Rules: Players take turns joining t

Rules: Players take turns joining two horizontally or vertically adjacent
dots by a line. A player that completes the fourth side of a square (a box)
colors that box and must play again. When all boxes have been colored,
the game ends and the player who has colored more boxes wins. You are
playing against the computer. The computer is red; you are blue.
In the game of Dots and Boxes, the winner is generally the player who makes the last move. The reason for this is that at the end of the game, there are usually a few long corridors or chains of boxes left to be taken. If your opponent is forced to play in one of these chains, then you can take all but two of the boxes and, by sacrificing the last two boxes, make certain that it is his turn to play into the next long chain. You will thus win all but two boxes in each long chain, and of course you will win all boxes in the last chain. We say a chain is long if it contains at least three boxes.
The above program for playing Dots and Boxes uses an algorithm that is not very good, but it will play well once there are only long chains left. You may use it to improve your play at the next level of understanding. This next level requires determining which player will move last. This is most usefully done using the following rule.

The Long Chain Rule: Suppose the playing field is a rectangle of m rows and n columns and so has mn boxes. If both m and n are even, then the first player should play to make the number of long chains odd. If either m or n is odd, then the first player should play to make the number of long chains even.

Of course then the second player wants an even number of long chains if both m and n are even, and an odd number of long chains otherwise.

It must be pointed out that in this rule, loops do not count as long chains.

Here is the reason this rule works. There are (m+1)n horizontal edge moves and m(n+1) vertical edge moves for a total of 2mn+m+n moves. Without the rule that the player who completes a box moves again, we could say that the player who moves first also moves last if and only if 2mn+m+n is odd.
With the rule that the player who completes a box moves again, we must subtract one for each time at least one box is filled, except for the last box. Some moves complete two boxes simultaneously. Let us call these moves double-box moves. If there are no double-box moves, then since there are mn boxes and since completing the last box doesn't change things, we must subtract mn-1 from the total number of moves to get the number of move changes. This gives 2mn+m+n-(mn-1)=mn+m+n+1=(m+1)(n+1). Thus if there are no double-box moves, then the player who moves first also moves last if and only if (m+1)(n+1) is odd. The same is therefore true if there is an even number of double-box moves in the game.

Another way of putting this is to say that if (and only if) (m+1)(n+1) is odd, the first player wants to arrange things so that there is an even number of double-box moves in the game. For a chain of length 1 or 2, neither player need allow a double-box move to be made. However, in each chain of length 3 or more, either player may take all boxes but two, providing the opponent with a single double-box move. For a loop of four or more boxes, either player may take all but four boxes, providing the opponent with two double-box moves. Thus, in a well played game, the number of double-box moves is equal to the number of long chains, plus twice the number of loops, minus one because the player to move in the last long chain will take all of the boxes. So if (m+1)(n+1) is odd, the first player wants an odd number of long chains in the game. Moreover, (m+1)(n+1) is odd if and only if both m and n are even.

To go beyond this level of understanding of the game, read the book of Berlekamp.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กฎ: ผู้เล่นผลัดกันร่วมสองอยู่ติดกันในแนวนอน หรือแนวตั้งจุด โดยบรรทัด ผู้เล่นที่ทำด้านที่สี่ของสี่เหลี่ยม (กล่อง)สีที่กล่อง และต้องเล่นอีกครั้ง เมื่อกล่องทั้งหมดได้ถูกสีจบเกมและผู้เล่นที่มีสีเพิ่มเติมกล่องชนะ คุณอยู่ เล่นกับคอมพิวเตอร์ คอมพิวเตอร์เป็นสีแดง คุณมีสีน้ำเงินในเกมจุดและกล่อง ผู้ชนะได้โดยทั่วไปผู้เล่นที่ทำไปล่าสุด เหตุผลคือ ว่า ในตอนท้ายของเกม มักกี่ทางเดินยาวหรือโซ่กล่องซ้ายควร ถ้าฝ่ายตรงข้ามถูกบังคับให้เล่นในกลุ่มเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่ง แล้วคุณสามารถทำทั้งหมด แต่ 2 กล่อง และ เสียสละกล่องสองล่าสุด ให้แน่ใจว่า มันเป็นโอกาสของเขาจะเล่นเป็นสายยาวต่อไป คุณจึงจะชนะทั้งหมด แต่ 2 กล่องในแต่ละสายยาว และแน่นอนคุณจะชนะกล่องทั้งหมดในห่วงโซ่สุดท้าย เราบอกว่า ห่วงโซ่ยาวถ้าประกอบด้วยกล่องที่สามโปรแกรมข้างต้นสำหรับการเล่นเกมต่อจุดใช้ขั้นตอนวิธีที่ไม่ดี แต่มันจะเล่นได้ดีเมื่อมีเฉพาะโซ่ยาวซ้าย คุณสามารถใช้เพื่อปรับปรุงการเล่นในระดับถัดไปของการทำความเข้าใจ ระดับถัดไปนี้ต้องกำหนดจะย้ายที่เล่นล่าสุด นี้เป็นส่วนใหญ่ทำ usefully ใช้กฎต่อไปนี้กฎลูกโซ่ยาว: สมมติว่า เขตข้อมูลเล่นสี่เหลี่ยมของ m แถว และ n คอลัมน์และมีกล่อง mn ถ้า m และ n ไม่ได้ แล้วผู้เล่นคนแรกควรเล่นให้จำนวนคี่โซ่ยาว ถ้าทั้ง m หรือ n เป็นคี่ แล้วผู้เล่นคนแรกควรเล่นให้จำนวนโซ่ยาวแม้แน่นอนแล้วผู้เล่นที่สองต้องการจำนวนโซ่ยาวถ้า m และ n มีแม้ และหมายเลขคี่ของโซ่ยาวมิฉะนั้นจะต้องสามารถชี้ให้เห็นว่า ในกฎนี้ ลูปไม่นับรวมเป็นโซ่ยาวนี่คือเหตุผลของกฎนี้ในการทำงาน มี (m + 1) n ขอบแนวนอนเลื่อน และขอบแนวตั้ง m(n+1) ย้ายสำหรับย้ายทั้งหมด 2mn + m + n ไม่ มีกฎที่ย้ายไปเล่นที่เครื่องอีกครั้ง เราสามารถบอกว่า ผู้เล่นที่ย้ายก่อนยังย้ายล่าสุดถ้าและเฉพาะถ้า 2mn + m + n คี่มีกฎที่ย้ายไปเล่นที่เครื่องอีก เราต้องลบหนึ่งครั้งแต่ละกล่องที่ถูกกรอก ยกเว้นกล่องสุดท้าย บางส่วนย้ายกล่องสองสมบูรณ์พร้อม เราเรียกเหล่านี้ย้ายย้ายกล่องคู่ ถ้ามีย้ายไม่คู่กล่อง แล้วเนื่อง จากมีกล่อง mn และ ตั้งแต่จบกล่องสุดท้ายไม่เปลี่ยนสิ่ง เราต้องลบ mn-1 จากจำนวนการย้ายจะได้รับหมายเลขของการเปลี่ยนแปลงย้าย นี้ให้ 2mn+m+n-(mn-1)=mn+m+n+1=(m+1)(n+1) จึงไม่สามารถเล่นคู่กล่อง ถ้าผู้เล่นที่ย้ายก่อนย้ายถ้าสุดท้ายและรับ (m+1)(n+1) ได้คี่ เดียวกันจึงมีจำนวนย้ายกล่องคู่ในเกมจริงอีกวิธีหนึ่งของการย้ายนี้จะบอกว่า ถ้า (รับ) (m+1)(n+1) คี่ ผู้เล่นคนแรกต้องการจัดเรียงสิ่งต่าง ๆ ให้เป็นเลขคู่กล่องย้ายในเกม โซ่ยาว 1 หรือ 2 ผู้เล่นไม่ต้องอนุญาตย้ายกล่องเดี่ยวจะทำ อย่างไรก็ตาม ในแต่ละห่วงโซ่ยาว 3 น้อย เล่นอย่างใดอย่างหนึ่งอาจใช้กล่องทั้งหมด แต่สอง ให้ฝ่ายตรงข้ามกับเดี่ยวคู่กล่องย้าย วน หรือกล่อง เล่นอย่างใดอย่างหนึ่งอาจใช้ทั้งหมด แต่สี่กล่อง ให้ฝ่ายตรงข้าม 2 คู่กล่องย้าย ดังนั้น ในเกมเล่นดี จำนวนคู่กล่องย้ายได้เท่ากับจำนวนโซ่ยาว บวกสองจำนวนลูป ลบหนึ่งเนื่องจากการปรับในสายยาวสุดท้ายจะหมดกล่อง ดังนั้นถ้า (m+1)(n+1) คี่ ผู้เล่นคนแรกต้องเป็นเลขคี่ของโซ่ยาวในเกม นอกจากนี้, (m+1)(n+1) ได้คี่ถ้าและเฉพาะถ้า m และ n จะได้ไปนอกเหนือจากนี้ระดับของความเข้าใจในเกม อ่านหนังสือของ Berlekamp

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กฎ : ผู้เล่นผลัดกันร่วมสองที่อยู่ติดกันตามแนวนอนหรือแนวตั้ง
จุดตามเส้น ผู้เล่นที่จบด้านที่สี่ของตาราง ( กล่อง )
สีที่กล่อง และต้องเล่นอีก เมื่อกล่องทั้งหมดจะถูกสี ,
สิ้นสุดเกม และผู้เล่นที่มีสีมากกว่ากล่องชนะ คุณ
เล่นกับคอมพิวเตอร์ คอมพิวเตอร์เป็นสีแดง คุณเป็นสีฟ้า
ในเกมของจุดและกล่องผู้ชนะโดยทั่วไปผู้เล่นที่ทำให้การย้ายครั้งสุดท้าย เหตุผลนี้คือ ว่า ในตอนท้ายของเกม มักจะมีไม่กี่ทางเดินยาวหรือโซ่กล่องเหลือที่จะถ่าย ถ้าฝ่ายตรงข้ามของคุณจะถูกบังคับให้เล่นในหนึ่งโซ่เหล่านี้แล้วคุณสามารถใช้เวลาทั้งหมด แต่สองของกล่อง และด้วยการเสียสละเมื่อสองกล่องให้แน่ใจว่าเขาเปิดให้เล่นในห่วงโซ่ถัดไปยาวคุณจึงจะชนะตลอด แต่สองกล่องในแต่ละโซ่ยาว และแน่นอนว่าคุณจะชนะทุกกล่องในโซ่สุดท้าย เราว่าโซ่ยาว ถ้ามันมีอย่างน้อยสามกล่อง
โปรแกรมข้างต้นสำหรับการเล่นจุดและกล่องใช้ขั้นตอนวิธีที่ไม่ค่อยดี แต่จะเล่นได้ดีเมื่อมีเหลือแต่โซ่ยาว . คุณอาจจะใช้มันเพื่อปรับปรุงการเล่นของคุณในระดับถัดไปของความเข้าใจระดับนี้ต่อไปต้องกำหนดผู้เล่นซึ่งจะย้ายที่แล้ว นี้จะเป็นประโยชน์มากที่สุด โดยใช้กฎต่อไปนี้

กฎยาว : สมมติว่าสนามเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า m แถวและคอลัมน์และมีกล่อง ) ถ้าทั้ง และยัง แล้ว ผู้เล่นควรจะเล่นให้จํานวนคี่โซ่ยาว . ถ้า M หรือ n เป็นคี่หลังจากนั้น ผู้เล่นควรเล่นเพื่อให้จำนวนของโซ่ยาวเลย

แน่นอน จากนั้นผู้เล่นที่สองต้องการจำนวนของโซ่ยาว ถ้าทั้ง และยัง และเลขคี่ของโซ่ยาวไม่งั้น

มันต้องชี้ให้เห็นว่า ในกฎนี้ ลูปไม่นับ เช่น โซ่ยาว

ที่นี่คือเหตุผล กฎนี้ใช้ได้มี ( 1 ) N ย้ายขอบแนวนอนและ M ( 1 ) ย้ายขอบแนวตั้งเพื่อรวมรวม M N ย้าย ไม่มีกฎที่ผู้เล่นที่สมบูรณ์กล่องย้ายอีก เราอาจกล่าวได้ว่าผู้เล่นที่ย้ายครั้งแรกยังย้ายสุดท้ายถ้าและเพียงถ้ารวม m n เป็นคี่ .
กับกฎที่ผู้เล่นที่สมบูรณ์กล่องย้ายอีกครั้ง เราต้องลดแต่ละครั้งอย่างน้อยหนึ่งกล่องจะเต็มไปด้วยยกเว้นกล่องสุดท้าย ย้ายเสร็จสองกล่องพร้อมกัน เราเรียกย้ายเหล่านี้ย้ายกล่องคู่ ถ้าไม่มีย้ายกล่องสองครั้งแล้วตั้งแต่มีกล่อง ) และเนื่องจากการกรอกกล่องสุดท้ายก็ไม่ได้เปลี่ยนสิ่งที่เราต้องลบ mn-1 จากจํานวนของการเคลื่อนไหวที่จะได้รับหมายเลขของการย้ายเปลี่ยนแปลง นี้จะช่วยให้ M N - ( รวม mn-1 ) = 2 - 1 = ( 1 ) ( 1 )ดังนั้นถ้าไม่มีย้ายกล่องคู่ แล้วผู้เล่นที่ย้ายครั้งแรกยังย้ายสุดท้ายถ้าและเพียงถ้า ( 1 ) ( 1 ) แปลก เหมือนกันดังนั้นจึงเป็นจริงว่ามีจำนวนของกล่องคู่ย้ายในเกม

อีกวิธีหนึ่งของการวางนี้คือ ว่า ถ้า ( ถ้า ) ( 1 ) ( 1 ) แปลก ผู้เล่นแรกต้องการที่จะจัดกิจกรรมเพื่อให้มีจำนวนของกล่องคู่ ย้ายในเกมสำหรับห่วงโซ่ของความยาว 1 หรือ 2 หรือผู้เล่นต้องการให้ย้ายกล่องคู่ ที่จะทำ อย่างไรก็ตาม ในแต่ละสายยาว 3 หรือมากกว่า ผู้เล่นอาจใช้กล่องทั้งหมด แต่สองให้ฝ่ายตรงข้ามด้วยการย้ายกล่องคู่เดียว สำหรับวงสี่หรือมากกว่าในกล่องเหมือนกัน ผู้เล่นอาจจะใช้เวลาทั้งหมด แต่สี่กล่องให้ฝ่ายตรงข้ามกับสองกล่องคู่ย้าย ดังนั้น ในการเล่นเกมจำนวนของการย้ายกล่องคู่จะเท่ากับจำนวนโซ่ยาว บวกสองจำนวนของลูป ลบ เพราะผู้เล่นที่จะย้ายในห่วงโซ่ยาวจะใช้เวลาทั้งหมดของกล่อง ถ้า ( 1 ) ( 1 ) แปลก ผู้เล่นคนแรกต้องเป็นเลขคี่ของโซ่ยาวในเกม นอกจาก ( 1 ) ( 1 ) แปลกถ้าและเพียงถ้าทั้ง M และ N .

ไปเกินกว่าระดับของความเข้าใจของเกมนี้ อ่านหนังสือ berlekamp .