AbstractGenerally, integer solution

Abstract

Generally, integer solutions to equations of three or more variables are given in various parametric forms (see [3]). In [2] it is proved that the diophantine equation x + y + z = xyz has solutions in the units

of the quadratic field Q(

√

d) if and only if d = −1,2, or 5 and in

these cases all solutions are also given. The problem of finding all of its solutions remains open. In this paper we will construct different families of infinite positive integer solutions to the equation:

(x + y + z)2 = xyz(1)

We will indicate a general method of generating such families of solutions by using the theory of Pell‘s equations. It seems that the problem of finding all solutions to equation (1) is a difficult one and it is still open.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อทั่วไป แก้ไขสมการของสาม หรือมากกว่าตัวแปรจำนวนเต็มจะได้รับแบบพาราเมตริก (ดู [3]) ใน [2] จะเป็นเครื่องพิสูจน์ที่สมการ diophantine x + y + z = xyz ลดต่ำมีโซลูชั่นในหน่วยของ(กำลังสอง field Q√ถ้า d) และก็ต่อเมื่อ d = −1, 2 หรือ 5 และในกรณีเหล่านี้ยังได้แก้ไขปัญหาทั้งหมด ปัญหาของ finding ทั้งหมดของโซลูชั่นยังคงเปิด ในเอกสารนี้ เราจะสร้างครอบครัว different infinite โซลูชั่นของจำนวนเต็มบวกกับสมการ:(x + y + z) 2 = xyz(1)เราจะแสดงวิธีการสร้างครอบครัวเช่นโซลูชั่นโดยใช้ทฤษฎีของสมการของ Pell ทั่วไป เหมือนว่า ปัญหาของ finding ทั้งหมดแก้ไขสมการ (1) เป็น difficult ตัวหนึ่งและมันยังเปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อโดยทั่วไปโซลูชั่นจำนวนเต็มสมการของสามหรือมากกว่าตัวแปรที่จะได้รับในรูปแบบต่างๆพารา (ดู [3]) ใน [2] จะพิสูจน์ว่าสม Diophantine x + y ที่ + ซี = xyz มีการแก้ปัญหาในหน่วยของELD ไฟกำลังสอง Q (√ง) ถ้าหาก d = -1,2 หรือ 5 ในกรณีเหล่านี้ทั้งหมดการแก้ปัญหายังจะได้รับ ปัญหาที่เกิดจากไฟ nding ทั้งหมดของการแก้ปัญหาของมันยังคงเปิดอยู่ ในบทความนี้เราจะสร้างดิฉฉครอบครัวต่างกันในการแก้ปัญหาจำนวนเต็มไฟกลางคืนบวกกับสมการนี้: (x + y ที่ + ซี) 2 = xyz (1) เราจะแสดงให้เห็นวิธีการทั่วไปในการสร้างครอบครัวเช่นการแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีของสมการของเพลล์ ดูเหมือนว่าปัญหาที่เกิดจากไฟ nding การแก้ปัญหาทั้งหมดเพื่อสมการ (1) เป็นลัทธิ FFI di หนึ่งและมันยังคงเปิดอยู่