Homological Dimension in Semigroup

Homological Dimension in Semigroup Algebras
WILLIAM R. NICO*
Department of AJathematics, Tulane University, New Orleans, La., 10118
Communicated by Saunders MacLane
Received PvIay 16, 1970
If S is a semigroup with identity and k is a commutative ring with identity,
let kS be the semigroup algebra. For M a left KS-module, let d&M) be the
projective dimension of M. Then D(kS) = I.gl.dim(kS) = sup{d&M) : &I is
a left kS-module). For S a finite regular semigroup, we obtain an upper bound
for D(kS) in terms of properties of the composition factors of S and of
(D(kG) : G C S a maximal subgroup}. Using this we find that if k is a field
of characteristic relatively prime to the orders of the maximal subgroups of S,
then D(kS) is finite, and that if S is completely O-simple, this bound is attained.
We can also use this to show that if S is a finite, regular, combinatorial
semigroup, then the cohomology groups H”(S, -) vanish for sufficiently
high dimension.
1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ขนาด homological ใน Semigroup Algebras วิลเลียมอาร์ NICO * แผนกของ AJathematics มหาวิทยาลัย Tulane นิวออร์ลีนส์ La., 10118 สื่อสาร โดย MacLane ซอนเดอร์ส ได้รับ PvIay 16, 1970 ถ้า S คือ semigroup กับรหัสประจำตัวและ k เป็นสลับกับตัวตน ให้เอสเป็นพีชคณิต semigroup สำหรับ M ซ้าย KS-โม ให้ d และ M) ได้ ขนาด projective เมตร แล้ว D(kS) = I.gl.dim(kS) =ดื่ม {d&M): และฉันเป็น ด้านซ้าย kS-โมดูล) สำหรับ S semigroup ปกติการจำกัด เราได้รับมีขอบเขตบน สำหรับ D(kS) ในคุณสมบัติของปัจจัยองค์ประกอบ ของ S และ (D(kG): S C G กลุ่มย่อยสูงสุด} เราพบว่าถ้า k เป็นเขตข้อมูลใช้ ของลักษณะค่อนข้างเฉพาะกับใบสั่งย่อยสูงสุดของ S แล้ว D(kS) มาจำกัด ว่า ถ้า S O ง่ายสมบูรณ์ นี้ถูกผูกไว้จะบรรลุ เรายังสามารถใช้นี้เพื่อแสดงว่า S มีการจำกัด ปกติ ปัญหา semigroup แล้วกลุ่ม cohomology H "(S,-) กลีบสำหรับเพียงพอ ขนาดสูง 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

homological มิติใน semigroup Algebras
วิลเลียมอา NICO *
กรม AJathematics มหาวิทยาลัยทูเลน, New Orleans, La. 10118
สื่อสารโดยแซนเดอ MacLane
รับ PvIay 16 1970
ถ้า S เป็นกึ่งกลุ่มที่มีตัวตนและ k
เป็นสับเปลี่ยนแหวนที่มีตัวตนให้KS เป็นพีชคณิต semigroup สำหรับ M ซ้าย KS-โมดูลให้ d & M)
เป็นมิติprojective เอ็มแล้ว D (KS) = I.gl.dim (KS) = จีบ {d & M)
และฉันซ้ายKS-โมดูล) สำหรับ S a semigroup
ปกติแน่นอนเราได้รับบนผูกพันกับD (KS) ในแง่ของคุณสมบัติของปัจจัยองค์ประกอบของ S และ
(D (kg). GCS กลุ่มย่อยสูงสุด} ใช้นี้เราพบว่าถ้า k เป็น
สนามของลักษณะความสำคัญกับคำสั่งของกลุ่มย่อยสูงสุดของS,
แล้ว D (KS) มี จำกัด และถ้า S เป็นสมบูรณ์ O-ง่ายผูกพันนี้จะบรรลุ.
นอกจากนี้เรายังสามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าถ้า S เป็น จำกัด ปกติ combinatorial
semigroup แล้วกลุ่มโฮโมโลจี้ H "(S, -)
หายไปพอสมควรสำหรับมิติที่สูง.
1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เซมิกรุปพีชคณิต homological มิติ

William R . นิโก้ ภาควิชา ajathematics มหาวิทยาลัยทูเลน , New Orleans , La , 10118
สื่อสารโดย Saunders maclane
ได้รับ 16 pviay 1970
ถ้า S เป็นกึ่งกลุ่มที่มีเอกลักษณ์และ K คือการสับเปลี่ยนแหวนที่มีเอกลักษณ์
ให้ KS เป็นเซมิกรุปพีชคณิต สำหรับเมตรซ้าย KS โมดูลให้ D & M )
มิติ projective ของเอ็มแล้ว D ( KS ) = i.gl .มัว ( KS ) = sup { D & m ) : & I
ซ้าย KS โมดูล ) สำหรับขอบเขตปกติของกึ่งกรุปเราได้รับขอบเขตบน
d ( KS ) สำหรับในแง่ของคุณสมบัติขององค์ประกอบปัจจัยและของ
( D ( กิโลกรัม ) : G C เป็นกลุ่มย่อยสูงสุด } ใช้นี้เราพบว่าถ้า k เป็นเขต
ลักษณะค่อนข้างเฉพาะกับคำสั่งของสูงสุดกลุ่มย่อยของ S ,
d ( KS ) เป็นที่แน่นอนแล้ว และถ้าเป็น o-simple อย่างสมบูรณ์ ,ผูกพันนี้จะบรรลุ
เราก็สามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าถ้าเป็นวิธีปกติ การ
กึ่งกลุ่ม แล้วกลุ่มโฮโม H " s ( , - ) หายไปพอสมควร
มิติสูง
1