2. The flow beneath a periodic trav

2. The flow beneath a periodic travelling wave with no underlying current
Steadily-progressing periodic wave trains represent the simplest non-trivial water-wave pattern, and yet their study is difficult for a variety of reasons. The governing equations are nonlinear and represent a free-boundary problem: the location of the water's free surface is not known beforehand but must be determined as part of the solution.

Let us specify the simplifying assumptions that are commonly made to describe these waves. The wave dynamics is dominated by the inertia of the fluid, the pressure gradient, and gravitational acceleration. For large scale waves fluid viscosity can be neglected since it is important only in very thin layers near the boundaries. Also, the effects of surface tension are relevant only for waves of small amplitude. The absence of underlying currents is captured by assuming that the flow is irrotational, setting that is appropriate for waves propagating into a region of water previously at rest. Moreover, since the density of water is about 103 times that of air, we can neglect the airflow about the water. Finally, we consider the flow to be two-dimensional, that is, with no variations in a direction parallel to the crest, with the periodic wave profile propagating at constant speed in a fixed direction, at the surface of a layer of water with a horizontal flat bed. These wave patterns, having a clearly defined shape, speed and direction, are not generated by the local wind but by distant weather systems. They are termed swell or Stokes waves. To describe them it suffices to consider a cross section of the flow in the direction of wave propagation, by choosing Cartesian coordinates (X, Y) with the X-axis pointing in the direction of wave propagation and the Y-axis pointing vertically upwards, while the origin is located on the mean water level Y = 0 and the flat bed is given by , where is the mean depth. Let be the velocity field and let be the water's free surface, where T stands for time. For water of constant density the equation of mass conservation is

Equation (1)
throughout the fluid; see [10]. The equation of motion is Euler's equation

Equation (2)
see [10], where is the pressure, g is the (constant) acceleration of gravity and ρ is the constant density. We draw attention to the fact that while in a compressible fluid the pressure determines the density, the present incompressible context withholds this effect and has to be regarded as a reaction to the constraint of incompressibility. The boundary conditions associated to (1) and (2) are

Equation (3)
and

Equation (4)
as well as

Equation (5)
on the free surface. The kinematic boundary conditions (3) and (4) reflect the fact that both boundaries are interfaces: particles on these boundaries are confined to them at all times (see the discussion in [10]). The dynamic boundary condition (5), in which stands for the (constant) atmospheric pressure at the surface, decouples the motion of the water from that of the air above. The condition of irrotational flow is expressed by

Equation (6)
throughout the fluid, while the setting of travelling waves corresponds to an (X, T)-dependence of the free surface H, of the pressure and of the velocity field (U, V) in the form , where is the (constant) propagation speed. Periodicity means an L-periodic X-dependence of all these unknown functions, where represents the wavelength; see figure 1. The equations (1)–(6) are the governing equations for irrotational travelling gravity water waves. Their nonlinear character is clearly visible in (2) and (4), being also hidden in (5), cf the discussion in section 2.1.1. As already pointed out, we deal with a free-boundary problem, since H is unknown. Another important aspect concerns the fact that (6) only guarantees that an underlying current must be uniform, and the absence of an underlying current amounts to imposing the condition of a vanishing mean flow; see (20) below. The considerations in section 2.1.1 will also clarify the non-trivial issue of the definition of the wave speed c.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. การไหลใต้คลื่นเดินทางเป็นครั้งคราวโดยไม่มีต้นแบบปัจจุบันลายคลื่นน้ำไม่ใช่เล็กน้อยที่ง่ายที่สุดแสดงถึงความก้าวหน้าอย่างต่อเนื่องเป็นระยะ ๆ คลื่นรถไฟ และยัง การเรียนเป็นเรื่องยากสำหรับหลากหลายเหตุผล สมการควบคุมจะไม่เชิงเส้น และแสดงถึงปัญหาเขตแดนฟรี: น้ำผิวฟรีสถานที่ไม่ทราบล่วงหน้า แต่ต้องกำหนดเป็นส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหาให้เราระบุสมมติฐาน simplifying ที่โดยทั่วไปการอธิบายคลื่นเหล่านี้ เปลี่ยนแปลงคลื่นที่ถูกครอบงำ ด้วยความเฉื่อยของของไหล ความดันไล่โทนสี และความโน้มถ่วงเร่ง สำหรับขนาดใหญ่ คลื่นของเหลวความหนืดสามารถจะที่ไม่มีกิจกรรมเนื่องจากเป็นชั้นบางมากใกล้ขอบเขตสำคัญเท่านั้น ยัง ผลกระทบของแรงตึงผิวได้สำหรับคลื่นของคลื่นขนาดเล็ก ของกระแสแบบจับภาพ โดยสมมติว่า การไหลเป็น irrotational การตั้งค่าที่เหมาะสมสำหรับคลื่นที่กระจายในภูมิภาคน้ำก่อนหน้านี้ที่เหลือ นอกจากนี้ เนื่องจากความหนาแน่นของน้ำ 103 เวลาที่อากาศเกี่ยวกับ เราสามารถละเลยเกี่ยวกับน้ำการไหลของอากาศ สุดท้าย เราพิจารณาการไหลเป็นสองมิติ คือ กับไม่เปลี่ยนแปลงในทิศทางขนานกับเครสท์ กับโพรไฟล์เป็นครั้งคราวคลื่นกระจายที่ความเร็วคงที่ในทิศทางคงที่ ที่พื้นผิวของชั้นน้ำมีเตียงแบนแนวนอน คลื่นรูปแบบเหล่านี้ มีรูปร่างที่ชัดเจนกำหนด ความเร็ว และทิศ ทาง ไม่สร้างลมท้องถิ่น แต่ โดยระบบสภาพอากาศระยะไกล พวกเขาจะเรียกว่าบวมหรือคลื่นสโตกส์ เพื่ออธิบายเรื่อง suffices การพิจารณาส่วนขนของการไหลในทิศทางของคลื่นการแพร่กระจาย เลือกพิกัดคาร์ทีเซียน (X, Y) กับชี้แกน x ในทิศทางของคลื่น เผยแพร่และการชี้แกน y แนวตั้งขึ้น ในขณะที่จุดเริ่มต้นอยู่ที่ค่าเฉลี่ยน้ำระดับ Y = 0 และแบนเตียงได้ ด้วย ซึ่งมีความลึกเฉลี่ย ให้มีฟิลด์ความเร็ว และให้เป็นพื้นผิวน้ำฟรี ที่ T ถึงเวลา น้ำความหนาแน่นคงที่ สมการการอนุรักษ์มวลเป็นสมการ (1)ทั่วทั้งของไหล ดู [10] สมการของการเคลื่อนไหวคือ สมการของออยเลอร์สมการ (2)ดู [10], ซึ่งเป็นแรงกดดัน g คือ แรงโน้มถ่วงของการเร่งความเร็ว (คง) และความหนาแน่นคงที่ρเท่านั้น เราดึงความสนใจในความเป็นจริงว่า ในขณะที่ในของไหลที่อัดตัวได้ ความดันกำหนดความหนาแน่น บริบท incompressible ปัจจุบัน withholds ลักษณะนี้ และได้ถือเป็นปฏิกิริยากับข้อจำกัดของ incompressibility เงื่อนไขขอบเขตเกี่ยวข้องกับ (1) และ (2) มีสมการ (3)และสมการ (4)เป็นสมการ (5)บนพื้นผิวฟรี เงื่อนไขขอบเขตจลน์ (3) และ (4) สะท้อนความจริงขอบทั้งสองอินเทอร์เฟซ: อนุภาคในขอบเขตเหล่านี้จะถูกคุมขังไปทุกครั้ง (ดูคำอธิบายใน [10]) แบบขอบเขตเงื่อนไข (5), ซึ่งหมายถึงความดันบรรยากาศ (คง) ที่พื้นผิว decouples การเคลื่อนไหวของน้ำจากอากาศด้านบน สภาพของกระแส irrotational แสดงโดยสมการ (6)ตลอดทั้งน้ำ ในขณะที่การตั้งค่าของการเดินทางของคลื่นตรงกับ (X, T) -พึ่งพาผิวฟรี H ของความดัน และความเร็ว (U, V) ในเงิน แบบฟอร์มเผยแพร่ (คงที่) ความเร็ว ประจำงวดหมายความว่า มี L งวด X อาศัยของฟังก์ชันทั้งหมดไม่รู้จักเหล่านี้ ซึ่งแสดงถึงความยาวคลื่น ดูรูป 1 สมการ (1)–(6) ได้สมการควบคุมคลื่นน้ำแรงโน้มถ่วงเดินทาง irrotational อักขระไม่เชิงเส้นของพวกเขาจะมองเห็นได้ชัดเจนใน (2) และ (4), ยังมี cf ใน (5), การสนทนาในหัวข้อ 2.1.1 เป็นแล้วชี้ออก เราจัดการกับปัญหาขอบเขตฟรี H เป็นไม่ทราบ ด้านสำคัญเกี่ยวข้องกับความจริงที่ค้ำประกันเฉพาะที่ (6) ที่ปัจจุบันอยู่ภายใต้การต้องเครื่องแบบ การขาดงานเป็นต้นปัจจุบันยอดสง่างามเงื่อนไขกระแสเฉลี่ย vanishing ดู (20) ด้านล่าง ข้อควรพิจารณาในหัวข้อ 2.1.1 จะยังชี้แจงเรื่องเล็กน้อยไม่ใช่นิยามของ c ความเร็วคลื่น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . การไหลใต้เป็นระยะเดินทางคลื่นไม่มีต้นแบบปัจจุบัน
อย่างต่อเนื่องความคืบหน้ารถไฟคลื่นเป็นระยะแสดงง่ายไม่จุกจิก ลายคลื่นน้ำ และยังได้ศึกษายากสำหรับหลากหลายเหตุผล สมการไม่เชิงเส้นแสดงขอบเขตและเป็นปัญหาฟรีสถานที่ตั้งของพื้นผิวฟรีน้ำก็ไม่เป็นที่รู้จักก่อน แต่ต้องได้รับการพิจารณาเป็นส่วนหนึ่งของโซลูชั่น

ให้เรากำหนด ทำให้สมมติฐานที่มักทำเพื่ออธิบายคลื่นเหล่านี้ คลื่นพลศาสตร์เป็น dominated โดยความเฉื่อยของของไหล ความดัน การไล่ระดับสี และความเร่งแรงโน้มถ่วงสำหรับคลื่นขนาดใหญ่ความหนืดของเหลวสามารถละเลยมันสำคัญเฉพาะในชั้นบางมากใกล้ขอบเขต นอกจากนี้ผลของแรงตึงผิวที่เกี่ยวข้องมีเพียงคลื่นของคลื่นขนาดเล็ก ขาดอ้างอิงกระแสถูกจับโดยสมมติว่าไหลเป็น irrotational , การตั้งค่าที่เหมาะสมสำหรับคลื่นแพร่กระจายสู่ภูมิภาคของน้ำ ที่เคยพักนอกจากนี้ เนื่องจากความหนาแน่นของน้ำประมาณ 103 เท่าของอากาศ เราสามารถละเลยการเกี่ยวกับน้ำ ในที่สุด เราพิจารณาการไหลเป็นสองมิติ คือ ไม่มีการเปลี่ยนแปลงในทิศทางขนานกับยอด กับคลื่นโปรไฟล์เดิมที่ความเร็วคงที่เป็นระยะ ๆในทิศทางที่คงที่ ที่พื้นผิวของชั้นของน้ำที่มีแนวนอนแบนเตียง เหล่านี้รูปแบบคลื่นมีรูปร่างชัดเจน ความเร็ว และทิศทาง ไม่ได้สร้างโดยลมท้องถิ่น แต่โดยระบบสภาพอากาศที่ห่างไกล พวกเขาจะเรียกว่าบวมหรือ Stokes โต้คลื่น เพื่ออธิบายมันก็ให้พิจารณารูปตัดของการไหลในทิศทางของการกระจายของคลื่นโดยเลือกพิกัด ( x ,Y ) กับแกน x ชี้ไปในทิศทางของการกระจายของคลื่นและแกน y ชี้ในแนวตั้งขึ้น ในขณะที่ประเทศตั้งอยู่บนหมายถึงระดับน้ำ Y = 0 และ เตียงแบนให้ ไหนหมายถึงความลึก ให้ความเร็วที่สนาม และปล่อยให้ผิวฟรีของน้ำ ที่ไม่ยืนสำหรับเวลา ความหนาแน่นของน้ำคงที่ สมการอนุรักษ์มวลเป็นสมการ ( 1 )


ตลอดของไหล การเห็น [ 10 ] สมการของการเคลื่อนไหวของสมการออยเลอร์คือสมการ ( 2 )

เห็น [ 10 ] ที่เป็น ความดัน , g คือความเร่งของแรงโน้มถ่วง ( คงที่ ) และ ρมีความหนาแน่นคงที่ เราดึงความสนใจไปจากข้อเท็จจริงที่ว่าในขณะที่ในของไหลอัดความดันที่กำหนดความหนาแน่นบริบทอัด ปัจจุบันปกปิดผลกระทบนี้ และต้องถือว่าเป็นปฏิกิริยากับข้อจำกัดของ incompressibility . ขอบเขตเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับ ( 1 ) และ ( 2 )


สมการ ( 3 ) และ ( 4 )

สมการเป็นสมการ ( 5 )

บนพื้นผิวฟรี ขอบเขตเงื่อนไขที่การเมือง ( 3 ) และ ( 4 ) สะท้อนให้เห็นถึงความจริงว่า ทั้งขอบเขตการเชื่อมต่อ :อนุภาคในขอบเขตเหล่านี้อยู่ได้ตลอดเวลา ( ดูการอภิปรายใน [ 10 ] ) เงื่อนไขขอบเขตแบบไดนามิก ( 5 ) ซึ่งย่อมาจาก ( คงที่ ) ความกดอากาศที่พื้นผิว decouples การเคลื่อนที่ของน้ำจากอากาศข้างบน สภาพ irrotational ไหลแสดงโดยสมการที่ ( 6 )

ตลอดของไหลในขณะที่การตั้งค่าของคลื่นเดินทางที่สอดคล้องกับ ( x , t ) - การพึ่งพาของ H พื้นผิวฟรีของความดันและความเร็วของข้อมูล ( u , v ) ในรูปแบบไหน ( คงที่ ) ความเร็วการขยายพันธุ์ . อย่าง หมายถึง x-dependence l-periodic ของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักทั้งหมดเหล่านี้ที่แสดงถึงแสง ; ดู 1 รูปสมการ ( 1 ) และ ( 6 ) เป็นสมการสำหรับ irrotational เดินทางแรงโน้มถ่วงน้ำคลื่น ตัวแบบไม่เชิงเส้นของพวกเขาสามารถมองเห็นได้อย่างชัดเจนใน ( 2 ) และ ( 4 ) ที่ยังซ่อนอยู่ใน ( 5 ) CF การอภิปรายในส่วนของตัว . ตามที่บอก เราจัดการกับปัญหาชายแดนฟรีตั้งแต่ H จะไม่รู้จักอื่นที่สำคัญด้านความกังวลที่ว่า ( 6 ) รับประกันว่าเป็นต้นปัจจุบันต้องสม่ำเสมอ และการขาดของปริมาณเป็นต้นปัจจุบันการเงื่อนไขของหายไหล ( 20 ) ; ดูด้านล่าง ข้อควรพิจารณาในส่วนตัวจะยังชี้แจงไม่ปัญหาจิ๊บจ๊อยของคำนิยามของคลื่นความเร็ว C