Observe that an SR-matrix A is irre

Observe that an SR-matrix A is irreducible and μ(A) ≥ 1 [10]. Although our primary interest is in
SR-matrices, it is noteworthy that many of our results also hold true for non-zero reducible matrices.
For A ∈ Rn×n
+ withμ(A) ≤ 1, I⊕A⊕A2
⊗ ⊕··· converges to a finite matrix called the Kleene star of
A given by A∗ = I ⊕A⊕A2
⊗ ⊕···⊕An−1
⊗ where μ(A∗) = 1 [1,7,28]. Here, a∗
ij is the maximum weight
of a path from i to j of any length [16] (if i = j), and Ak
⊗ denotes the kth max-algebraic power of A. Note
that for each A ∈ Rn×n
+ , if A∗ is finite then the max-algebraic sum of all of the columns of A∗ is positive.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สังเกตว่า SR เมตริกซ์ A เป็นอย่างต่ำ และ μ(A) ≥ 1 [10] แม้ว่าดอกเบี้ยหลักของเราอยู่ในSR-เมทริกซ์ เป็นที่น่าสังเกตว่า ผลของเรามากมายยังถือจริงสำหรับเมทริกซ์ reducible ศูนย์ไม่สำหรับการ∈ Rn × nwithμ(A) ≤ 1, I⊕A⊕A2 +⊗ ⊕··· converges จะเรียกดาว Kleene ของเมทริกซ์จำกัดโดย A∗ A =ฉัน ⊕A⊕A2⊗ ⊕··· ⊕An−1⊗ที่ μ(A∗) = 1 [1,7,28] ที่นี่ a∗ij แคเป็นน้ำหนักสูงสุดเส้นทางจากฉันไปเจยาว [16] ของ (ถ้าฉัน = j), และ Ak⊗หมายถึงอำนาจสูงสุดพีชคณิต kth A. ตั๋วที่สำหรับแต่ละ A ∈ Rn × n+, A∗ มีแล้วผลรวมของคอลัมน์ของ A∗ สูงสุดพีชคณิตว่าบวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สังเกตว่าเออาร์แมทริกซ์คือลดลงและμ (A) ≥ 1 [10] แม้ว่าความสนใจหลักของเราคือในการฝึกอบรม-SR ก็เป็นที่น่าสังเกตว่าหลายผลของเรายังถือเป็นจริงสำหรับไม่ใช่ศูนย์ฝึกอบรมออกซิเจน. สำหรับ∈ Rn × n + withμ (A) ≤ 1, I⊕A⊕A2⊗⊕· ··ลู่ไปยังเมทริกซ์ จำกัด ที่เรียกว่าดาว Kleene ของที่กำหนดโดย* A = ฉัน⊕A⊕A2⊗⊕···⊕An-1 ⊗ที่μ (A *) = 1 [1,7,28] นี่เป็น * เจเป็นน้ำหนักสูงสุดของเส้นทางจาก i เพื่อญของความยาวใด ๆ [16] (ถ้าฉัน = ญ) และ Ak ⊗ KTH หมายถึงอำนาจสูงสุดเกี่ยวกับพีชคณิตของเอหมายเหตุว่าสำหรับแต่ละ∈ Rn × n + A * ถ้ามี จำกัด แล้วรวมสูงสุดเกี่ยวกับพีชคณิตของคอลัมน์ทั้งหมดของ A * เป็นบวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สังเกตว่า SR เมทริกซ์และจะลดμ ( ) ≥ 1 [ 10 ] แม้ว่าดอกเบี้ยหลักของเราคือใน
SR เมทริกซ์ เป็นที่น่าสังเกตว่าหลายผลของเรายังถือเป็นจริงสำหรับลดไม่เป็นเมทริกซ์
สำหรับ∈ Rn × N
กับμ ( ) ≤ 1 ⊕เป็น⊕ A2
⊗⊕···เข้าสู่เมทริกซ์จำกัด เรียกว่า kleene ดารา
ให้โดย เป็น∗ = ฉัน⊕เป็น⊕ A2
⊗⊕···⊕เป็น− 1
⊗ที่μ ( ∗ ) = 1 [ 1,7,28 ] นี่ ∗
แอลเจเป็นสูงสุดน้ำหนัก
ของเส้นทางจากฉันกับ เจ ของความยาวใด ๆ [ 16 ] ( ถ้าผม = J ) และ AK
⊗แสดงทศนิยม kth แม็กซ์พีชคณิตอำนาจ . หมายเหตุ
ที่แต่ละ∈ Rn × N
ถ้า∗เป็นที่แน่นอนแล้ว แมกซ์ พีชคณิต ผลรวมของทั้งหมดของ คอลัมน์ของ∗เป็นบวก