On August 10, 1548, en epic battle

On August 10, 1548, en epic battle ensued in a church in Milan. It wasn't about religion, or even about who said what in the pub the night before, but about maths. The main contenders were Lodovico Ferrari and Niccoló Tartaglia. The object of their battle, which was fought with their minds rather than fists, was an equation. Or rather, a whole family of them.

One of the most famous class of equations are quadratic equations. They have the form

     
where , and are rational numbers. An example is

     

The two solutions to this equation are given by the formula

     
For our example, where and , the formula gives the solutions

     
and

     
By plugging those two numbers in for in the original equation, you can convince yourself that the formula works.

The question is, is there a similar general solution for cubic equations of the form

     
In the sixteenth century solving cubic equations became the topic of hot mathematical duels, with mathematical glory, job offers and money up for rewards. People tended to keep their methods secret in order to have an edge in these competitions. For example, the Italian Scipione del Ferro discovered a general formula for solving a depressed cubic — one with no square powers, of the form

     
Thanks to the use of some tricky substitution of variables and the clever application of the quadratic formula, del Ferro developed a general formula giving a solution for these depressed cubics

     
For the depressed cubic equation

     
with and del Ferro’s formula gives

     
as a solution. This complicated looking number is in fact (You can convince yourself of this using a calculator.)

The equation does have two more solutions, which are complex numbers, but once you have found one solution these are easy to find, see below.

Giralomo Cardano (1501-1576).

On his deathbed del Ferro passed his formula on to his student, Antonio Fiore, who intended to use it as an ace up his sleeve in a contest against his rival Niccoló Tartaglia. But Tartaglia independently discovered the same method for solving the depressed cubic just in time and proceeded to wipe the floor with del Ferro's student.

The victorious Tartaglia had a fascinating life story apart from his victory in mathematical smack downs. His real name was Niccoló Fontana. A wound inflicted by a French soldier when he was young had left him with disfiguring scars and a stammer, leaving him stuck with the nickname Tartaglia, "the stammerer". His opponent in the battle in Milan church in 1548, Lodovico Ferrari, was fighting on behalf of yet another mathematician, Giralomo Cardano. Tartaglia had divulged his cubic method to Cardano, on the condition he swore a "most solemn oath, by the Sacred Gospels and his word as a gentleman," never to publish it. But when Cardano discovered that del Ferro had independently discovered the solution before Tartaglia he included it in his work, the Ars Magna (meaning "The great art"), published in 1545. Cardano gave both Tartaglia and del Ferro due credit, but Tartaglia was angry about his secret being revealed. The battle in Milan was the culmination of a terrible feud that had ensued as a result.

Cardano did the world a great service with his masterpiece Ars Magna. In it he revealed a method for turning any cubic equation
     
into a depressed cubic, which could then be solved using del Ferro's solution. This finally tamed the cubic. We won't give you the general solution here because it's pretty complicated. You can look it up here.

As far as Tartaglia was concerned, he lost the battle. Seeing he was nowhere near as good as Ferrari, Tartaglia left Milan ignominiously without completing the contest. His reputation damaged, he eventually lost his university position while Ferrari went on to have a distinguished mathematical career, riding the wave of mathematical glory. Those mathematical competitions were more than just a harmless pastime!

Finding the complex solutions of the cubic

As we saw above, one of the solutions of the depressed cubic

     
is To find the other two, we first factorise the depressed cubic using the term

     
We can now use the quadratic formula to find the solutions of

     
giving and as complex solutions to our original cubic equation .

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บน 10 สิงหาคม 1548 สงครามมหากาพย์น้ำตามมาในโบสถ์ในมิลาน มันไม่ได้ เกี่ยวกับศาสนา หรือแม้กระทั่ง เกี่ยวกับใครว่า อะไรในผับคืน แต่ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ผู้สมัครหลักถูก Lodovico เฟอร์รารีและ Niccoló Tartaglia วัตถุของการต่อสู้ของพวกเขา ที่ที่สู้กับของจิตใจมากกว่าหมัด สมการได้ หรือค่อนข้าง ทั้งครอบครัวของพวกเขาสมการชั้นแห่งหนึ่งมีสมการกำลังสอง มีแบบฟอร์ม     ที่ และตรรก ตัวอย่างเช่น     วิธีแก้ไขปัญหาสองสมการนี้ได้จากสูตร     ตัวอย่างของเรา ที่ และ สูตรช่วยให้โซลูชั่น     และ     โดยเสียบสองหมายเลขดังกล่าวในการในสมการเดิม คุณสามารถมั่นใจตัวเองว่า สูตรทำงานคำถามคือ มีโซลูชั่นทั่วไปคล้ายกันสำหรับสมการลูกบาศก์ของแบบฟอร์ม     ในศตวรรษ sixteenth แก้สมการลูกบาศก์เป็น หัวข้อของร้อน duels คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เกียรติ มีงาน และเงินสำหรับรางวัล คนที่มีแนวโน้มที่จะ เก็บความลับของพวกเขาวิธีการเพื่อให้มีขอบในการแข่งขันเหล่านี้ ตัวอย่าง Ferro เดล Scipione อิตาลีค้นพบสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ลูกบาศก์ตก — กับสแควร์ไม่อำนาจ ของแบบฟอร์ม     ด้วยการใช้ทดแทนบางอย่างหากินของตัวแปรและการประยุกต์สูตรกำลังสองฉลาด del Ferro พัฒนาสูตรทั่วไปให้โซลูชันสำหรับ cubics เรื่องราวเหล่านี้     สำหรับสมการลูกบาศก์หดหู่     ด้วย และให้สูตร del Ferro     เป็นการแก้ไขปัญหา ซับซ้อนมองหมายเลขโดยในความเป็นจริง (คุณสามารถมั่นใจตัวเองนี้ใช้เครื่องคิดเลข)สมการมีคำตอบมากกว่า 2 ซึ่งมีจำนวนเชิงซ้อน แต่เมื่อคุณได้พบวิธีการแก้ไขปัญหา เหล่านี้จะง่ายต่อการค้นหา ดูด้านล่างGiralomo Cardano (ค.ศ. 1501-1576)บนเขา deathbed del Ferro ผ่านสูตรของเขาเพื่อนักเรียนของเขา ฟิออเร่ Antonio ซึ่งมีจุดประสงค์เพื่อใช้เป็นเอซขึ้นแขนของเขาในการแข่งขันกับคู่แข่งของเขา Niccoló Tartaglia แต่ Tartaglia ค้นพบวิธีการแก้ลูกบาศก์ตกในเวลาเดียวกัน และครอบครัวจะเช็ดพื้น ด้วย del Ferro นักเรียนอย่างอิสระเรื่องราวชีวิตน่าสนใจนอกเหนือจากชัยชนะในทางคณิตศาสตร์ตีลงของ Tartaglia ชัยชนะได้ ชื่อจริงของเขาถูกฟอนทานา Niccoló แผลที่เกิดจากทหารฝรั่งเศสเมื่อเด็กได้ทิ้งเขากับ disfiguring รอยแผลเป็น และ stammer การ ปล่อยให้เขาจมอยู่กับชื่อเล่น Tartaglia, "stammerer" มีการต่อสู้ต่อสู้ในการต่อสู้ในมิลานโบสถ์ใน 1548, Lodovico เฟอร์รารี ในนามของนักคณิตศาสตร์อีก Giralomo Cardano Tartaglia มี divulged วิธีเขาลูกบาศก์การ Cardano บนเงื่อนไข เขา swore การ "ปฏิญาณตนที่สุดสาบาน พระวรสารศักดิ์สิทธิ์และคำของเขาเป็นสุภาพบุรุษ ไม่เคยจะเผยแพร่ แต่เมื่อ Cardano พบว่า del Ferro อิสระพบโซลูชันก่อน Tartaglia เขารวมมันในการทำงานของเขา อาอาร์ส Magna (ความหมาย "ดี"), เผยแพร่ใน 1545 Cardano ให้ทั้ง Tartaglia และ del Ferro ชำระสินเชื่อ แต่ Tartaglia โกรธเกี่ยวกับความลับถูกเปิดเผย การต่อสู้ในลานเป็นสุดยอดของอันน่ากลัวที่ได้ตามมาส่งผลCardano ได้โลกสวย ด้วยชิ้นเอกของเขาอาอาร์ส Magna ในนั้น เขาเปิดเผยวิธีการเปลี่ยนสมการใด ๆ ลูกบาศก์     เป็นลูกบาศก์ เรื่องราวที่แล้วแก้ไขใช้ del Ferro โซลูชัน สุดท้ายนี้ tamed ลูกบาศก์ เราจะไม่ให้โซลูชั่นทั่วไปที่นี่ เพราะจะได้มีความซับซ้อนสวย คุณสามารถดูได้ที่นี่เป็นที่ Tartaglia เกี่ยวข้อง เขาแพ้สงคราม เห็นเขามีกินดีเป็นเฟอร์รารี Tartaglia จากมิลาน ignominiously โดยดำเนินการประกวด ชื่อเสียงของเขาเสียหาย เขาก็สูญเสียตำแหน่งมหาวิทยาลัยของเขาขณะที่เฟอร์รารีก็จะมีอาชีพทางคณิตศาสตร์แตกต่าง ขี่คลื่นของคณิตศาสตร์เกียรติ แข่งขันคณิตศาสตร์เหล่านั้นได้มากกว่าเพียงแค่เป็นงานอดิเรกที่อันตรายหาวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของลูกบาศก์นี้ขณะที่เราเห็นข้าง หนึ่งในโซลูชั่นของลูกบาศก์หดหู่     จะพบอีกสอง เราก่อน factorise ลูกบาศก์ตกที่ใช้คำว่า      เราสามารถใช้สูตรกำลังสองในการค้นหาการแก้     ซับซ้อน และให้แก้ไขไปสมการลูกบาศก์เดิมของเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เมื่อวันที่ 10 สิงหาคม 1548, en มหากาพย์สงครามเกิดขึ้นในคริสตจักรในมิลาน มันไม่ได้เกี่ยวกับศาสนาหรือแม้แต่เกี่ยวกับใครพูดอะไรในผับคืนก่อน แต่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ contenders หลักเป็น Lodovico เฟอร์รารีและNiccoló Tartaglia เป้าหมายของการต่อสู้ของพวกเขาซึ่งกำลังต่อสู้กับจิตใจของพวกเขามากกว่ากำปั้นเป็นสมการ หรือมากกว่าทั้งครอบครัวของพวกเขาเป็นหนึ่งในชั้นเรียนที่มีชื่อเสียงที่สุดของสมการเป็นสมการกำลังสอง พวกเขามีรูปแบบที่ไหนและเป็นตัวเลขที่มีเหตุผล ตัวอย่างที่สองการแก้สมการนี้จะได้รับจากสูตรตัวอย่างเช่นสถานที่และสูตรให้การแก้ปัญหาของเราและโดยการเสียบทั้งสองตัวเลขในในสมการเดิมคุณสามารถโน้มน้าวตัวเองว่าสูตรการทำงานคำถาม คือจะมีการแก้ปัญหาทั่วไปที่คล้ายกันสำหรับลูกบาศก์สมการของแบบฟอร์มในศตวรรษที่สิบหกการแก้สมการลูกบาศก์กลายเป็นหัวข้อของการดวลคณิตศาสตร์ร้อนที่มีความรุ่งเรืองทางคณิตศาสตร์ข้อเสนองานและเงินรางวัลขึ้น คนมีแนวโน้มที่จะให้วิธีการของพวกเขาเป็นความลับในการที่จะมีขอบในการแข่งขันเหล่านี้ ยกตัวอย่างเช่นอิตาลี Scipione เดล Ferro ค้นพบสูตรทั่วไปสำหรับการแก้หดหู่ลูกบาศก์ - หนึ่งที่ไม่มีอำนาจเมตรของแบบฟอร์มขอขอบคุณกับการใช้บางส่วนทดแทนหากินของตัวแปรและการประยุกต์ใช้ฉลาดของสูตรสมการกำลังสองเด Ferro พัฒนา สูตรทั่วไปให้โซลูชั่นสำหรับ cubics หดหู่เหล่านี้สำหรับลูกบาศก์สมการความสุขกับสูตรของโลหะของให้เป็นวิธีแก้ปัญหา นี้มีความซับซ้อนที่กำลังมองหาตัวเลขในความเป็นจริง (คุณสามารถโน้มน้าวตัวเองนี้ใช้เครื่องคิดเลข.) สมการจะมีสองโซลูชั่นมากขึ้นซึ่งเป็นตัวเลขที่ซับซ้อน แต่เมื่อคุณได้พบทางออกหนึ่งเหล่านี้เป็นเรื่องง่ายที่จะหาดูด้านล่างGiralomo Cardano (1501-1576) ครึ่งผีครึ่งคนเด Ferro ผ่านสูตรของเขาไปยังนักเรียนของเขาอันโตนิโอฟิออเรที่ตั้งใจจะใช้เป็นเอซขึ้นแขนเสื้อของเขาในการแข่งขันกับคู่แข่งของเขาNiccoló Tartaglia แต่ Tartaglia อิสระค้นพบวิธีการเดียวกันในการแก้หดหู่ลูกบาศก์เพียงแค่ในเวลาและดำเนินการต่อไปถูพื้นกับนักเรียนของโลหะของชัยชนะ Tartaglia มีเรื่องราวชีวิตที่น่าสนใจนอกเหนือจากชัยชนะในดาวน์ตีทางคณิตศาสตร์ ชื่อจริงของเขาคือNiccolóตานา แผลบาดแผลโดยทหารฝรั่งเศสเมื่อเขาถูกหนุ่มทิ้งเขาด้วยรอยแผลเป็นเสียโฉมและพูดติดอ่างปล่อยให้เขาติดอยู่กับชื่อเล่น Tartaglia "พูดติดอ่าง" คู่ต่อสู้ของเขาในการสู้รบในเมืองมิลานในโบสถ์ 1548, Lodovico เฟอร์รารีกำลังต่อสู้ในนามของยังนักคณิตศาสตร์อื่น Giralomo Cardano Tartaglia ได้เปิดเผยวิธีการของเขาไปลูกบาศก์ Cardano บนเงื่อนไขที่เขาสาบานว่า "สาบานที่สุดโดยพระศักดิ์สิทธิ์และคำพูดของเขาเป็นสุภาพบุรุษ" ไม่เคยจะเผยแพร่ แต่เมื่อค้นพบว่าคาร์เดล Ferro ได้ค้นพบอิสระแก้ปัญหาก่อนที่จะ Tartaglia เขารวมไว้ในการทำงานของอาร์สใหญ่ (หมายถึง "ศิลปะที่ยิ่งใหญ่") ที่ตีพิมพ์ใน 1545 คาร์ให้ทั้ง Tartaglia และเดลเครดิตเนื่องจาก Ferro แต่ Tartaglia เป็น โกรธเกี่ยวกับความลับของเขาถูกเปิดเผย การต่อสู้ในมิลานเป็นสุดยอดของความบาดหมางที่น่ากลัวที่มีให้เกิดเป็นผลCardano ทำโลกให้บริการที่ดีกับผลงานชิ้นเอกของเขาอาร์สใหญ่ ในนั้นเขาเผยให้เห็นวิธีการสำหรับการเปิดสมการลูกบาศก์ใด ๆ ที่เป็นความสุขลูกบาศก์ซึ่งก็จะถูกแก้ไขได้โดยใช้วิธีการแก้ปัญหาของโลหะของ สุดท้ายนี้เชื่องลูกบาศก์ เราจะไม่ให้คุณแก้ปัญหาทั่วไปที่นี่เพราะมันซับซ้อนสวย คุณสามารถมองมันได้ที่นี่เท่าที่ Tartaglia เป็นห่วงเขาสูญเสียการต่อสู้ เห็นเขาก็ไม่มีที่ไหนเลยใกล้เป็นดีเฟอร์รารี Tartaglia ซ้ายมิลานท่าไม่จบการแข่งขัน ชื่อเสียงของเขาได้รับความเสียหายในที่สุดเขาก็สูญเสียตำแหน่งของมหาวิทยาลัยในขณะที่เฟอร์รารีไปในการมีอาชีพการงานโดดเด่นทางคณิตศาสตร์ขี่คลื่นของความรุ่งเรืองทางคณิตศาสตร์ ผู้แข่งขันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นมากกว่าเพียงแค่งานอดิเรกที่ไม่เป็นอันตราย! หาการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของลูกบาศก์ขณะที่เราเห็นข้างต้นซึ่งเป็นหนึ่งในการแก้ปัญหาของหดหู่ลูกบาศก์คือการหาอีกสองครั้งแรกที่เรา factorise หดหู่ลูกบาศก์ใช้คำว่าเราสามารถตอนนี้ ใช้สูตรสมการกำลังสองเพื่อหาทางแก้ไขปัญหาของการให้และการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนที่สุดเท่าที่จะลูกบาศก์สมการเดิมของเรา



     


     



     


     


     




     


     


     


     


     











     








     


     


     

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สิงหาคม 10 , 1224 , ในมหากาพย์การต่อสู้ ensued ในโบสถ์ ใน มิลาน มันไม่ได้เกี่ยวกับศาสนา หรือแม้แต่ว่าใครพูดอะไรในผับเมื่อคืนก่อน แต่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ contenders หลักโลโดวิโคเฟอร์รารี และ นิคโคลó tartaglia . วัตถุของการต่อสู้ของพวกเขา ซึ่งกำลังต่อสู้กับจิตใจมากกว่าหมัด เป็นสมการ หรือมากกว่านั้น ทั้งครอบครัวของพวกเขา .

หนึ่งในชั้นเรียนที่มีชื่อเสียงที่สุดของสมการเป็นสมการ . พวกเขามีแบบฟอร์มอะไรรึเปล่า


อะไรที่ไหน และมีเหตุผลในตัวเลข ตัวอย่าง

ไหมไหมไหม

สองแก้สมการนี้จะได้รับโดยสูตร

ไหมไหมไหม
ของเรา ตัวอย่าง ที่ และ สูตรที่ให้โซลูชั่น

ไหมไหมไหมไหมไหมไหมและ



โดยเสียบสองตัวเลขในสมการเดิมคุณสามารถโน้มน้าวตัวเองว่าสูตรทำงาน

คำถามคือ มีลักษณะทั่วไปโซลูชั่นสำหรับลูกบาศก์สมการของแบบฟอร์ม

ไหมไหมไหม
ในศตวรรษที่สิบหกการแก้สมการลูกบาศก์กลายเป็นหัวข้อร้อนคณิตศาสตร์ดวลกับความรุ่งโรจน์ทางคณิตศาสตร์ มีงานและเงินสำหรับรางวัล ผู้คนมีแนวโน้มที่จะให้วิธีการของพวกเขาเป็นความลับเพื่อให้มีขอบในการแข่งขันเหล่านี้ตัวอย่างเช่น อิตาลีสคิปิโอเน del Ferro ค้นพบสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ซึมเศร้าลูกบาศก์ - หนึ่งไม่มีอำนาจตารางของรูป

ไหมไหมไหม
ขอบคุณการใช้งานบางหากินการทดแทนของตัวแปรและฉลาดประยุกต์ใช้กำลังสองสูตร del Ferro พัฒนาทั่วไปสูตรให้แก้ปัญหาเหล่านี้คับ ลูกบาศก์

ไหมไหมไหม
สำหรับหดหู่ลูกบาศก์สมการ

ไหมไหมไหม
และ del Ferro สูตรให้

ไหมไหมไหม
เป็นโซลูชัน นี้ซับซ้อน มองตัวเลขในความเป็นจริงคุณสามารถโน้มน้าวตัวเองนี้ใช้เครื่องคิดเลข )

สมการมีมากกว่าสองโซลูชั่น ซึ่งเป็นตัวเลขที่ซับซ้อน แต่เมื่อคุณได้พบหนึ่งในโซลูชั่นเหล่านี้จะง่ายต่อการค้นหา ดูด้านล่าง

giralomo คาร์ดาโน ( 1501-1576 )

อยู่ข้างเตียง เดล โรผ่านสูตรของเขากับนักเรียนของเขาอันโตนิโอฟิโอ ใครตั้งใจจะใช้เป็นเอซขึ้นแขนของเขาในการแข่งขันกับคู่แข่งของเขา นิคโคลó tartaglia . แต่ tartaglia อิสระค้นพบวิธีเดียวกันสำหรับแก้ซึมเศร้าลูกบาศก์พอดีและเริ่มเช็ดพื้นกับนักเรียน del Ferro .

tartaglia ชัยชนะได้เรื่องราวชีวิตที่น่าสนใจนอกเหนือจากชัยชนะของเขาในคณิตศาสตร์ตีดาวน์ชื่อจริงของเขาคือ นิคโคลóฟอน . แผลที่ถูกลงโทษ โดยทหารฝรั่งเศส เมื่อเขายังเด็กได้ทิ้งเขาไว้กับแผลเป็น disfiguring และพูดตะกุกตะกัก ปล่อยให้เขาจมกับชื่อเล่น tartaglia " stammerer " คู่ต่อสู้ของเขาในการต่อสู้ในมิลานในโบสถ์ฝรั่งโลโดวิโค , Ferrari , ต่อสู้ในนามของอีกนักคณิตศาสตร์ giralomo คาร์ดาโน . tartaglia ได้เปิดเผยวิธีการของเขา คาร์ดาโน , ,ในเงื่อนไขเขาสาบาน " สาบานขึงขังที่สุดโดยพระวรสารศักดิ์สิทธิ์และคำพูดของเขาเป็นสุภาพบุรุษ " ไม่เคยเผยแพร่ แต่เมื่อค้นพบว่า เดล คาร์โดนาโรได้อิสระค้นพบสารละลายก่อน tartaglia เขารวมอยู่ในงานของเขา , Ars Magna ( หมายถึง " ศิลปะ " ) , ตีพิมพ์ในการผลิต . คาร์ดาโนให้ทั้ง tartaglia และ del Ferro เนื่องจากเครดิตแต่ tartaglia โกรธเกี่ยวกับความลับของเขาถูกเปิดเผย การต่อสู้ในมิลานคือสุดยอดของความแย่นั้นได้ยาวนานผล

คาร์ดาโนทำโลกยิ่งใหญ่กับงานชิ้นเอก Ars Magna . ในนั้นเขาพบวิธีการสำหรับการใด ๆ   

สมการลูกบาศก์ลูกบาศก์เป็นซึมเศร้าที่อาจจะถูกแก้ไขได้โดยใช้ del Ferro โซลูชั่น นี้ในที่สุด tamed ลูกบาศก์เราไม่อยากให้คุณโซลูชั่นทั่วไปที่นี่ เพราะมันค่อนข้างซับซ้อน ที่คุณสามารถดูที่นี่

เท่าที่ tartaglia กังวล เขาสูญเสียการต่อสู้ เห็นเขาไม่มีที่ไหนเลยใกล้ดีเท่า Ferrari , tartaglia ซ้ายมิลาน ignominiously โดยไม่จบการประกวด ชื่อเสียงของเขาเสียหายในที่สุดเขาก็สูญเสียตำแหน่งมหาวิทยาลัยของเขาในขณะที่เฟอร์รารี่ก็มีความโดดเด่นทางคณิตศาสตร์อาชีพ ขี่คลื่นของความรุ่งโรจน์ทางคณิตศาสตร์ การแข่งขันคณิตศาสตร์ที่มากกว่าเพียงแค่งานอดิเรกที่อันตราย !

หาโซลูชั่นที่ซับซ้อนของลูกบาศก์

อย่างที่เราได้เห็นข้างต้น หนึ่งในโซลูชั่นของลูกบาศก์หดหู่ไหมไหมไหม


หาอีกสองเรา factorise คับลูกบาศก์ที่ใช้ชื่ออะไรเหรอ


ทำไมตอนนี้เราสามารถใช้สูตรเพื่อหาโซลูชั่นที่ไม่มีของอะไรรึเปล่า


อะไรให้ซับซ้อน และแก้ไขต้นฉบับของเรา Cubic สมการ