. After they are released, the
masses are pulled downward by the force of gravity. Notice that the resulting displacement
of each spring in Fig. 12.11b is measured along local coordinates referenced to its initial
position in Fig. 12.11a.
As introduced in Chap. 1, Newton’s second law can be employed in conjunction with
force balances to develop a mathematical model of the system. For each mass, the second
law can be expressed as
To simplify the analysis, we will assume that all the springs are identical and follow
Hooke’s law. Afree-body diagram for the first mass is depicted in Fig. 12.12a. The upward
force is merely a direct expression of Hooke’s law:


The downward component consists of the two spring forces along with the action of gravity
on the mass,


Note how the force component of the two springs is proportional to the displacement of the
second mass, x2, corrected for the displacement of the first mass, x1.
Equations (12.14) and (12.15) can be substituted into Eq. (12.13) to give


Thus, we have derived a second-order ordinary differential equation to describe the displacement
of the first mass with respect to time. However, notice that the solution cannot
be obtained because the model includes a second dependent variable, x2. Consequently, freebody
diagrams must be developed for the second and the third masses (Fig. 12.12b and c)


that can be employed to derive


and






Equations (12.16), (12.17), and (12.18) form a system of three differential equations
with three unknowns. With the appropriate initial conditions, they could be used to solve
for the displacements of the masses as a function of time (that is, their oscillations). We will
discuss numerical methods for obtaining such solutions in Part Seven. For the present, we
can obtain the displacements that occur when the system eventually comes to rest, that is,
to the steady state. To do this, the derivatives in Eqs. (12.16), (12.17), and (12.18) are set
to zero to give

or, in matrix form,

where [K], called the stiffness matrix, is

and {X} and {W} are the column vectors of the unknowns X and the weights mg, respectively.

Solution. At this point, numerical methods can be employed to obtain a solution. If m1 =
2 kg, m2 = 3 kg, m3 = 2.5 kg, and the k’s = 10 kg/s2, use LU decomposition to solve for
the displacements and generate the inverse of [K].
Substituting the model parameters gives

LU decomposition can be employed to solve for x1 = 7.35, x2 = 10.045, and x3 = 12.495.
These displacements were used to construct Fig. 12.11b. The inverse of the stiffness matrix
is computed as


Each element of this matrix k−1
ji tells us the displacement of mass i due to a unit force
imposed on mass j. Thus, the values of 0.1 in column 1 tell us that a downward unit load to
the first mass will displace all of the masses 0.1 m downward. The other elements can be
interpreted in a similar fashion. Therefore, the inverse of the stiffness matrix provides a
fundamental summary of how the system’s components respond to externally applied
forces.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ระบบสปริงมวล idealized มีบทบาทสำคัญในเครื่องกล และปัญหาทางวิศวกรรมอื่น ๆ รูปที่ 12.11 แสดงกล่าว หลังจากที่มีออก การฝูงจะดึงลงตามแรงโน้มถ่วง สังเกตที่ปริมาณกระบอกสูบได้แต่ละวัดตามท้องถิ่นพิกัดอ้างอิงเมื่อต้องการเริ่มต้นของฤดูใบไม้ผลิใน Fig. 12.11bวางใน Fig. 12.11aแนะนำใน Chap. 1 กฎหมายที่สองของนิวตันสามารถทำงานร่วมกับแรงสมดุลการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ สำหรับแต่ละมวล ที่สองกฎหมายสามารถแสดงในรูปเพื่อทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้น เราจะสมมติว่าสปริงทั้งหมดเหมือนกัน และทำตามกฏหมายของ Hooke ร่างกาย Afree ไดอะแกรมสำหรับมวลแรกเป็นภาพใน Fig. 12.12a ชี้ขึ้นเป็นเพียงค่าโดยตรงของกฎหมายของ Hooke: ส่วนล่างประกอบด้วยสองฤดูใบไม้ผลิกองทัพกับการกระทำของแรงโน้มถ่วงใหญ่ โปรดสังเกตว่า สัดส่วนการแทนที่ของส่วนประกอบแรงของสปริงสองตัวสองมวล x 2 สำหรับปริมาณกระบอกสูบ 1 x มวล แรกสมการ (12.14) และ (12.15) สามารถใช้ทดแทนเป็น Eq. (12.13) ให้ ดังนั้น เราได้มาสองสั่งปกติสมการเชิงอนุพันธ์เพื่ออธิบายการเคลื่อนย้ายของมวลแรกกับเวลา อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่า การแก้ปัญหาไม่ได้รับเนื่องจากแบบจำลองมีตัวที่สองขึ้นอยู่กับการแปร x 2 ดังนั้น freebodyต้องพัฒนาไดอะแกรมที่สองและสามฝูง (Fig. 12.12b และ c) สามารถทำงานที่ได้รับ และ สมการ (12.16), (12.17), และ (12.18) เป็นระบบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ 3กับ unknowns สาม มีเงื่อนไขเบื้องต้นที่เหมาะสม ใช้แก้สำหรับ displacements ของมวลเป็นฟังก์ชันของเวลา (นั่นคือ การแกว่ง) เราจะปรึกษารับแก้ไขปัญหาดังกล่าวในส่วนเจ็ดตัวเลขวิธี ในปัจจุบัน เราสามารถรับ displacements ที่เกิดขึ้นเมื่อระบบในที่สุดมาที่เหลือ คือการท่อน การทำเช่นนี้ ตราสารอนุพันธ์ใน Eqs (12.16), (12.17), และ (12.18) ตั้งอยู่เป็นศูนย์ให้ หรือ ในรูป แบบเมทริกซ์ เป็น [K], เรียกว่าเมตริกซ์ความแข็ง และ {X } และ {W } มีเวกเตอร์คอลัมน์ unknowns X และน้ำหนักมิลลิกรัม ตามลำดับการแก้ปัญหา จุดนี้ วิธีการแสดงสามารถจ้างรับแก้ไขปัญหา ถ้า m1 =2 กิโลกรัม m2 = 3 กก. m3 = 2.5 กก. และ k's = 10 ที่ กก./s2 แยกส่วนประกอบของลูใช้เพื่อหาdisplacements ที่ และสร้างผกผันของ [K]แทนพารามิเตอร์รูปแบบให้ สามารถจ้างลูแยกส่วนประกอบเพื่อหาค่า x 1 = 7.35, x 2 = 10.045 และ x 3 = 12.495Displacements เหล่านี้ถูกใช้เพื่อสร้าง Fig. 12.11b ตัวผกผันของเมทริกซ์ความแข็งคำนวณเป็น แต่ละองค์ประกอบของ k−1 เมตริกซ์นี้จิบอกเราย้ายของมวลผมเนื่องจากหน่วยแรงเก็บเจมวล ดังนั้น ค่า 0.1 ในคอลัมน์ที่ 1 บอกว่า โหลดหน่วยลงไปมวลแรกจะเลื่อนลง 0.1 m มวลชนทั้งหมด องค์ประกอบอื่น ๆ ได้แปลความหมายในลักษณะคล้าย ดังนั้น มีตัวผกผันของเมทริกซ์ความแข็งการสรุปพื้นฐานของวิธีตอบคอมโพเนนต์ของระบบการใช้ภายนอกกองทัพ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เงียบสงบระบบมวลฤดูใบไม้ผลิที่มีบทบาทสำคัญในกลและ
ปัญหาทางวิศวกรรมอื่น ๆ รูปที่ 12.11 แสดงให้เห็นว่าระบบดังกล่าว หลังจากที่พวกเขาได้รับการปล่อยตัว
มวลชนถูกดึงลงโดยแรงโน้มถ่วงของโลก ขอให้สังเกตว่าการกำจัดผล
ของฤดูใบไม้ผลิในแต่ละรูป 12.11b เป็นวัดในท้องถิ่นพร้อมพิกัดอ้างอิงในการเริ่มต้นของ
ตำแหน่งในรูป 12.11a.
เป็นที่รู้จักในบท 1 กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถทำงานร่วมกับ
ยอดแรงในการพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ สำหรับมวลแต่ละที่สอง
กฎหมายสามารถแสดงเป็น
เพื่อให้ง่ายต่อการวิเคราะห์เราจะสมมติว่าน้ำพุทั้งหมดที่มีเหมือนกันและปฏิบัติตาม
กฎหมายของฮุค แผนภาพ afree ร่างกายมวลแรกเป็นที่ปรากฎในรูป 12.12a ขึ้น
แรงเป็นเพียงการแสดงออกโดยตรงของกฎหมายฮุค: ส่วนประกอบลดลงประกอบด้วยสองกองกำลังในฤดูใบไม้ผลิพร้อมกับการกระทำของแรงโน้มถ่วงในมวลหมายเหตุวิธีองค์ประกอบแรงของทั้งสองน้ำพุเป็นสัดส่วนกับการเคลื่อนที่ของมวลที่สอง x2 แก้ไขสำหรับการเคลื่อนที่ของมวลแรก x1. สมการ (12.14) และ (12.15) สามารถใช้แทนลงในสมการ (12.13) เพื่อให้ดังนั้นเราจึงได้มาเพื่อที่สองสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของมวลแรกที่เกี่ยวกับเวลา แต่สังเกตเห็นว่าการแก้ปัญหาที่ไม่สามารถรับได้เพราะรูปแบบรวมถึงตัวแปรที่สอง x2 ดังนั้น freebody แผนภาพจะต้องได้รับการพัฒนาสำหรับสองและฝูงที่สาม (รูป. 12.12b และค) ที่สามารถทำงานที่ได้รับมาและสมการ (12.16) (12.17) และ (12.18) รูปแบบระบบสามสมการเชิงอนุพันธ์กับ สามราชวงศ์ ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่เหมาะสมที่พวกเขาสามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาสำหรับการกระจัดของมวลชนเป็นหน้าที่ของเวลา (นั่นคือการสั่นของพวกเขา) เราจะหารือเกี่ยวกับวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการได้รับการแก้ปัญหาดังกล่าวในส่วนที่เซเว่น สำหรับปัจจุบันเราสามารถได้รับการกระจัดที่เกิดขึ้นเมื่อระบบในที่สุดก็มาถึงส่วนที่เหลือซึ่งก็คือเพื่อความมั่นคงของรัฐ การทำเช่นนี้สัญญาซื้อขายล่วงหน้าใน EQS (12.16) (12.17) และ (12.18) มีการตั้งค่าให้เป็นศูนย์ที่จะให้หรือในรูปแบบเมทริกซ์ที่ [K] ที่เรียกว่าเมทริกซ์ความแข็งเป็นและ {X} และ {W} เวกเตอร์คอลัมน์ของราชวงศ์ X และน้ำหนักมิลลิกรัมตามลำดับ. โซลูชั่น ณ จุดนี้วิธีการเชิงตัวเลขสามารถทำงานที่จะได้รับการแก้ปัญหา ถ้า m1 = 2 กิโลกรัม m2 = 3 กิโลกรัม m3 = 2.5 กิโลกรัมและของ k = 10 กก. / s2 ใช้การสลายตัว LU ที่จะแก้ปัญหาสำหรับการกระจัดและสร้างผกผันของ [K]. แทนพารามิเตอร์แบบให้สลายตัว LU สามารถ ได้รับการว่าจ้างในการแก้สำหรับ x1 = 7.35, x2 = 10.045 และ 12.495 x3 =. กระจัดเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในการสร้างรูป 12.11b ผกผันของเมทริกซ์ตึงคำนวณเป็นองค์ประกอบของ k-1 เมทริกซ์นี้แต่ละคนji บอกเรากำจัดของมวลฉันเนื่องจากแรงหน่วยที่กำหนดในเจมวล ดังนั้นค่า 0.1 ในคอลัมน์ 1 บอกเราว่าโหลดหน่วยลดลงเพื่อมวลแรกจะแทนที่ทั้งหมดของฝูง 0.1 เมตรลง องค์ประกอบอื่น ๆ ที่สามารถตีความในรูปแบบเหมือนกัน ดังนั้นการผกผันของเมทริกซ์ตึงให้สรุปพื้นฐานของวิธีการที่ส่วนประกอบของระบบตอบสนองต่อการใช้ภายนอกกองกำลัง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ระบบมวลสปริงอุดมคติมีบทบาทสำคัญในกลและ
ปัญหาทางวิศวกรรมอื่น ๆ รูป 12.11 แสดงเช่นระบบ หลังจากที่มีการเปิดตัว ,
ก้อนดึงลงโดยแรงโน้มถ่วงของ สังเกตเห็นว่าผลของแต่ละฤดูใบไม้ผลิในรูปค่า
12.11b วัดพิกัดอ้างอิงตามท้องถิ่นของตำแหน่งเริ่มต้นในรูปที่ 12.11a
.
ตามที่แนะนำใน CHAP 1กฎข้อที่สองของนิวตันสามารถใช้ร่วมกับ
ยอดบังคับเพื่อพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ สำหรับแต่ละมวลกฎหมายสามารถแสดงเป็นสอง

เพื่อลดความซับซ้อนของการวิเคราะห์ เราจะสมมติว่าสปริงทั้งหมดจะเหมือนกันและปฏิบัติตาม
กฎของฮุก . แผนภาพร่างกาย afree สำหรับมวลแรกที่ปรากฎในรูปข้างบน
12.12a .บังคับเป็นเพียงการแสดงออกโดยตรงของกฎของฮุก :


ส่วนลงประกอบด้วยสองสปริงบังคับพร้อมกับการกระทำของแรงโน้มถ่วง
บนมวล


สังเกตว่าแรงองค์ประกอบสองสปริงเป็นปฏิภาคกับการเคลื่อนที่ของมวล X2
2 , แก้ไขแบบ , สำหรับ แรกที่มวล , x1
สมการ ( 12.14 ) และ ( 12.15 ) สามารถทดแทนในอีคิว ( 12.13 ให้

)
เราจึงมีสำคัญที่สองสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของมวลแรก
เกี่ยวกับเวลา อย่างไรก็ตาม เห็นว่าทางออกไม่สามารถ
ได้รับ เพราะว่านางแบบรวมถึงสองตัวแปรตาม , x2 . ดังนั้นแผนภาพฟรีบอดิ้
ต้องพัฒนา สำหรับที่สองและสาม ( รูปที่ 12.12b มวลและ c )


ที่สามารถใช้เพื่อให้ได้


สมการและ






( ดีขึ้น ) , ( 12.17 ) และ ( 12.18 ) แบบระบบสามสมการเชิงอนุพันธ์
3 ไม่รู้ . ที่เหมาะสมกับเงื่อนไขเริ่มต้น พวกเขาสามารถใช้เพื่อแก้
สำหรับสูงสุดของมวลเป็นฟังก์ชันของเวลา ( คือพวกเขาต่าง ) เราจะหารือเกี่ยวกับวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการขอรับ
เช่นโซลูชั่นในส่วนที่ 7 สำหรับปัจจุบันเรา
สามารถได้รับสูงสุดที่เกิดขึ้น เมื่อระบบในที่สุด มาพักผ่อน คือ
ถึง steady state การทำอนุพันธ์ใน EQS . ( ดีขึ้น ) , ( 12.17 ) และ ( 12.18 ) ตั้งศูนย์ให้


หรือ ในเมทริกซ์แบบ

ที่ไหน [ K ] เรียกว่า stiffness matrix คือ

{ X } และ { w } คอลัมน์เวกเตอร์ของตัวแปร X และน้ำหนักมิลลิกรัม ตามลำดับ

แก้ ณจุดนี้วิธีเชิงตัวเลขสามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้โซลูชั่น ถ้า M1 M2 = =
2 กก. 3 กก. , M3 = 2.5 กิโลกรัม และ K = กิโลกรัม / S2 10 ใช้ LU แก้
displacements และสร้างผกผัน [ K ] .
แทนพารามิเตอร์ให้

LU สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหา สำหรับ x1 = 7.35 X2 = 2.089 และ x3 = 12.495 .
displacements เหล่านี้ถูกใช้เพื่อสร้างรูปที่ 12.11b .ผกผันของเมทริกซ์จะคำนวณเป็นค่า



แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ K − 1
จีบอกว่า การเคลื่อนที่ของมวลผมเนื่องจากหน่วยแรงในมวล J
ที่กําหนด ดังนั้น ค่า 0.1 ในคอลัมน์ที่ 1 บอกเราว่าหน่วยลงโหลด

มวลแรกจะแทนที่ทั้งหมด ของมวล 0.1 M ลง องค์ประกอบอื่น ๆที่สามารถ
แปลความหมายในแฟชั่นที่คล้ายกัน ดังนั้นผกผันของเมทริกซ์ให้ตึง
สรุปพื้นฐานขององค์ประกอบของระบบการตอบสนองเพื่อนำไปใช้ภายนอก

กําลัง