Butcher and Chartier in [1, pp. 274

Butcher and Chartier in [1, pp. 274–276] first introduced the doubly
companion matrices, after that Butcher and Wright [2] and Wright [3] used of
doubly companion matrices as a tool to analyze numerical methods and some gen-
eral linear methods property. In this paper, we prove that any doubly companion
matrix, and the sum of two doubly companion matrices are nonderogatory, and
obtain the explicit form of its minimal polynomials. Moreover, we construct some
examples which show that those product of two doubly companion matrices may
not be a nonderogatory matrix. As in [4], we gives some condition for which the
product of (doubly) companion matrices is a nonderogatory matrix. In addition
we assert that the product of two unreduced Hessenberg is not nonderogatory.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เนื้อและ Chartier ใน [1, pp. 274-276] รู้จักครั้งแรก ผสานงานเพื่อนเมทริกซ์ หลังจากที่เนื้อ และไรต์ [2] และไรท์ [3] ใช้งานผสานงานสหายเมทริกซ์เป็นเครื่องมือในการวิเคราะห์วิธีการเชิงตัวเลขและบางพล-คุณสมบัติของ eral วิธีการเชิงเส้น ในกระดาษนี้ เราพิสูจน์ว่า การผสานงานผู้ร่วมเดินทางเมทริกซ์ และผลรวมของสอง ผสานงานสหายเมทริกซ์มี nonderogatory และขอรับแบบฟอร์มชัดเจนของ polynomials น้อยที่สุด นอกจากนี้ เราสร้างบางตัวอย่างที่แสดงว่าผลิตภัณฑ์ที่สองผสานงานสหายเมทริกซ์อาจไม่มีเมตริกซ์ nonderogatory ใน [4], เราให้เงื่อนไขบางประการซึ่งการผลิตภัณฑ์ของ (ผสานงาน) สหายเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ nonderogatory นอกจากนี้เราอ้างว่า ผลิตภัณฑ์ของ Hessenberg unreduced สองไม่ nonderogatory

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เนื้อและ Chartier ใน [1, PP. 274-276]
ครั้งแรกที่เปิดตัวทวีคูณเมทริกซ์สหายหลังจากที่บุชเชอร์และไรท์[2] และไรท์ [3]
ที่ใช้ในการทวีคูณการฝึกอบรมสหายเป็นเครื่องมือในการวิเคราะห์วิธีการเชิงตัวเลขและบางgen-
eral สถานที่ให้บริการวิธีการเชิงเส้น ในบทความนี้เราพิสูจน์ได้ว่าเป็นทวีคูณสหายเมทริกซ์และผลรวมของสองสหายทวีคูณการฝึกอบรมที่มี nonderogatory และได้รับรูปแบบที่ชัดเจนของพหุนามน้อยที่สุด นอกจากนี้เรายังสร้างบางตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าผลิตภัณฑ์สองสหายทวีคูณการฝึกอบรมเหล่านั้นอาจไม่เป็นเมทริกซ์nonderogatory ในขณะที่ [4] เราจะช่วยให้สภาพบางอย่างสำหรับการที่ผลิตภัณฑ์ของ(ทวีคูณ) การฝึกอบรมสหายเป็นเมทริกซ์ nonderogatory นอกจากนี้เรายืนยันว่าผลิตภัณฑ์ของทั้งสอง unreduced Hessenberg ไม่ได้เป็น nonderogatory

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นักฆ่าและ chartier [ 1 , pp . 274 ) 276 ] แรกเปิดตัวชั้นเพื่อนเมทริกซ์ หลังจากที่บุชและไรท์ [ 2 ] และ [ 3 ] ใช้ของไรท์ให้สหายเมตริกซ์เป็นเครื่องมือวิเคราะห์และ Gen - ระเบียบวิธีเชิงตัวเลขวิธีการที่ตรงคุณสมบัติ ในกระดาษนี้เราพิสูจน์ว่า ให้เพื่อนเมทริกซ์และผลรวมของ 2 คู่หู nonderogatory เมทริกซ์เป็นทวีคูณ และขอรับแบบฟอร์มที่ชัดเจนของมันน้อยที่สุดพหุนาม . นอกจากนี้ เราสร้างบางตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าผลิตภัณฑ์ดังกล่าวสองสหาย เมทริกซ์อาจทวีคูณไม่ได้เป็นเมทริกซ์ nonderogatory . ใน [ 4 ] เราให้เงื่อนไขบางอย่างที่ผลิตภัณฑ์ ( ทวีคูณ ) เพื่อนเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์ nonderogatory . นอกจากนี้เรายืนยันว่าผลิตภัณฑ์สอง unreduced hessenberg ไม่ nonderogatory .