The P versus NP problem is a major

The P versus NP problem is a major unsolved problem in computer science. Informally, it asks whether every problem whose solution can be quickly verified by a computer can also be quickly solved by a computer. It was essentially first mentioned in a 1956 letter written by Kurt Gödel to John von Neumann. Gödel asked whether a certain NP complete problem could be solved in quadratic or linear time.[2] The precise statement of the P versus NP problem was introduced in 1971 by Stephen Cook in his seminal paper "The complexity of theorem proving procedures"[3] and is considered by many to be the most important open problem in the field.[4] It is one of the seven Millennium Prize Problems selected by the Clay Mathematics Institute to carry a US$1,000,000 prize for the first correct solution.

The informal term quickly, used above, means the existence of an algorithm for the task that runs in polynomial time. The general class of questions for which some algorithm can provide an answer in polynomial time is called "class P" or just "P". For some questions, there is no known way to find an answer quickly, but if one is provided with information showing what the answer is, it is possible to verify the answer quickly. The class of questions for which an answer can be verified in polynomial time is called NP.

Consider the subset sum problem, an example of a problem that is easy to verify, but whose answer may be difficult to compute. Given a set of integers, does some nonempty subset of them sum to 0? For instance, does a subset of the set {−2, −3, 15, 14, 7, −10} add up to 0? The answer "yes, because the subset {−2, −3, −10, 15} adds up to zero" can be quickly verified with three additions. However, there is no known algorithm to find such a subset in polynomial time (there is one, however, in exponential time, which consists of 2n-n-1 tries), but such an algorithm exists if P = NP; hence this problem is in NP (quickly checkable) but not necessarily in P (quickly solvable).

An answer to the P = NP question would determine whether problems that can be verified in polynomial time, like the subset-sum problem, can also be solved in polynomial time. If it turned out that P ≠ NP, it would mean that there are problems in NP (such as NP-complete problems) that are harder to compute than to verify: they could not be solved in polynomial time, but the answer could be verified in polynomial time.

Aside from being an important problem in computational theory, a proof either way would have profound implications for mathematics, cryptography, algorithm research, artificial intelligence, game theory, multimedia processing, philosophy, economics and many other fields.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

P และ NP ปัญหาคือ ยังไม่ได้แก้ไขปัญหาหลักในวิทยาการคอมพิวเตอร์ บาง มันถามว่า ปัญหาทุกโซลูชั่นสามารถอย่างรวดเร็วตรวจสอบ โดยคอมพิวเตอร์สามารถยังรวดเร็วแก้ไขคอมพิวเตอร์ มันถูกหลักกล่าวถึงครั้งแรกในปี 1956 จดหมายเขียน โดย Kurt Gödel Neumann จอห์นฟอน Gödel ถามว่า บาง NP สมบูรณ์ปัญหาแก้ไขกำลังสอง หรือเส้นเวลา[2] คำสั่งชัดเจนของ P เมื่อเทียบกับปัญหา NP ถูกนำในปี 1971 โดย Stephen Cook ในกระดาษของเขาบรรลุถึง "ความซับซ้อนของขั้นตอนการพิสูจน์ทฤษฎีบท" [3] และถือเป็นปัญหาเปิดสำคัญที่สุดในฟิลด์[4] มันเป็นหนึ่งในปัญหา 7 ของรางวัลมิลเลนเนียมที่เลือก โดย สถาบันคณิตศาสตร์ดินยกรางวัล 1000000 ดอลลาร์สหรัฐอเมริกาสำหรับการแก้ปัญหาถูกต้องแรกคำลงท้ายใช้เหนือ หมายถึง การมีอยู่ของอัลกอริทึมการสำหรับงานที่ทำงานในเวลาโพลิโนเมียอย่างรวดเร็ว การ ชั้นทั่วไปคำถามที่บางอัลกอริทึมสามารถให้คำตอบในเวลาพหุนามเรียกว่า "ชั้น P" หรือเพียง "P" สำหรับคำถาม ไม่มีทางไม่รู้จักหาคำตอบได้อย่างรวดเร็ว แต่ถ้าหนึ่งไม่มีข้อมูลแสดงว่าคำตอบคืออะไร จะสามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างรวดเร็ว ระดับของคำถามซึ่งคำตอบสามารถตรวจสอบในเวลาพหุนามเรียกว่า NPพิจารณาปัญหาย่อยผลรวม ตัวอย่างของปัญหาที่เป็นเรื่องง่ายในการตรวจสอบ แต่คำตอบอาจจะยากที่จะคำนวณ กำหนดชุดของจำนวนเต็ม ไม่บางลเพียง nonempty รวมเป็น 0 หรือไม่ ไม่ชุดย่อยของชุดตัวอย่าง { −2, −3, 15, 14, 7, −10 } เพิ่มค่าเป็น 0 หรือไม่ คำตอบ "ใช่ เนื่องจากย่อย {−2, −3, −10, 15 } เพิ่มศูนย์ถึง" สามารถได้อย่างรวดเร็วตรวจสอบกับสามเพิ่มได้ อย่างไรก็ตาม มีอัลกอริทึมไม่รู้จักหาย่อยดังกล่าวในเวลาโพลิโนเมีย (มีหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ในเวลาเนน ซึ่งประกอบด้วยพยายาม 2n-n-1), แต่มีขั้นตอนวิธีการดังกล่าวถ้า P = NP ดังนั้น ปัญหานี้เป็น NP (checkable อย่างรวดเร็ว) แต่ไม่จำเป็นต้อง ใน P (แก้ไขอย่างรวดเร็ว)คำตอบการ P = NP ถามจะตรวจสอบว่า ปัญหาที่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาโพลิโนเมีย เช่นปัญหาผลรวมย่อย สามารถสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ถ้ามันเปิดออกที่ P ≠ NP มันจะหมายถึง ว่า มีปัญหาใน NP (เช่นปัญหาทำ NP) ที่หนักการคำนวณมากกว่าการตรวจสอบ: พวกเขาอาจไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาโพลิโนเมีย แต่ไม่สามารถตรวจสอบคำตอบในเวลาพหุนามนอกจาก มีปัญหาที่สำคัญในทฤษฎีการคำนวณ หลักฐานด้วยวิธีใดจะมีผลกระทบอย่างลึกซึ้งในวิชาคณิตศาสตร์ เข้ารหัส วิจัยอัลกอริทึม ปัญญาประดิษฐ์ ทฤษฎีเกม ประมวลผลมัลติมีเดีย ปรัชญา เศรษฐศาสตร์ และฟิลด์อื่น ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

P เมื่อเทียบกับปัญหา NP เป็นแก้ปัญหาที่สำคัญในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ทางการจะถามว่าปัญหาที่มีทุกทางออกที่สามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วโดยคอมพิวเตอร์นอกจากนี้ยังสามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วโดยใช้คอมพิวเตอร์ มันก็เป็นหลักที่กล่าวถึงครั้งแรกใน 1956 จดหมายที่เขียนโดยเคิร์ตGödelกับจอห์นฟอนนอยมันน์ Gödelถามว่าบาง NP ปัญหาที่สมบูรณ์สามารถแก้ไขได้ในเวลาที่กำลังสองหรือเชิงเส้น. [2] คำสั่งที่แม่นยำของ P เมื่อเทียบกับปัญหา NP ถูกนำมาใช้ในปี 1971 โดยสตีเฟ่นคุกในกระดาษของเขาบรรลุ "ความซับซ้อนของขั้นตอนการพิสูจน์ทฤษฎีบท" [3 ] และมีการพิจารณาโดยมากจะเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในสนาม. [4] มันเป็นหนึ่งในเจ็ด Millennium ปัญหารางวัลที่เลือกโดยสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ที่จะดำเนิน US $ 1,000,000 รางวัลสำหรับการแก้ปัญหาที่ถูกต้องก่อน. ระยะทางการ ได้อย่างรวดเร็วใช้ข้างต้นหมายถึงการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมสำหรับงานที่ทำงานในเวลาพหุนาม ระดับทั่วไปของคำถามที่อัลกอริทึมบางคนสามารถให้คำตอบในเวลาพหุนามที่เรียกว่า "ชั้น P" หรือเพียงแค่ "P" สำหรับคำถามบางอย่างไม่มีวิธีที่รู้จักกันจะหาคำตอบได้อย่างรวดเร็ว แต่ถ้าใครมีให้กับข้อมูลที่แสดงให้เห็นว่าคำตอบคือมันเป็นไปได้ที่จะตรวจสอบคำตอบได้อย่างรวดเร็ว ชั้นเรียนของคำถามที่คำตอบสามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามที่เรียกว่า NP. พิจารณาปัญหาผลรวมย่อยตัวอย่างของปัญหาที่เป็นเรื่องง่ายในการตรวจสอบ แต่มีคำตอบอาจจะเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณ รับชุดของจำนวนเต็มไม่บางเซตว่างของพวกเขารวมถึง 0? ยกตัวอย่างเช่นไม่ย่อยของชุด {-2, -3, 15, 14, 7, -10} เพิ่มขึ้นถึง 0? คำตอบ "ใช่เพราะเซต {-2, -3, -10, 15} เพิ่มขึ้นเพื่อเป็นศูนย์" สามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วด้วยสามเพิ่มเติม อย่างไรก็ตามไม่มีอัลกอริทึมที่รู้จักกันในการค้นหาเช่นย่อยในเวลาพหุนาม (มีหนึ่งอย่างไรก็ตามในเวลาชี้แจงซึ่งประกอบด้วย 2n-n-1 พยายาม) แต่ขั้นตอนวิธีการดังกล่าวมีอยู่ถ้า P = NP; ด้วยเหตุนี้ปัญหานี้อยู่ใน NP (อย่างรวดเร็ว checkable) แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่ใน P (แก้ไขได้อย่างรวดเร็ว). คำตอบที่ P = คำถาม NP จะตรวจสอบว่าปัญหาที่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเช่นปัญหาย่อย-ผลรวมยังสามารถ แก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ถ้ามันกลับกลายเป็นว่า P ≠ NP มันจะหมายถึงว่ามีปัญหาในการขึ้นเครื่องหมาย NP (เช่นปัญหา NP-สมบูรณ์) ที่มีความยากในการคำนวณมากกว่าที่จะตรวจสอบพวกเขาไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แต่คำตอบจะได้รับการตรวจสอบแล้ว ในเวลาพหุนาม. นอกเหนือจากการเป็นปัญหาสำคัญในทฤษฎีการคำนวณหลักฐานทางใดทางหนึ่งจะมีความหมายที่ลึกซึ้งสำหรับคณิตศาสตร์วิทยาการวิจัยขั้นตอนวิธีปัญญาประดิษฐ์ทฤษฎีเกมการประมวลผลมัลติมีเดียปรัชญาเศรษฐศาสตร์และสาขาอื่น ๆ อีกมากมาย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยศึกเทพศาสตราเป็นปัญหาที่ไม่มีทางแก้ สาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ แบบไม่เป็นทางการ มันถามว่า ทุกปัญหา ที่สามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วตรวจสอบโดยคอมพิวเตอร์ยังสามารถได้อย่างรวดเร็วโดยใช้คอมพิวเตอร์แก้ไข มันเป็นครั้งแรกที่กล่าวถึงในจดหมายที่เขียนโดย 1956 รูนแท้ทั้ง จอห์น ฟอน นิวแมน . G ö del ถามว่าบางปัญหาอาจจะแก้ไขได้ใน NP สมบูรณ์เชิงเส้นกำลังสอง หรือเวลา[ 2 ] แม่นแถลงการณ์ของศึกเทพศาสตราเป็นที่รู้จักในปี 1971 โดยสตีเฟนคุกในกระดาษ " อสุจิของเขา ความซับซ้อนของขั้นตอนการพิสูจน์ทฤษฎีบท " [ 3 ] และมีการพิจารณาโดยมากจะเป็นปัญหาสำคัญที่สุดในการเปิดสนาม [ 4 ] เป็นหนึ่งในเจ็ดรางวัลสหัสวรรษปัญหาเลือก สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ถือ US $ 1000000 รางวัลสำหรับการแก้ปัญหาที่ถูกต้องก่อน

นอกระบบในระยะเร็ว ใช้ข้างต้น หมายความว่า การมีอยู่ของขั้นตอนวิธีสำหรับงานที่อยู่ในพหุนามเวลา ทั่วไปห้องถาม ซึ่งบางวิธีสามารถให้คำตอบในเวลาพหุนามเรียกว่า " คลาส P " หรือ " P " สำหรับคำถาม ไม่รู้จักวิธีที่จะหาคำตอบได้อย่างรวดเร็ว แต่ถ้าหนึ่งมีให้กับข้อมูลที่แสดงจะตอบว่าอะไรมันเป็นไปได้เพื่อตรวจสอบคำตอบโดยเร็ว ชั้นของคำถามที่คำตอบสามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเรียกว่า NP

พิจารณาย่อยสรุปปัญหา ตัวอย่างของปัญหาที่เป็นเรื่องง่ายในการตรวจสอบ แต่ที่ตอบอาจจะยากที่จะคำนวณ . ได้รับชุดของจำนวนเต็ม มีบางเซตย่อยของพวกเขารวม 0 ? ตัวอย่างเช่น มีเซตย่อยของชุด { − 2 , − 3 , 15 , 14 , 7− 10 } เพิ่มขึ้นเป็น 0 ? ตอบ " ใช่ เพราะว่าย่อย { − 2 , − 3 , − 10 , 15 } เพิ่มถึงศูนย์ " สามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วด้วยสามเพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม ไม่มีรู้ขั้นตอนวิธีการค้นหาเช่นย่อยในเวลาพหุนาม ( มีหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ในเวลาชี้แจงซึ่งประกอบด้วย 2n-n-1 พยายาม ) แต่ขั้นตอนวิธีที่มีอยู่ถ้า P = NP ;ดังนั้นปัญหานี้อยู่ใน NP ( รีบเช็คเอาต์ ) แต่ไม่จำเป็นใน P ( รีบแก้ไขได้ )

คำตอบ P = NP คำถามจะตรวจสอบว่า ปัญหาที่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามเช่นย่อยสรุปปัญหา สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม . ถ้ามันกลับกลายเป็นว่า P ≠ NP ,มันก็หมายความว่ามีปัญหา NP ( เช่นปัญหา NP สมบูรณ์ ) ที่ยากที่จะคำนวณมากกว่าเพื่อตรวจสอบ : พวกเขาไม่อาจจะแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แต่คำตอบจะถูกตรวจสอบในพหุนามเวลา

นอกจากจะเป็นปัญหาที่สำคัญในทฤษฎีทางการคำนวณ หลักฐานทั้งสองวิธีจะมีความหมายลึกซึ้ง สำหรับคณิตศาสตร์ , การเข้ารหัส , การวิจัยขั้นตอนวิธีปัญญาประดิษฐ์ , ทฤษฎี , เกมปรัชญาของมัลติมีเดีย , เศรษฐศาสตร์ และสาขาอื่นๆ