LEMMA i. The group 111 has precisel

LEMMA i. The group 111 has precisely tzo con~~gacy ciasses of incoilrtions zdzich
are contained in 0 - (a) with the representatives a and t. We hate , 31: C,!(a)’ ==
16,584,750 and J/I : C,,(t) = 196,560. Furthermore u -i z ar;d t si G.
We base C,,(t):C,-(-t) . = 21s * 36 . 53 . 7 . 11 . 23. Let -%= be 2 minimai
normal subgroup of CM(t). Suppose that _y is an elementary abehan p-group.
-is the Sylow 23-normalizer of ,u is of order 23 . i 1, it follo.xs that AT II Ea::
But then C&y) = (t‘> and t A-,~ a , a contradiction. Thus -T is not solvable
From the order of CM(t) and the structure of AZ we get immediately that AT is
simple and 7, 11,23 1 ,v ,. B~sidering the S;iow ll- and 23-normalizers
cf :y we see finally that :ti = C,,,(t). Hence c,(t) is simple. By [8] c,(t) = .2,
the Conway’s simple group. 11-e have proved the following
LEILIJ1.s. 2. The group C,(t):(t> is a faithful extension 0,’ an extraspecia;
2-group of width 11 by the ConEcay’s simple group .2.
Let 6 be an element of order 11 in 32. Then C~(~) ‘v Z,; x ZJ . Let W ==
C,,(a). TV:: may assume that 5 E W. Let t E C,(9) - Co(a) be an inr-oluticr:
where 0 is an element of order 23 in W, then t Par a and 5, i 1 I j C&t j . Ke
have C(t) n O,(W) C Q, since otherwise i C(t) n O,(W); = 211 as 23 1 Cx.(tj ,
contradicting the fact that C&C(t) f~ O,(w)) = (2). From the Iist of the
maximal subgroups of the Mathieu simple groups MM and. Me, [3] and the fact
that :?&A ,g .2 3-e get that C,(t) E -Uaa and so W : C,(t), = 2:” . 3 = 98,304.
As the length of the orbit of t in iI is 196,560, so W acts transitively on’ the
involutions of Q - Co(a) w-hich are not conjugate to a in 31. Since there are
8,388,610 involutions in Q - Co(a), thus v-e have 8,3&8,610 - 98,304 =
8,290,306 imolutions in Q - Co(a) which are conjugate to n in 3.1. In ?articclar.
$ centralizes a conjugate of a in Q - Co(a). Let f be an in-+-oluticn in C:z(&
then Ce,&i’) N Egz since otherwise Cc-&?) .IT E2” ; now -? ini-*1r- cC ” an ejem11v-+u A L
f of order 3 of C,(?$ which acts fixed-point-free on Q, this implies that ever-
involution of Co(s) is centralized by an involution of C~~(&, contradicting
C,,(tj,C,(t) z .2. Thus Co([) contains exactl!- 6 conjugates of u and 12 COP
jugates of t. Acting on C(t) vr-ith (a, z), we see that O(C(t)) = . Zieariy
an &subgroup of C,,(t) is an &-subgroup of C( tj. Let X be a minima! normai
subgroup of C(s)!(s), then z E X. As C(t) controls the fusion of 8 in C(f) so -T<
is not soli-able. Since an &-subgroup of X contains eiementari abelian subgroups
of order 8 but not 16 so X is simple. Let S be an .5,-skgrouI; of X, then 3 is
nonabeiian of order 216 and so Co(t) 2 S. Tks S = 2E or P. Suppose
that S = 2’, then X n Co(f)! = 2 1 w h ic 2I- contradicts the fact that S Amust
be %omorphic to one of the follodng groups: EG , i&j , SD,5 and 2, >L Z, .
Ths ; s = P. BT- [5], we have X N MI2 cr 4, or A,. The last MO cases do
not occ’Lr as Cc-&(t) N E,s . Hence S = C(&

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จับมือฉันไว้ กลุ่ม 111 ได้แม่นยำ tzo คอน ~ ~ gacy ciasses ของ incoilrtions zdzichอยู่ใน 0 - (a) กับตัวแทน และ t เราเกลียดชัง 31: C, (a)’ ==16,584,750 และ J / ผม: C,,(t) = 196,560 นอกจากนี้ u -i z ar ศรี d t กรัมเราฐาน C,,(t):C,-(-t) = 21s * 36 53 7 11 23. ให้-% =ได้ 2 minimaiกลุ่มย่อยปกติของ CM(t) สมมติว่า _y ที่เป็นระดับประถมศึกษา abehan p-กลุ่ม-เป็น Sylow การ 23 normalizer, u เป็นของสั่ง 23 ฉัน 1 มัน follo.xs ว่าที่ทูเอ::แต่แล้ว C และ y) = (t'> และ t A-, ~ a ความขัดแย้ง -T จึงไม่สามารถแก้ไขได้จากโครงสร้างของ AZ และลำดับของ CM(t) เรารับทันทีว่าง่าย และ 7, 11,23 1, v, B ~ sidering S; iow จะ - และ 23-normalizerscf: y ที่เราเห็นก็ว่า: ตี้ = C,,,(t). Hence c,(t) เป็นเรื่องง่าย โดย c,(t) [8] = 2กลุ่มเรื่องของ Conway 11-อีได้พิสูจน์ต่อไปนี้LEILIJ1.s. 2 กลุ่ม C (t): (t > คือการซื่อสัตย์ต่อ 0 อัน extraspecia2-กลุ่มความกว้าง 11 กลุ่มเรื่องของ ConEcay 2ให้ 6 เป็นองค์ประกอบของใบสั่งใน 11 32 แล้ว C~(~) ' v Z,; x ZJ ให้ W ==C,,(a) ทีวี:: อาจสมมุติว่า 5 E W. ให้ t E C,(9) - Co(a) จะมี inr. oluticr:ที่ 0 คือ องค์ประกอบของลำดับ 23 W แล้วทีพาร์เป็น i 5, 1 และฉันเจซีแอนด์ทีเจ Keมี C(t) n O,(W) C Q ตั้งแต่มิฉะนั้นฉัน C(t) n O,(W) = 211 เป็น Cx 23 1. (tjcontradicting จริงที่ f C และ C(t) ~ O,(w)) = (2) จาก Iist ของกลุ่มย่อยสูงสุดพัก Mathieu กลุ่ม MM and. ฉัน, [3] และข้อเท็จจริงที่: ? & A, g .2 3 e รับที่อี C,(t) - Uaa และ W: C,(t), = 2: " 3 = 98,304เป็นความยาวของวงโคจรของ t ใน iI 196,560 ดังนั้น W กระทำ transitively ใน 'involutions Q - w-ใด Co(a) conjugate ไป 31 ในไม่ได้ เนื่องจากมีinvolutions 8,388,610 ใน Q - Co(a) ดังนั้น v-e มี 8,3 และ 8,610-98,304 =imolutions 8,290,306 ใน Q - Co(a) ซึ่งเป็นค่าสังยุคกับ n ใน 3.1 ใน? articclar$ เป็นค่าสังยุคของ Q ใน - Co(a) ให้ f จะเป็นใน- + -oluticn ใน C:z (และแล้ว Ce และฉัน ') Egz N ตั้งแต่มิฉะนั้น Cc - & ?) .IT E2 "; วันนี้- ini- * 1r-cC "มี ejem11v + u L เป็นสั่ง 3 ของ C, f (? $ซึ่ง fixed-point ฟรีบน Q นี้หมายถึง ever ที่ -อาวัตนาการของ Co(s) เป็นแบบรวมศูนย์ โดยมีอาวัตนาการของ C ~ ~(&, contradictingC,,(tj,C,(t) z 2 ดังนั้น Co([) ประกอบด้วย exactl ! -conjugates 6 และตำรวจ 12jugates ต.ทำหน้าที่บน C(t) vr-ระยะ (a, z), เราเห็นว่า O(C(t)) = . Zieariyตัวและเป็นกลุ่มย่อยของ C,,(t) การและ-กลุ่มย่อยของ C (tj ให้ X เป็นกมินิมา normaiกลุ่มย่อยของ C(s) (s) นั้น z E X เป็น C(t) ควบคุมการฟิวชั่นของ 8 ใน C(f) ดังนั้น -T <จะไม่สามารถ soli เนื่องจากการ &-eiementari อาบีเลียนย่อยประกอบด้วยกลุ่มย่อยของ Xสั่ง 8 แต่ไม่ 16 X ให้เป็นเรื่องง่าย ครั้งที่เป็นได้ 5 สามารถให้ S-skgrouI X แล้ว 3 เป็นnonabeiian ของใบสั่งให้ และ 216 Co(t) 2 S. Tks S = 2E หรือ P. สมมติที่ S = 2", X n Co(f) แล้ว = 2 1 w h ic 2I - ทุกความจริงที่ว่า Amust Sเป็น omorphic %ของกลุ่ม follodng: EG, i และ j, SD, 5 และ 2, > L Z,Ths s =พีบีที - [5], เรามี cr MI2 X N 4 หรือ A, กรณีล่าสุดที่ MO ทำไม่ occ'Lr Cc และ (t) N E, s ดังนั้น S = C (& < 4', 2 3 ~ อาร์เอส เรา iale prowdต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทแทรกฉัน กลุ่มที่มีความแม่นยำ 111 TZO นักโทษ ~~ Gacy ciasses ของ incoilrtions zdzich
มีอยู่ใน 0 - () กับตัวแทนและเสื้อ เราเกลียด, 31: C () ==!
16584750 และ J / I: C ,, (t) = 196560 นอกจากนี้ยู -iz เท่; dt si กรัม
เราฐาน C ,, (t): C - (- t) 21s = * 36 53 7 11 23. ให้ -% = 2 minimai
กลุ่มย่อยปกติของ CM (t) สมมติว่า _Y ที่ประถม abehan กลุ่มพี.
-is Sylow 23 Normalizer ของมึงคือการสั่งซื้อ 23 1 ผมก็ follo.xs ที่ AT II :: Ea
แต่แล้ว C & Y) = (t '> และเสื้อ A- ~, ความขัดแย้ง. ดังนั้น -T ไม่ได้แก้ไข
จากคำสั่งของ CM (t) และโครงสร้าง อาริโซน่าของเราจะได้รับทันทีว่าเป็นที่
เรียบง่ายและ 7 11,23 1, v, B ~ Sidering S; IOW ll- และ 23 normalizers.
CF: y ที่เราเห็นในที่สุดว่า: TI = C ,,, (t) . ดังนั้นค (t) เป็นเรื่องง่าย. โดย [8] C, (t) = 0.2,
กลุ่มที่เรียบง่ายของคอนเวย์. 11 จได้พิสูจน์แล้วว่าต่อไปนี้
LEILIJ1.s. 2. กลุ่มซี (t) :( เสื้อ> เป็นส่วนขยายที่ซื่อสัตย์ 0, 'extraspecia;
. 2 กลุ่มที่มีความกว้าง 11 โดยกลุ่มที่เรียบง่ายของ ConEcay 0.2
ให้ 6 เป็นองค์ประกอบของ 11 ลำดับที่ 32 จากนั้น C ~ (~) 'โว Z ,; x ZJ . ให้ == W
C ,, (ก) :: ทีวีอาจคิดว่า 5 อีดับบลิวทีให้อีซี (9) - ร่วม (ก) จะ INR-oluticr.
ที่ 0 เป็นองค์ประกอบของการสั่งซื้อ 23 W . แล้ว t ตราไว้หุ้นละ 5 และฉัน 1 ฉันเจซีแอนด์ทีเจ Ke
มี C (t) n O, (W) CQ เนื่องจากเป็นอย่างอื่นฉัน C (t) n O (W) = 211 23 1 Cx (TJ,
ขัดแย้งความจริงที่ว่า C & C (t) f ~ โอ (w)) = (2) จาก IIST ของ.
กลุ่มย่อยสูงสุดของกลุ่มง่าย Mathieu MM และ Me, [3] และความจริง.
ว่า? & A 0.2 กรัม 3 อีได้รับที่ซี (t) E -Uaa และอื่น ๆ W: C (t) = 2 " 3 = 98304.
ในฐานะที่เป็นความยาวของวงโคจรของทีในครั้งที่สองคือ 196560 ดังนั้น W ทำหน้าที่สกรรมกริยาที่ '
involutions คิว - ร่วม (ก) W-hich จะไม่ผันไปใน 31 เนื่องจากมี
8,388,610 involutions ในคิว - ร่วม (ก) จึงได้มี 8,3 และ 8,610 - 98,304 =
8,290,306 imolutions ใน Q - ร่วม (ก) ซึ่งเป็นคอนจูเกตถึง n 3.1 . ใน articclar
$ ศูนย์กลางของการผันใน Q - ร่วม (ก) ให้ f เป็นใน - + - oluticn ใน C: ซี (และ
? Ce แล้วและฉัน) ไม่มี EGZ ตั้งแต่ Cc- และอื่น) มัน E2 "; ตอนนี้ -? เริ่มแรก * 1r- ซีซี "ยู ejem11v- + อัล
ฟาเรนไฮของคำสั่งที่ 3 ของซี ($ ซึ่งทำหน้าที่คงที่จุด Q ฟรีบนนี้แสดงให้เห็นว่าเคย -
ร่วมด้วยการร่วม (s) เป็นศูนย์กลางโดยร่วมด้วย ของ C ~~ (& ขัดแย้ง
. C ,, (TJ, C, (t) ซี 0.2 ดังนั้นร่วม ([) มี exactl - 6 conjugates ของท่านและ 12 COP
. jugates เสื้อรักษาการใน C (t) vr -ith (ซี) เราจะเห็นว่า O (C (t)) =. Zieariy
และกลุ่มย่อยของ C ,, (t) เป็น & -subgroup ของ C (TJ. ให้ X เป็นน้อย! normai
กลุ่มย่อยของ C (s)! (s), E แล้วในฐานะที่เป็นซีเอ็กซ์ C (t) ควบคุม ฟิวชั่น 8 ใน C (ฉ) เพื่อให้ -T <
ไม่สามารถ soli ตั้งแต่ & -subgroup ของ X มี eiementari กลุ่มย่อยศาสนาคริสต์.
8 การสั่งซื้อ แต่ไม่ X 16 เพื่อให้เป็นเรื่องง่ายที่จะให้เอส 0.5, -skgrouI. ของ X แล้ว 3
nonabeiian ของการสั่งซื้อ 216 และอื่น ๆ ร่วม (t) 2 เอส Tks S = 2E หรือพีสมมติ
ว่า S = 2 'แล้ว X n ร่วม (ฉ)! = 2 1 2I- ไอซีทีในทางตรงกันข้าม ความจริงที่ว่า S AMUST
% omorphic เป็นที่หนึ่งของกลุ่ม follodng. EG ฉัน & J, SD, 5 และ 2> LZ,
Ths; s = พี BT- [5] เรามี XN MI2 CR 4 หรือ, . กรณี MO สุดท้ายทำ
ไม่ได้ occ'Lr เป็นสำเนา - & (t) ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ, s ดังนั้น S = C (& <4 '2 ~ 3 อาร์เอสเรา iale prowd...
ต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ฉันแทรกกลุ่ม 111 ได้แม่นยำ tzo หลอก ~ ~ เกซีชั่วโมงของ incoilrtions ที่มีอยู่ใน zdzich
0 - ( ) กับตัวแทน และ ที เราเกลียด , 31 : C ! ( ) ' = =
16584750 และ J / i : C ( t ) = 196560 . นอกจากนี้ U - Z AR ; D .
t ศรีฐานเรา C ( t ) C - ( - t ) = 21s * 36 53 . 7 . 11 . 23 . ปล่อย - % = 2 minimai
ปกติกลุ่มย่อยของ cm ( T ) สมมติว่า _y เป็น p-group
abehan ประถม- เป็น sylow 23 normalizer ของ U เป็นลำดับ 23 ชั้น 1 , 2 follo.xs ที่ EA : :
แต่ C & y ) = ( T ' T - ~ , ความขัดแย้ง ปาน - T ไม่ได้แก้ปัญหาได้
จากคำสั่งของ cm ( T ) และโครงสร้างของ AZ เราได้ทันที ที่ คือ ง่าย และ 11,23 1
7 V . B ~ sidering S ; ll - อาหาร 23 normalizers
CF : Y เราเห็นในที่สุดว่า Ti = C , , , ( T ) ดังนั้น C ( T ) ได้ง่าย ๆ โดย [ 8 ] C ( t ) = 2
.คอนเวย์ง่ายกลุ่ม 11-e ได้พิสูจน์
leilij1 ต่อไปนี้ เอส 2 กลุ่ม c ( t ) ( t > เป็นความซื่อสัตย์ต่อ 0 , ' extraspecia ;
การวิจัยของความกว้าง 11 โดย conecay ง่ายกลุ่ม 2
6 เพื่อให้ เป็นองค์ประกอบของ 11 32 แล้ว C ~ ( ~ ) Z ' V ; x ZJ . ให้ w = =
C ( A ) ทีวี : : อาจจะคิดว่า 5 E W . ให้ t e C ( 9 ) - CO ( , ) เป็น oluticr :
ที่ 0 เป็นองค์ประกอบของคำสั่งในทิศตะวันตกแล้วทีพาร์และ 5 ชั้น 1 & j c T J . เก
ได้ C ( t ) N O ( w ) C Q เพราะไม่อย่างนั้นฉัน C ( t ) N O ( W ) ; = 211 เป็น 23 1 CX ( ทีเจ ขัดแย้งกับความเป็นจริงที่&
C C ( t ) f ~ O ( w ) = ( 2 ) จากรายชื่อของ
กลุ่มย่อยสูงสุดของแมทธิวง่ายกลุ่มมม. และ . ฉัน , [ 3 ] และความเป็นจริง
: ? & A , G . 2 3-e ได้ C ( t ) E - uaa และ W : c ( t ) = 2 : " 3 = 98304 .
ตามความยาวของการโคจรของ T ใน 2 196 ,แล้ว ดังนั้นการกระทำเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงใน W '
involutions Q - CO ( ) w-hich ไม่ผันไปใน 31 เนื่องจากมี
8388610 involutions ใน Q - CO ( ) จึงมี 8,3 แห่งชัยชนะของฝ่ายพันธมิตร& 8610 - 98304 =
8290306 imolutions ใน Q - CO ( ) ซึ่งเป็นคู่ที่อยู่ใน 3.1 . ใน ? articclar .
$ centralizes เป็นสังยุคของใน Q - CO ( ) ให้ f เป็น - - oluticn ใน C : Z ( &
แล้ว CE , &ฉัน ' ) n egz ตั้งแต่มิฉะนั้น CC - & ? ) .มัน E2 " ตอนนี้ -- ? คลิปนี้ - * - CC " ejem11v - u l
F ของสินค้า 3 C ( ? $ ซึ่งการกระทำคงจุดฟรีในคิว แสดงว่าเคย N -
การพัวพันของ CO ( s ) มีศูนย์กลางการพัวพันของ C ~ ~ ( & , ทะลึ่ง ,
c ( TJ , C ( t ) Z . 2 ดังนั้น CO ( [ ) ประกอบด้วย ฆังแท้ ! - 6 สารประกอบของ u และ 12 ตำรวจ
jugates ของ ตัว VR ith C ( t ) ( , Z ) เราเห็น O ( C ( t ) = < E > zieariy
มีกลุ่มย่อย&ของ C ,( T ) เป็น& - กลุ่มย่อยของ C ( เช่น . ให้ x เป็นไม่นี่ ม๊า ! ปกติ
กลุ่มย่อยของ C ( s ) ( s ) แล้ว Z E X เป็น C ( t ) การควบคุมการ 8 C ( F ) - t <
ไม่ใช่ Soli สามารถ ตั้งแต่& - กลุ่มย่อยของ X มี eiementari
กลุ่มย่อยของศาสนาคริสต์เพื่อ 8 แต่ไม่ดังนั้น X เป็นเรื่องง่าย ให้ S เป็น 5 , - skgroui ; x ,
3 คือ nonabeiian สั่งซื้อแล้วดังนั้น CO ( T ) 2 . TKS S = 2 หรือหน้า สมมติว่า S = 2
' แล้ว x N CO ( F )= 2 W 1 H IC 2i - ขัดแย้งกับความจริงที่ amust
% omorphic เป็นหนึ่งใน follodng กลุ่ม เช่น ผม& J , SD , 5 และ 2 > L Z .
หน้า ; s = P . BT - [ 5 ] เรามี x N mi2 CR 4 หรือ , . กรณี โม สุดท้ายทำ
ไม่ occ'lr เป็น CC - & ( t ) N E , s ดังนั้น S = C ( & < 3 ' , 3 ~ Rs . เรา iale prowd
ต่อไปนี้