Theorem 3.1. The set of the units o

Theorem 3.1. The set of the units of Z [α] is {∓α
n
: n ∈ Z}.
Proof. To prove the theorem, it is sufficient to show that every unit ω ≥ 1 is of the form α
n
for some n ≥ 0. Firstly, we show
that there is no unit ω such that 1 < ω < α. Assume that ω = αx+y is a unit in Z [α] such that 1 < ω < α. Thus since αx+y
is a unit, −x
2 + kxy + y
2 = (αx + y) (αx + y) = ±1 and therefore |αx + y| |αx + y| = 1. Since |(αx + y) (αx + y)| = 1
and 1 < αx + y, it is seen that |αx + y| < 1. Therefore −1 < αx + y < 1. Then it follows that 0 < x(α + α) + 2y, i.e.,
0 < kx + 2y.
On the other hand, since −1 < −αx − y < 1 and 1 < αx + y, we see that 0 < x(α − α) =
√
k
2 + 4

x. Therefore
x > 0. Since 1 < αx + y < α, y < α − αx = α(1 − x) ≤ 0. That is, y < 0. Moreover, since kxy + y
2 = ∓1 + x
2 ≥ 0, it
follows that y (kx + y) ≥ 0. Then we get kx + y ≤ 0, since y < 0. The fact that 0 < kx + 2y, kx + y ≤ 0, and y < 0 give us a
contradiction.
Now let ω > 1 be a unit and ω ̸= α. If ω ̸= α
n
for every integer n ≥ 2, then it follows that α
m < ω < αm+1
for some
m ∈ N with m ≥ 2. Thus 1 < ω/αm < α and ω/αm is a unit in Z [α]. But this is impossible. Therefore ω = α
n
for some
n ≥ 2. This shows that if ω ≥ 1 is any unit, then ω = α
n
for some n ≥ 0.
It can be shown easily that
α
n = αUn + Un−1 (3.1)
and
U
2
n − kUnUn−1 − U
2
n−1 = (−1)
n+1
(3.2)
for every n ∈ Z. Now we give the following theorem. From now on unless otherwise stated, we will assume that k ≥ 1, is
an integer.
The proof of the following theorem is given in [9,10,8]. We will give its proof.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 3.1 ชุดของหน่วยงานของซี [α] คือ {∓α
n
: n ∈ Z}.
หลักฐาน เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทก็จะเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าหน่วยω≥ 1 ทุกคนมีของแบบฟอร์มα
n
สำหรับ n ≥ 0. บางประการแรกเราแสดงให้เห็น
ว่าไม่มีหน่วยωดังกล่าวที่ 1 <ω <α สมมติว่าω = αx + Y เป็นหน่วยใน Z [α] ดังกล่าวที่ 1 <ω <α ดังนั้นตั้งแต่αx + Y
เป็นหน่วย -x
2 + kxy + Y
= 2 (αx + y) (αx + y) = ± 1 และดังนั้นจึง | αx + Y | | αx + Y | = 1. ตั้งแต่ | (αx + y) (αx + y) | = 1
และ 1 <αx + Y ก็จะเห็นได้ว่า | αx + Y | <1 ดังนั้น -1 <αx Y + <1 แล้วมันตามที่ 0 <X (αα +) + 2y คือ
0 <KX + 2y.
บนมืออื่น ๆ ตั้งแต่ -1 <-αx - Y < 1 และ 1 <αx + Y เราจะเห็นว่า 0 <x (α - α) =
√
K
2 + 4

x ดังนั้น
x> 0 ตั้งแต่วันที่ 1 <αx + Y <α, y <α - αx = α (1 - x) ≤ 0. นั่นคือ Y < 0. นอกจากนี้ตั้งแต่ kxy + Y
2 = ∓1 + X
2 ≥ 0 มัน
ตามที่ Y (KX + Y) ≥ 0. จากนั้นเราได้รับ KX + Y ≤ 0 ตั้งแต่ Y < 0. ความจริงที่ว่า 0 <KX + 2y, KX + Y ≤ 0, และ Y <0 ให้เรา
ความขัดแย้ง.
ตอนนี้ขอω> 1 เป็นหน่วยและω̸ = α หากω̸ = α
n
สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 2 จากนั้นก็ต่อว่าα
M <ω <αm + 1
สำหรับบาง
M ∈ N กับ M ≥ 2. ดังนั้น 1 <ω / αm <αและω / αmเป็นหน่วย ใน Z [α] แต่นี้เป็นไปไม่ได้ ดังนั้นω = α
n
สำหรับบาง
n ≥ 2 นี้แสดงให้เห็นว่าถ้าω≥ 1 เป็นหน่วยใด ๆ แล้วω = α
n
สำหรับ n ≥บาง 0.
มันสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่า
α
n = αUn + Un-1 (3.1)
และ
U
2
n - kUnUn-1 - U
2
n-1 = (-1)
1 + n
(3.2)
สำหรับ n ∈ซีตอนนี้เราให้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ทุก จากนี้ไปถ้าอย่างนั้นเราจะถือว่า k ≥ 1 เป็น
จำนวนเต็ม.
พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะได้รับใน [9,10,8] เราจะให้หลักฐาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 3.1 . ชุดของหน่วยของ Z [ α ] { ∓αn: N ∈ Z }พิสูจน์ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎี มันก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่าทุกหน่วยω≥ 1 เป็นรูปแบบαnสำหรับ n ≥ 0 ประการแรก เราแสดงที่ไม่มีหน่วยωเช่น 1 < ω < α . สมมติว่า ω = α x + Y เป็นหน่วยใน Z [ α ] เช่น 1 < ω < α . ดังนั้น ตั้งแต่α X + Yเป็นหน่วย บริษัท เวสเทิร์น เอ็กซ์2 + kxy + Y2 = ( α x + y ) ( α x + y ) = ± 1 จึง | α x + Y | | α x + Y | = 1 ตั้งแต่ | ( α x + y ) ( α x + y ) | = 1และ 1 < α x + y , จะเห็นได้ว่า | α x + Y | < 1 ดังนั้นα x + y − 1 < < 1 แล้วมันเป็นไปตามที่ 0 < x ( α + α ) + 2y ได้แก่0 < KX + 2y .บนมืออื่น ๆ , ตั้งแต่− 1 < −α x y − 1 < < 1 α x + y , เราดูที่ 0 < x ( α−α ) =√เค2 + 4X . ดังนั้นx > 0 ตั้งแต่ 1 < < αα x + Y Y < α−α x = α ( 1 − X ) ≤ 0 นั่นคือ y < 0 เนื่องจาก kxy + Y2 = ∓ 1 + X2 ≥ 0 ,คือว่า Y ( KX + Y ) ≥ 0 งั้นเราเอา KX + Y ≤ 0 ตั้งแต่ y < 0 ความจริงที่ว่า 0 < KX + 2y KX + Y ≤ 0 , y < 0 ให้เราความขัดแย้งตอนนี้ให้ω > 1 เป็นหน่วยและω̸ = α . ถ้าω̸ = αnสำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 2 แล้วมันเป็นไปตามที่αω m < < α M + 1สำหรับบาง∈ M กับ M ≥ 2 ดังนั้น 1 < ω / α M < αω / และα M เป็นหน่วยใน Z [ α ] แต่มันเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นω = αnสำหรับบางN ≥ 2 นี้แสดงให้เห็นว่าถ้าω≥ 1 เป็นหน่วยใด แล้วω = αnสำหรับ n ≥ 0มันสามารถแสดงได้ว่าαN = αไม่ + UN − 1 ( 3.1 )และU2kunun n −− 1 − U2n − 1 = ( − 1 )N + 1( 3.2 )สำหรับทุก n ∈ ซี ตอนนี้เราให้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ จากนี้ไป เว้นแต่ที่ระบุไว้เป็นอย่างอื่น ถือว่าเป็น≥ K 1เป็นจำนวนเต็มข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทต่อไปนี้จะได้รับใน [ 9,10,8 ] เราจะให้มันพิสูจน์