criterion. The between-class scatte

criterion. The between-class scatter matrix SB and the within-class
scatter matrix SW are defined as
SB ¼ XC
i ¼ 1
Niðμi μÞðμi μÞ
> ð1Þ
SW ¼ XC
i ¼ 1
X
xk ACi
ðxkμi
Þðxkμi
Þ
> ð2Þ
where μi is the mean image of class Ci,
1 μ is the mean image of all
the images, C is the total class number, and Ni is the number of
images in class Ci. The data matrix X ¼ ðX1;X2; …;XCÞ, where
Xi ARdNi
.
The within-class and between-class scatter matrices can also be
written as matrix form as follows: SB ¼ HBH>
B and SW ¼ HW H>
W ,
where
HB ¼ ðμ1 μÞe>
1 ; ðμ2 μÞe>
2 ; …; ðμC μÞe>
C

HW ¼ X1 μ1e>
1 ;X2 μ2e>
2 ; …;XC μCe>
C

and e>
i ¼ ð1; …; 1Þ> ARNi1.
The optimal projection w is chosen such that the Fisher criterion
JðwÞ is satisfied, i.e., the ratio of between-class scatter and
within-class scatter is maximized:
wn ¼ arg max w
JðwÞ ¼ arg max w
tr w> SBw
tr w> ð Þ SW w ð3Þ
where fwi j i ¼ 1; 2; …; mg is a set of generalized eigenvectors of SB
and SW , corresponding to the m largest generalized eigenvalues
fλi j i ¼ 1; 2; …; mg. The upper bound of m is C 1, where again C is
the total number of classes. This generalized eigenvalue problem
can be shown as:
SBwi ¼ λiSW wi⟹S1
W SBwi ¼ λiwi ð4Þ
This only holds when SW is invertible. However, in the face
recognition problem, SW is very often singular due to the fact that
its rank is at most ðNCÞ, where N is the total number of images in
the training set, which is much smaller than the image dimension.
To overcome this problem and make LDA work, a separate
PCA step is applied to reduce the dimensionality of the images to
ðNCÞ and then standard LDA is executed to reduce the dimension
to ðC1Þ.
3.2. Unsupervised discriminant projection
Instead of using the within-class and between-class scatter
matrices as in LDA, unsupervised discriminant projection (UDP)
[3,30] tries to find an optimal projection that minimizes the local
scatter matrix SL and maximizes the non-local scatter matrix SN
simultaneously. Contrary to LDA, UDP is an unsupervised classifi-
cation method where the training labels are not taken into
account. Given a training set in C classes with N un-labeled items
x1; …; xN where xi ARd, the optimal projection w for UDP is
obtained by maximizing the objective function JðwÞ:
wn ¼ arg max w
JðwÞ ¼ arg max w
tr w> SNw
tr w> ð Þ SLw ð5Þ
where SL and SN are the local and non-local scatter:
SL ¼ 1
2
X
i
X
j
Aijðxi xjÞðxi xjÞ> ð6Þ
1 In this paper, we use b

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เกณฑ์การ เมตริกซ์การกระจายระหว่างชั้น SB และภายในคลากำหนดเมตริกซ์กระจาย SW เป็นSB ¼ XCฉัน¼ 1Niðμi μÞðμi μÞ> ð1ÞSW ¼ XCฉัน¼ 1Xxk อะðxkμiÞðxkμiÞ> ð2Þที่ μi มีภาพเฉลี่ยของคลาส Ci1 μคือ รูปหมายถึงทั้งหมดภาพ C คือ จำนวนชั้นทั้งหมด และ Ni เป็นจำนวนรูปในเครื่อง ÐX1 เมตริกซ์ X ¼ข้อมูล X 2 …; XCÞ ที่สิ ARdNi.เมทริกซ์การกระจายภายในคลาสและระหว่างชั้นสามารถเขียนแบบฟอร์มเมตริกซ์ดัง: SB ¼ HBH >B และ HW SW ¼ H >Wซึ่งHB ¼ ðμ1 μÞe >1 ðμ2 μÞe >2 …; ðμC μÞe >CHW ¼ X 1 μ1e >1 X 2 μ2e >2 …; XC μCe >Cและ e >ไอ¼ ð1 …; 1Þ > ARNi1เลือก w ฉายที่เหมาะสมให้เกณฑ์ฟิชเชอร์พอ JðwÞ เช่น อัตราส่วนการกระจายระหว่างเรียน และกระจายอยู่ภายในคลาสถูกขยาย:ดับเบิ้ลยูเอ็น¼อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุด wJðwÞ ¼อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุด wtr w > SBw tr w > ðÞ w ตะวันตกเฉียงใต้ ð3Þที่เจ fwi ฉัน¼ 1 2 …; มิลลิกรัมคือ ชุดของลักษณะเฉพาะเมจแบบทั่วไปของ SBและเวกเตอร์ที่ตั้งค่าทั่วไปของ SW ที่สอดคล้องกับ m ที่ใหญ่ที่สุดfλi j ผม¼ 1 2 …; มก. C 1 อีก C เป็นขอบเขตบนของ mจำนวนชั้นเรียน ปัญหานี้ eigenvalue เมจแบบทั่วไปสามารถแสดงเป็น:Wi⟹S1 λiSW SBwi ¼W SBwi ¼ λiwi ð4Þเก็บนี้เฉพาะเมื่อสามารถหาอินเวอร์ส SW อย่างไรก็ตาม ในหน้าการรับรู้ปัญหา SW มากมักจะเป็นเอกพจน์เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าคำเป็นที่สุด ðNCÞ โดยที่ N คือ จำนวนของรูปภาพในการฝึกอบรมได้ ซึ่งมีขนาดเล็กกว่าขนาดภาพเพื่อเอาชนะปัญหาและทำให้ lda ซึ่งงานนี้ แยกต่างหากมีใช้ PCA ขั้นตอนเพื่อลด dimensionality ของรูปðNCÞ และ LDA มาตรฐานแล้วจะดำเนินการเพื่อลดขนาดการ ðC1Þ3.2. unsupervised discriminant ฉายแทนที่จะใช้กระจายภายในคลาสและระหว่างชั้นเมทริกซ์ใน LDA, unsupervised discriminant ฉาย (UDP)[3,30] พยายามค้นหาโปรเจคเตอร์ที่เหมาะสมที่สุดที่ท้องถิ่นช่วยลดกระจาย SL เมตริกซ์ และเมตริกซ์มีถิ่นกระจาย SN วางพร้อมกัน ขัดกับ LDA, UDP เป็นการ unsupervised classifi-วิธี cation ที่ป้ายชื่อการฝึกอบรมไม่จัดบัญชี รับสินค้าป้ายยังไม่ได้ชุดฝึกอบรมในคลาส C Nx 1 …; ที่ซีอานซีกวนสวาปาม สมฉายภาพ w สำหรับ UDP เป็น xNได้ โดยเพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ JðwÞ:ดับเบิ้ลยูเอ็น¼อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุด wJðwÞ ¼อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุด wtr w > SNw tr w > ðÞ SLw ð5ÞSL และ SN กระจายในท้องถิ่น และท้อง ถิ่นไม่ใช่:SL ¼ 12XฉันXเจAijðxi xjÞðxi xjÞ > ð6Þ1 ในกระดาษนี้ เราใช้ b

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เกณฑ์ ระหว่างชั้นกระจายเมทริกซ์ SB
และภายในชั้นกระจายเมทริกซ์SW จะถูกกำหนดเป็น
SB ¼ XC
ฉัน¼ 1
NiðμiμÞðμiμÞ> ð1Þ SW ¼ XC ฉัน¼ 1 X XK ACI ðxkμiÞðxkμiÞ> ð2Þที่μiเป็นภาพเฉลี่ยของระดับ Ci, 1 μเป็นภาพเฉลี่ยของทุกภาพ, C เป็นจำนวนชั้นทั้งหมดและ Ni คือจำนวนของภาพในระดับCi เมทริกซ์ข้อมูล X ¼ DX1; X2; ... ; XCÞที่Xi ARdNi. เมทริกซ์กระจายภายในชั้นเรียนและระหว่างชั้นนอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็นรูปแบบเมทริกซ์ดังนี้ SB ¼ HBH> B และ SW ¼ HW H> W, ที่HB ¼ðμ1μÞe> 1; ðμ2μÞe> 2; ... ; ðμCμÞe> C HW ¼ X1 μ1e> 1; X2 μ2e> 2; ... ; XC μCe> C และ e> ฉัน¼ D1; ... ; 1th> ARNi1. w คือการฉายภาพที่ดีที่สุดได้รับการแต่งตั้งดังกล่าวว่าเกณฑ์ฟิชเชอร์JðwÞเป็นที่พอใจคืออัตราส่วนระหว่างระดับการกระจายและการกระจายภายในชั้นเป็นmaximized: WN ¼หาเรื่องสูงสุดกว้างJðwÞ¼หาเรื่องสูงสุดกทีอาร์ก> SBW ทีอาร์ก> ðÞ SW น้ำหนักð3Þที่FWI ji ¼ 1; 2; ... ; มก. เป็นชุดของ eigenvectors ทั่วไปของ SB และ SW สอดคล้องกับลักษณะเฉพาะมทั่วไปที่ใหญ่ที่สุดfλi ji ¼ 1; 2; ... ; มก. ผูกพันบนของม. 1 คือ C, C ที่อีกครั้งเป็นจำนวนรวมของการเรียน ปัญหานี้ eigenvalue ทั่วไปสามารถแสดงเป็น: SBwi ¼λiSWwi⟹S1 W SBwi ¼λiwið4Þนี้ถือเมื่อSW นั้นกลับด้าน อย่างไรก็ตามในการเผชิญกับปัญหาการรับรู้ SW มากมักจะเอกพจน์เนื่องจากความจริงที่ว่าตำแหน่งของมันคือที่มากที่สุดðNCÞที่N คือจำนวนรวมของภาพในชุดฝึกอบรมซึ่งมีขนาดเล็กกว่ามิติภาพ. ที่จะเอาชนะนี้ ปัญหาที่เกิดขึ้นและทำให้การทำงาน LDA, แยกขั้นตอนPCA ถูกนำไปใช้ในการลดมิติของภาพที่จะðNCÞแล้วมาตรฐานLDA จะถูกดำเนินการเพื่อลดขนาดเพื่อðC1Þ. 3.2 ใกล้ชิดฉายจำแนกแทนการใช้ภายในชั้นเรียนและระหว่างระดับการกระจายการฝึกอบรมในขณะที่LDA ฉายจำแนกใกล้ชิด (UDP) [3,30] พยายามที่จะได้พบกับการฉายที่ดีที่สุดที่ช่วยลดท้องถิ่นกระจายSL เมทริกซ์และเพิ่มไม่ใช่ท้องถิ่น เมทริกซ์กระจาย SN พร้อมกัน ขัดกับ LDA, UDP เป็น classifi- หากินวิธีไอออนบวกที่ฉลากการฝึกอบรมจะไม่นำเข้าบัญชี ได้รับการฝึกอบรมตั้งอยู่ในชั้นเรียน C ที่มีรายการที่ยังไม่มีการยกเลิกการติดฉลากx1; ... ; xN ที่จินรพช., ประมาณการที่ดีที่สุดน้ำหนักสำหรับ UDP จะได้รับโดยการเพิ่มJðwÞฟังก์ชันวัตถุประสงค์: WN ¼หาเรื่องสูงสุดกว้างJðwÞ¼หาเรื่องสูงสุดกทีอาร์ก> SNW ทีอาร์ก> ðÞช้าð5Þที่SL และ SN เป็นท้องถิ่นและไม่ใช่ กระจายท้องถิ่นคำ: SL ¼ 1 2 X ฉันX เจAijðxixjÞðxixjÞ> ð6Þ 1 ในบทความนี้เราจะใช้ข

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เกณฑ์ ระหว่างชั้นเรียนกระจายเมตริกซ์ SB และภายในห้องเรียน
กระจายเมตริกซ์ SW จะถูกกําหนด
SB ¼ XC
ฉัน¼ 1
ผมðμผมμÞðμผมμÞ
> ð 1 Þ
SW ¼ XC
ฉัน¼ 1
x

ð XK ของ XK μผม
Þð XK μผม

> Þð 2 Þ
ที่μผมคือหมายถึงภาพลักษณ์ของชั้นเรียน CI ,
1 μคือหมายถึงภาพทุกภาพ
, C มีจำนวนชั้นทั้งหมดและฉันเป็นหมายเลข
ภาพในชั้นเรียน CI ข้อมูล เมทริกซ์ X ¼ð x1 ; x2 ; . . . ; XC Þที่ซี ardni


ภายในชั้นเรียนและชั้นเรียนกระจายระหว่างเมทริกซ์ยังสามารถ
เขียนเป็นตารางแบบฟอร์มดังนี้ : SB ¼ hbh >
b และ SW ¼ HW H >
W

HB ที่¼ðμ 1 μÞ E >
1 ; ðμ 2 μÞ E >
2 ; . . . ; ðμ C μÞ E >
c

hw ¼ X1 μ 1E >
1 ; X2 μ 2E >
2 ; . . . ; XC μ CE >
C

และ E >
ฉัน¼ð 1 ; . . . . . . . 1 Þ > arni1 .
ประมาณการที่ดีที่สุด W เลือกเช่นที่ ฟิชเชอร์ เกณฑ์
J ð W Þพอใจ คือ อัตราส่วนระหว่างชั้นเรียนและ
กระจายภายในห้องเรียนกระจายเป็น maximized :
wn ¼อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุด W
J ð W Þ¼อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุด w
w
TR TR > SBW W > ðÞ SW W ð 3 Þ
ที่ fwi J ผม¼ 1 ; 2 ; . . . ; มก. เป็นชุดของแบบเสนอของ SB
และ SW ที่ที่ใหญ่ที่สุดทั่วไปค่า
F λจิ¼ 1 ; 2 ; . . . ; มก. ไว้ด้านบนของ M C 1 ที่อีกครั้ง C
จำนวนของชั้นเรียน นี้สามารถแสดงปัญหาทั่วไปค่า

:sbwi ¼λ ISW วี⟹ S1
w sbwi ¼λ IWI ð 4 Þ
นี้ถือเมื่อ SW เป็น invertible . อย่างไรก็ตาม ในการรับรู้ปัญหา ใบหน้า
SW มากมักจะเอกพจน์เนื่องจาก
อันดับของที่ðที่สุด NC Þโดยที่ n คือจำนวนภาพทั้งหมดใน
ชุดฝึกอบรม ซึ่งมีขนาดเล็กกว่า มิติภาพ
ที่จะเอาชนะปัญหานี้ และให้ lda ทำงาน แยก
ขั้นตอนที่ถูกใช้เพื่อลด dimensionality ของภาพ

ð NC Þแล้ว lda มาตรฐานจะดำเนินการลดขนาดเพื่อðÞ C1
.
2 .
ฉาย unsupervised จำแนกแทนการใช้ภายในห้องเรียน และระหว่างชั้นกระจาย
เมทริกซ์ใน lda unsupervised จำแนกฉาย ( UDP )
[ 3,30 ] พยายามหาที่เหมาะสมในการฉายที่ช่วยลดท้องถิ่น
กระจายและเมทริกซ์ SL เพิ่มไม่ใช่ท้องถิ่นกระจายเมตริกซ์ SN
พร้อมกัน ต่อ lda UDP เป็น unsupervised classifi -
การฝึกวิธีที่ป้ายไม่เข้า
บัญชี ได้รับการฝึกอบรมในชั้นเรียนกับสหประชาชาติระบุว่ารายการ C X1
; . . . ; คริสเตียน ที่ ซี รพช. , ประมาณการที่ดีที่สุด W สำหรับ UDP คือ
ได้โดยเพิ่มฟังก์ชันวัตถุประสงค์ J ð W Þ :
w
wn ¼อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุดð J W Þ¼อาร์กิวเมนต์ของค่าสูงสุด w
w
TR TR > SNW W > ðÞช้าð 5 Þ
ที่ SL และ SN เป็นท้องถิ่นและนอกท้องถิ่นกระจาย :
SL ¼ 1
2
x
ผม
x
J
aij ð Xi XJ Þð Xi XJ Þ > ðÞ
6 1 ในกระดาษนี้เราใช้ บี