of order 7 in C,(a). As JY& acts fa

of order 7 in C,(a). As JY& acts faithfully on Q n Qa/(a, a) and on
CJa)/Q n QU which are both of order 211, so by [7, (1) (iii)] ; Cono,,ca,aj(pr), =
1 Cc-o~a);ono,(~J = 4. Hence Co(p,) N 0,s. Let 0 be an element of order 23
in M. Then obviously C,(e) N D, and [Q, 01 N 0:‘. Let h be an element of
order 13 in M. As 3 i C’,(x). by the structure of .l, we ha-e Cd(x) = 1. Let t
be an element of order 11 in 111. Since Nv(8) is a Frobenius group of order
23 * 11, it follow-s that Co( 6) E Dsz and [Q, 51 N 0:‘. There exists an element
p of order 3 in A1 such that C’*(p) is the “triple cover of SZ” (Sz is the Suzuki’s
sporadic simple group of order 2 l8 . 37 . 5’ * 7 . 11 * 13). As an element of
order 13 of C&) acts fixed-point-free on $3, so Cd(p) = 1. Let ja be an
element of order 7 in C:v(i;), then either [Q, p;I N D,e or [Q, pa] = Q. As X
has exactly two conjugacy classes of elements of order 7, so p1 +a pa . Xow
we can assume that (pr , pa) is an S,-subgroup of M. Suppose that [Q, pa] N DBB.
So Co(~a) N Da6. Obviously C&r) n Co(~a) = (a>, otherwise Co(pr) C Co(,,)
which is not the case since 7 1 M : C.,,(a)!. It follows that Cob) N Ds3 for
every p E (pr , pa) - (pa) and so jj -:m A . Thus (pi , &) contains 42 conjugates
of p1 and 6 conjugates of Pa in Au. This implies that 7 1 : A~~((& , pa>)!

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สั่ง 7 ใน C,(a) จรรยาและ faithfully ใน Q n Qa / (การ ความ) และในCJa) /Q n โต๊ะซึ่งมีทั้งสั่ง 211 ดังนั้นด้วย [7, (1) (iii)]; Cono,,ca,aj(pr), =1 cc โอ ~ การ); โอโนะ, (~ J = 4 ดังนั้น Co(p,) N 0,s ให้มีองค์ประกอบของลำดับ 23 0ในม. แล้วชัด C,(e) N D และ [Q, N 0 01:'. ให้ h เป็นองค์ประกอบของสั่ง 13 ใน M เป็น 3 ฉัน C',(x) โดยโครงสร้างของ.l เรา ha-e Cd(x) = 1 ให้ tมีองค์ประกอบของใบสั่งใน 11 111 Nv(8) เป็น กลุ่มโฟรเบนีอุสของใบสั่งได้ 23 * 11, s ตามที่ Dsz E Co (6) และ [Q, N 0 51:'. มีองค์ประกอบp ของสั่ง 3 A1 ให้ C'*(p) เป็น "ทริปกของ SZ" (Sz เป็นของซูซูกิกลุ่มอย่างมีของสั่ง 2 l8 37 5' * 7 11 * 13) เป็นองค์ประกอบของลำดับที่ 13 ของ C &) กระทำ fixed-point-ฟรี $3, Cd(p) ดังนั้น = 1 จะสามารถให้การองค์ประกอบของลำดับ 7 ใน C:v(i;) แล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง [Q, p N D, e หรือ [Q, pa] = Q เป็น Xมีสองชั้น conjugacy ขององค์ประกอบของลำดับ 7 ดังนั้น p1 + ป่า Xowเราสามารถสมมติว่า (pr, pa) เป็น S, -กลุ่มย่อยของเมตรสมมติว่า [Q, pa] N DBBดังนั้น Co(~a) Da6 N แน่นอน C และ r) n Co(~a) = (การ >, Co(,,) C Co(pr) อื่น ๆซึ่งไม่ใช่กรณีตั้งแต่ 7 1 M: C.,,(a) เป็นไปตามที่ Cob) Ds3 N สำหรับทุกอีพี (pr, pa) - (pa) และเจ เจนั้น-: m A ดังนั้น (ปี่ และ) ประกอบด้วย 42 conjugatesp1 และ conjugates 6 ของป่าใน Au นี้หมายถึงที่ 7 1: A ~ ~ ((&, pa >)[Q, ~ การ] = Q และ C และป่า) = 1 1v กลุ่มมีเป็นกลุ่มย่อย A c A @ซึ่งประกอบด้วยที่ centralizers ในลำดับธรรมชาติของกลุ่มย่อย A, (2 G 11 d 9)ซิมี ใน tl = 2, 3,... 9 กลุ่มต่อไปนี้ ฉัน 3S2, G,(4), Ja, C และ 3), b(2)ได้,, 2S เป็นไปตามที่ป่าเป็น cj เป็นองค์ประกอบของใบสั่ง 5 ! v และCd(G) = 1 ตอนนี้ w e อยู่ในตำแหน่งเพื่อกำหนดวงโคจรของ involutions ที่M โกหกใน Q - (z) ประการแรก เราทราบที่ i(Q) - atI = 2A .3s * 5 .7 13 =196,560 ที่ i(Q) เป็นของ involutions noncentral ของ Q ให้ t เป็นการอาวัตนาการใน Q - s t vrith-v (a) 2 แล้ว * * 3 5 * 7 * 13 1 j M: C, l (t)นอกจากนี้ เรามี 11 1 'CM(t)', CAM f 1 หรือ 11 (และดังนั้น 23 + ค. + l (t) ฉันเป็น Xv < @คือกลุ่มโฟรเบนีอุสสั่ง 23 * 11 และ Co(e) D N โดยที่ B คือการองค์ประกอบของลำดับ 23, W, 2 ดังนั้น * การ 3 ~ 5 ~ 7lll3 ~ 23 ~, M:C, lbut (t)2 * * 3 5 * 7 11 * 13 23 > 196,560 ซึ่งไม่ใช่กรณี ในทางตรงข้ามเราสามารถสมมติที่ 23 ฉันเจ l C-W (t) ตั้งแต่ 1 23 อื่น ๆ: M: ซม. (t) 1 สำหรับทุกอาวัตนาการ t E Q - (ตัว} t +
เป็น 2 ดังนั้น * 3 5 7 13 น. 23: C.M(t)ดังนั้นฉัน M: l C.W (t) = 2a 3 5 7 13 23 = 125,580 ซึ่งเป็นความขัดแย้งh-อ่าว สมมติว่า มีการอาวัตนาการ x E Q - แล้ว clearly2' * 3 5 * 7 13 23 1 ผม 171: & l (t) และให้เจ M: C, 1 (x) =ฉัน xFyI ฉัน =2" 3 5 7 * 13 23 = 125,580 นี้หมายถึงการที่ Q - (z) มีวงโคจรที่สามของ involutions ภายใต้การดำเนินการของ M กับ representativ es a, a และต.เรามี M: C,w(t)' = 2 " * 3" 5”’ . ตำแหน่ง 7 * 13 k,, m เป็นจำนวนเต็มบวกและ k > 2 โดยการคำนวณอย่าง อียูเห็นว่า มีไม่มีโซลูชั่นสำหรับการสมการ 2" 3z m 5 * 7 13 + 125,580 = 196,560 นี้พิสูจน์ที่ Q - (z }มีสองชั้น conjugacy ของ involutions กับตัวแทน และ tและ ' 31: C และ, (t)' = 24 3s * 5 7 * 13 โดย [9, (3.1311 เราได้ + อ. r เรามีพิสูจน์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ลำดับ 7 ใน C ( A ) ตามที่คุณ&กระทำสัตย์ต่อ Q N QA / ( , ) และ
/ Q N คู cja ) ซึ่งมีทั้งของการสั่งซื้อ 211 โดย [ 7 ( 1 ) ( 3 ) ] ; โคโน , CA , AJ ( PR ) =
1 cc-o ~ ) ; โอโนะ ( ~ J = 4 ดังนั้น CO ( P ) N O , S . ให้ 0 เป็นองค์ประกอบของคำสั่ง 23
ในม. แล้วเห็นได้ชัดว่า C ( E ) N D และ Q , [ 0 : 01 n ' ให้ H เป็นองค์ประกอบของ
สั่ง 13 ในม. 3 ฉัน C ' ( x ) โดยโครงสร้างของ ผม เราฮา N - ผลิตซีดี ( X ) = 1 ให้ t
เป็นองค์ประกอบของคำสั่ง 11 111 . ตั้งแต่ NV ( 8 ) คือ กลุ่มของโฟรเบนีอุสสั่ง
23 * 11 , มัน follow-s ที่ CO ( 6 ) dsz Q และ E [ , 0 : 51 N ' มีองค์ประกอบ
P ลำดับ 3 ใน A1 เช่น C ' * ( P ) คือ " ครอบคลุมสามของ SZ " ( SZ เป็นกลุ่มง่ายประปรายที่ซูซูกิ
ของผัด 2 . 37 . 5 * 7 11 * 13 ) เป็นองค์ประกอบของ
สั่ง 13 C & ) ทำหน้าที่แก้ไขจุดฟรีใน 3 $ ดังนั้น CD ( p ) = 1 ให้จาเป็น
องค์ประกอบของลำดับ 7 ใน C : V ( I ; ) แล้วเหมือนกัน [ Q , p ; I N D , E หรือ Q [ PA ] = x
2 ถามได้ตรง conjugacy ชั้นเรียนขององค์ประกอบของคำสั่ง 7 ดังนั้น P1 เป็น PA xow
เราสามารถสมมติว่า ( PR , PA ) S - กลุ่มย่อยของ สมมติว่า [ PA ] Q , N DBB .
ดังนั้น CO ( ~ ) N da6 . เห็นได้ชัดว่า C & r ) N CO ( ~ ) = ( > มิฉะนั้น CO ( PR ) Co ( , c )
ซึ่งไม่ใช่กรณีตั้งแต่ 7 1 M : C . , , ( ) มันดังต่อไปนี้ว่าซังข้าวโพด ) n
DS3 สำหรับทุก P E ( PR , PA ) - ( PA ) แล้วเจเจ - : m . ดังนั้น ( พี & ) ประกอบด้วยสารประกอบ
P1 6 42 และสารประกอบของ PA ใน AU แสดงว่า 7 1 : ~ ~ ( ( & PA > )
< PL , PA ) ซึ่งมันไร้สาระตั้งแต่ชั้น 4 1 = 7z ซึ่งโต้แย้งพิสูจน์ว่า
[ Q , ~ ] = Q และ C & PA ) = 1 กลุ่ม 1V มีกลุ่มย่อยเป็น C @ ซึ่ง
ประกอบด้วยลำดับธรรมชาติของกลุ่มย่อยเป็น 2 G 11 D 9 ) ซึ่ง centralizers ใน
จืออยู่สำหรับ TL = 2 , 3 , . . . 9 กลุ่ม ดังนี้ ผม 3s2 , G ( 4 ) , จา , C & 3 ) , B ( 2 ) ,
, 2s , . มันเป็นไปตามที่ PA centralizes องค์ประกอบซีเจ สั่งซื้อ 5 ! V ดังนั้น
ซีดี ( g ) = 1 ตอนนี้ w-e อยู่ในฐานะที่จะตรวจสอบวงโคจรของ involutions
M นอน q - ( Z ) แรกของทั้งหมดที่เราทราบว่า I ( q ) - ( = 2A . 3s * 5 7 13 =
196560 ที่ ( Q ) คือ จำนวนของ involutions noncentral ของ Qให้หรอก
พัวพันใน Q - ( ) vrith T s-v อ. 2 แล้ว * * * * * 3 . 5 * 7 * 13 1 J M : C ( T ) L .
นอกจากนี้เรามี 11 1 ' cm ( T ) F ' มิฉะนั้น 11 1 กล้อง ( และดังนั้น 23 C . l ( t ) I
เป็นสิบห้า < @ กลุ่มโฟรเบนีอุสสั่ง 23 * 11 และ CO ( E ) N D ที่ B เป็นองค์ประกอบของคำสั่ง 23
, W , จึง ๒ * . 3 ~ 5 ~ 7lll3 ~ 23 ~ , m : C ( t ) lbut
2 * * 3 5 * 7 11 * 13 23 > 196560 ซึ่งไม่ใช่กรณี บน
มืออื่น ๆเราสามารถสมมติว่าผม c-w J ( T ) L เพราะมิฉะนั้น 23 1 : M : ซม. ( T ) 1
t e พัวพันทุก q - t ( } , R และ 2 * 3 . 5 . 7 . 13 . 23 ' M : ซม. ( T )
ดังนั้นฉัน : c.w ( T ) L = 2A . 3 . 5 . 7 . 13 . 23 = 125580 ซึ่งขัดแย้ง .
h-ow สมมติว่ามีการพัวพัน x E Q - < Z ) ที่เป็น . x , T .
แล้ว clearly2 ' * 3 5 * 7 13 . 23 1 ชั้น 171 : & ( T ) L และ M J : C( x ) = ฉัน xfyi =
2 " 3 . 5 . 7 * 13 23 = 125580 . แสดงว่า Q ( Z )
3 วงโคจรของ involutions ภายใต้การกระทำของ M กับ representativ ES , และ T . เรา
มี M : c , W ( t ) = 2 " * 3 " 5 " " 7 * 13 ที่ K , i , M เป็นจำนวนเต็มบวกและ K
> 2 โดยการคำนวณ u-e ดูง่ายไม่มีโซลูชั่นสำหรับ
สมการ 2 " 3z . ขนาด 5 * 7 13 125580 = 196560 .นี้พิสูจน์ให้เห็นว่า Q ( Z }
ได้ว่าสอง conjugacy ชั้นเรียนของ involutions กับตัวแทนและ T
&และ ' 31 : C ( t ) = 24 3s * 5 7 * 13 โดย [ 9 ( 3.1311 เราได้รับเรา
T R A ได้พิสูจน์แล้วว่า