To complete the proof of Theorem 2.

To complete the proof of Theorem 2.2, we need to show that for each m 2 M, the

number mRk can be expressed as the sum of k powers of 10 satisfying the condition

described in Theorem 1.1. The case m = 1 is of course trivial, while the remaining six

readily follow from Theorem 2.1. h

As a further remark, we point out that the condition of being ‘‘a complete residue

system modulo k’’ demanded by Theorem 1.1 is actually equivalent to the sum of the

powers of 10 being a multiple of Rk. Although the necessity part is already claimed [3,

Remark 8], we shall now write a complete proof for this fact.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้เสร็จสมบูรณ์หลักฐานการทฤษฎีบท 2.2 เราต้องแสดงให้เห็นว่าแต่ละเมตร 2 M, จำนวน MRK สามารถแสดงเป็นผลรวมของอำนาจ k 10 ความพึงพอใจของเงื่อนไขที่อธิบายไว้ในทฤษฎีบท 1.1 กรณีเมตร = 1 เป็นหลักสูตรที่น่ารำคาญในขณะที่เหลืออีกหกได้อย่างง่ายดายตามมาจากทฤษฎีบท 2.1 เอชในฐานะที่เป็นคำพูดต่อไปเราชี้ให้เห็นว่าสภาพของการเป็น '' สารตกค้างที่สมบูรณ์ระบบโมดูโล k '' เรียกร้องโดยทฤษฎีบท 1.1 เป็นจริงเทียบเท่ากับผลรวมของอำนาจของ 10 เป็นหลาย Rk แม้ว่าส่วนจำเป็นที่จะอ้างแล้ว [3 หมายเหตุ 8] ตอนนี้เราจะเขียนหลักฐานที่สมบูรณ์แบบสำหรับความเป็นจริงนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เพื่อให้พิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2 , เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละ m 2 m ,

เบอร์เมอร์คสามารถแสดงเป็นผลรวมของพลัง K 10 พอใจเงื่อนไข

อธิบายทฤษฎีบท 1.1 . กรณี M = 1 เป็นหลักสูตรเล็กน้อย ขณะที่เหลืออีกหก

พร้อมติดตามจากทฤษฎีบท 2.1 . H

เป็นหมายเหตุเพิ่มเติม เราชี้ให้เห็นว่า เงื่อนไขของการ ' ' เสร็จสมบูรณ์

กากระบบโมดูโล่ K ' ' เรียกร้องโดยทฤษฎีบท 1.1 เป็นจริงเท่ากับผลรวมของ

พลัง 10 เป็นหลายของ RK . แม้ว่าส่วนที่จำเป็น แล้วอ้างว่า [ 3

หมายเหตุ 8 ] เรากำลังจะเขียนหลักฐานที่สมบูรณ์สำหรับความเป็นจริงนี้