Here yi = (yi1, . . . , yiT )′, yi,

Here yi = (yi1, . . . , yiT )
′
, yi,−1 =

yi0, . . . , yi,T−1
′
, ιT is a T × 1
vector of ones, and Xi
is a T × K matrix with the vector of explanatory
variables x
′
it in its tth row. Moreover, ci
is an unobserved
cross-sectional specific effect, τ0 is a vector of unobserved timespecific
effects, and D is a T × (T − 1) matrix with time dummies
dt2, . . . , dtT in its tth row, where dts = 1 if s = t (0 otherwise).
Throughout it is assumed the elements of xit vary with i and with t
(for at least some i) and are strictly exogenous with respect to the
idiosyncratic errors in ϵi = (ϵi1, . . . , ϵiT )
′
. However, the elements
in xit may be correlated with ci
in an arbitrary fashion.
Phillips (2010) applies QML estimation to an augmented version
of the model in (1). In order to write the augmented regression, let
xi be a column vector consisting of the distinct elements of Xi
, and
set zi =

x
′
i
, yi0
′
. Then note that the linear projection of ci on 1 and
zi
is given by
ci = µ0 + z
′
i
θ0 + ai, (2)
with θ0 = Var (zi)
−1
Cov (zi, ci) and µ0 = E (ci) − E

z
′
i

θ0.
1
From
(1) and (2) we obtain the augmented dynamic regression model
yi = Wiγ0 + ιT ai + ϵi, (3)
where Wi =

yi,−1, Xi, D, ιT , ιT z
′
i

and γ0 =

δ0, β
′
0
, τ
′
0
, µ0, θ
′
0
′
(cf. Phillips, 2010, Eq. (3)).
The equation in (3), rather than the equation in (1), can be
estimated consistently with a QML estimator. To see why (3) must
be estimated with QML rather than (1), observe that the function
µ0 + z
′
i
θ0 controls for the correlation between ci and yi0 and
the possible correlation between ci and the elements of Xi
. By
incorporating this control function in the augmented model in (3)
it follows that, although the cross-sectional specific component ci
in the original model in (1) is correlated with yi0 and possibly the
elements of Xi
, the cross-sectional specific component ai
in (3) is
uncorrelated with yi0 and the elements of Xi
. It is because of this
difference in how the unobserved cross-sectional specific effect
is or is not correlated with yi0 and the elements of Xi that QML
estimation applied directly to the model in (1)is inconsistent when
only N → ∞ while QML estimation applied to the augmented
model in (3) is consistent (Phillips, 2010, 2014).
Theorem 1 provides conditions for the asymptotic normality (as
N → ∞ with T fixed) of the maximizer of the concentrated loglikelihood
for the augmented regression model:
LN (γ) = const −
N
2
ln 
σ
2
(γ)

−
N (T − 1)
2
ln 
σ
2
ϵ
(γ)

.
In this log-likelihood γ =

δ, β
′
, τ
′
, µ, θ
′
′
∈ R
m, σ
2
ϵ
(γ) = N
i=1
ui (γ)
′ QTui (γ) / [N (T − 1)], ui (γ) = yi − Wiγ, QT = IT −
ιT ι
′
T
/T , σ
2
(γ) =
N
i=1
ui (γ)
2
/N, and ui (γ) = ι
′
T
ui (γ) /T . This
log-likelihood can be maximized by using iterative feasible generalized
least squares (see Phillips, 2010).
In order to state the theorem, let σ
2
ϵ0 = var (ϵit) (t = 1, . . . , T ),
σ
2
a0 = var (ai), σ
2
0 = σ
2
a0 + σ
2
ϵ0
/T , Σ
−1
0 = QT /σ 2
ϵ0 + ιT ι
′
T
/

σ
2
0
T
2

,
and A0 = E

W′
i Σ
−1
0 Wi

. Moreover, let a
11
0
denote the first row,
first column element of A
−1
0
. Next, set ui = ui

γ0

, ui = ui

γ0

,
and Si = W′
i Σ
−1
0
ui +

ϵ
′
iQT ϵi/

σ
2
ϵ0
(T − 1)

− u
2
i
/σ 2
0

ψ, where
ψ is an m × 1 vector given by ψ =
T−1
t=1 φt/T , 0
′
′
, with
φ1 = 1 and φt = 1 + δ0φt−1 for t ≥ 2. Also, define H0 =
−A0 +2Tψψ′
/ (T − 1). Finally, set vi =

z
′
i
, ϵ
′
i
, ci
′
(i = 1, . . . , N)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ที่นี่ยี่ = (yi1,..., ซิงเสียนเยอะ)′ยี่ −1 =yi0,..., ยี่ T−1′, ΙT เป็น T × 1เวกเตอร์ของคน และสิเป็นเมทริกซ์× K T กับเวกเตอร์ของการอธิบายตัวแปร x′มันในแถวของ tth นอกจากนี้ ciเป็นการ unobservedเหลวเฉพาะผล τ0 คือ เวกเตอร์ของ unobserved timespecificผลกระทบ และ D คือ เมทริกซ์ (T − 1) × T กับหุ่นเวลาdt2,..., dtT ในแถวของ tth ที่ dts = 1 ถ้า s = t (0 อื่น)ตลอดจะถือว่า เป็นองค์ประกอบของ xit แตกต่าง กับฉัน และ t(สำหรับบางน้อย i) และเคร่งครัดบ่อยด้วย respect เพื่อข้อผิดพลาด idiosyncratic ใน ϵi (ϵi1,..., ϵiT) =′. อย่างไรก็ตาม องค์ประกอบใน xit อาจถูก correlated กับ ciในการกำหนดไขควง (2010) ใช้ประเมิน QML รุ่นออกเมนต์ของแบบจำลองใน (1) การเขียนการถดถอยออกเมนต์ ให้สิเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของสิและตั้งซิ =x′ฉัน, yi0′. แล้ว สังเกตว่า โปรเจคชันเชิงเส้นของ ci 1 และซิถูกกำหนดโดยci = µ0 + z′ฉันΘ0 + ไอ, (2)มี θ0 = Var (zi)−1Cov (ซิ ci) และ µ0 =− E (ci) Ez′ฉันΘ01จาก(1) และ (2) เราได้แบบจำลองการถดถอยแบบไดนามิกออกเมนต์yi = Wiγ0 + ιT ไอ ϵi, (3)ที่จอดรถ =ยี −1 ซี ดี ιT, ιT z′ฉันและ γ0 =Δ0 Β′0Τ′0, Μ0 Θ′0′(cf. ไขควง 2010, Eq. (3))ได้สมการใน (3), แทนที่สมการใน (1),ประเมินอย่างสม่ำเสมอ มีประมาณ QML ดูทำไมต้อง (3)จะประมาณ ด้วย QML มากกว่า (1) การสังเกตพบว่า การทำงานµ0 + z′ฉันการควบคุมความสัมพันธ์ระหว่างเครื่องและ yi0 θ0 และความสัมพันธ์เป็นไปได้ระหว่าง ci และองค์ประกอบของสิ. โดยเพจนี้ฟังก์ชันการควบคุมในรูปแบบออกเมนต์ใน (3)เป็นไปตามที่ แม้ว่า ci ส่วนประกอบเฉพาะที่เหลวในรูปแบบเดิมใน (1) ถูก correlated กับ yi0 และอาจจะองค์ประกอบของสิไอคอมโพเนนต์เฉพาะที่เหลวใน (3)uncorrelated yi0 และองค์ประกอบของสิ. ด้วยเหตุนี้จึงความแตกต่างในวิธีการ unobserved ลักษณะพิเศษเฉพาะของเหลวมี หรือจะไม่ correlated yi0 และองค์ประกอบของสิ QML นั้นโดยตรงกับรูปแบบใน (1) การประเมินไม่สอดคล้องเมื่อเพียง N →∞ในขณะประเมิน QML กับที่ออกเมนต์รุ่นใน (3) มีความสอดคล้อง (ไขควง 2010, 2014)ทฤษฎีบท 1 ให้ normality asymptotic (เป็นเงื่อนไข∞→ N กับ T คงที่) ของ maximizer ของ loglikelihood เข้มข้นสำหรับแบบจำลองถดถอยออกเมนต์:LN (γ) =−ค่า constN2ln Σ2(Γ)−N (T − 1)2ln Σ2Ε(Γ).ในนี้โอกาสล็อกγ =Δ Β′Τ′เขต Θ′′∈ Rm σ2Ε(Γ) = Nฉัน = 1ui (γ)′ QTui (γ) / [N (T − 1)], ui (γ) =−ยี่ Wiγ คิวที =−มันΙT Ι′T/T Σ2(γ) =Nฉัน = 1ui (γ)2/ N และ ui (γ) =ι′Tui (γ) /T นี้สามารถขยายใหญ่สุดบันทึกความเป็นไปได้ โดยการใช้ซ้ำการตั้งค่าทั่วไปเป็นไปได้กำลังสองน้อยสุด (ดูไขควง 2010)เพื่อรัฐทฤษฎีบท ให้σ2Ε0 = var (ϵit) (t = 1,..., T),Σ2a0 = var (ai), σ20 =Σ2a0 + σ2Ε0/T Σ−10 =คิวที/Σ 2Ε0 ΙT Ι +′T/Σ20T2,และ A0 = EW′ฉันΣ−10 อินเตอร์. ยิ่งไปกว่านั้น ให้เป็น110แสดงแถวแรกองค์ประกอบแรกของคอลัมน์ของ A−10. ถัดไป การตั้งค่า ui = uiΓ0, ui = uiΓ0,และศรี = W′ฉันΣ−10ui +Ε′iQT ϵi /Σ2Ε0(T − 1)− u2ฉัน/Σ 20Ψ ที่Ψเป็นเวกเตอร์× 1 เมตรการกำหนด โดยψ =T−1t = 1 ที่ φt/T, 0′′มีΦ1 = 1 และ φt = 1 + δ0φt−1 สำหรับ t ≥ 2 ยัง กำหนด H0 =−A0 + 2TΨΨ′/ (T − 1). ในที่สุด ตั้งค่า vi =z′ฉันΕ′ฉัน, ci′(i = 1, . . . , N)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นี่ยี่ = (yi1,..., YIT)
', ยี่, -1 =  yi0, . . , ยี่ T-1  ', ιTเป็น T × 1 เวกเตอร์ของคนและจินเป็น T ×เมทริกซ์ K กับเวกเตอร์ของอธิบายตัวแปรx' ในแถวของ TTH นอกจากนี้ CI เป็นสังเกตตัดผลเฉพาะτ0เป็นเวกเตอร์ของ timespecific สังเกตผลกระทบและD เป็นเสื้อ× (T - 1) เมทริกซ์ที่มีหุ่นเวลาDT2, . . , DTT ในแถว TTH ของที่ DTS = 1 ถ้า s t = (0 อื่น ๆ ). ตลอดมันจะสันนิษฐานองค์ประกอบของอกแตกต่างกันกับผมและเสื้อ(อย่างน้อยบาง i) และเป็นอย่างเคร่งครัดภายนอกที่เกี่ยวกับนิสัยข้อผิดพลาดในεi = (εi1,..., εiT) ' แต่องค์ประกอบในอกอาจจะมีความสัมพันธ์กับ CI ในแฟชั่นพล. ฟิลลิป (2010) มีผลบังคับใช้ประมาณค่า QML ไปยังรุ่นเติมของรูปแบบ(1) เพื่อที่จะเขียนถดถอยเติมให้จินเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ประกอบด้วยองค์ประกอบที่แตกต่างของจินและชุดZi =  x 'ฉัน, yi0 ' แล้วทราบว่าประมาณการเชิงเส้นของ CI ในวันที่ 1 และซี่จะได้รับจากCI = μ0 + Z 'ฉันθ0 + ไอ (2) กับθ0 = Var (ซี่) -1 Cov (ซี่, CI) และμ0 = E (CI ) - E ซี'ฉันθ0. 1 จาก(1) และ (2) เราได้เพิ่มรูปแบบการถดถอยแบบไดนามิกยี่= Wiγ0 + ιTไอ + εi (3) ที่ Wi = ยี่ -1 Xi, D , ιT, ιTซี 'ฉันและγ0 = δ0, β' 0, τ '0, μ0, θ' 0  '(cf ฟิลลิปปี 2010 สม. (3)). สมการใน (3) มากกว่าสมการที่ (1) สามารถคาดอย่างต่อเนื่องกับประมาณการQML เพื่อดูว่าทำไม (3) จะต้องถูกประเมินด้วยQML มากกว่า (1) สังเกตว่าฟังก์ชันμ0 + Z 'ฉันθ0ควบคุมความสัมพันธ์ระหว่างCI และ yi0 และความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ระหว่างCI และองค์ประกอบของจิน โดยผสมผสานฟังก์ชั่นการควบคุมนี้ในรูปแบบเติมใน (3) ก็ต่อว่าแม้ว่าองค์ประกอบที่เฉพาะเจาะจงตัด CI ในรูปแบบเดิม (1) มีความสัมพันธ์กับ yi0 และอาจองค์ประกอบของจินซึ่งเป็นองค์ประกอบที่เฉพาะเจาะจงตัดขวางไอใน (3) เป็น uncorrelated กับ yi0 และองค์ประกอบของจิน มันเป็นเพราะเรื่องนี้แตกต่างในวิธีผลตัดเฉพาะไม่มีใครสังเกตหรือไม่ได้มีความสัมพันธ์กับyi0 และองค์ประกอบของจินที่ QML การประมาณค่าใช้โดยตรงกับรูปแบบ (1) ไม่สอดคล้องกันเมื่อเท่านั้นไม่มี→∞ในขณะที่การประมาณค่าQML ใช้ ไปเติมในรูปแบบ(3) มีความสอดคล้อง (ฟิลลิป, 2010, 2014). ทฤษฎีบท 1 มีเงื่อนไขสำหรับการปกติ asymptotic (ในขณะที่ยังไม่มี→∞ด้วยT คงที่) ของ Maximizer ของ loglikelihood เข้มข้นสำหรับรูปแบบการถดถอยเติม: LN ( γ) = const - ไม่มี2 LN σ 2 (γ)  - N (T - 1) 2 LN σ 2 ε (γ) . ในการเข้าสู่ระบบนี้น่าจะเป็นγ = δ, β ', τ' , μ, θ '' ∈ R เมตรσ 2 ε (γ) = N i = 1 UI (γ) 'QTui (γ) / [N (T - 1)] UI (γ) = ยี่ - Wiγ, QT = ไอที - ιTι 'T / T, σ 2 (γ) = N i = 1 UI (γ) 2 / N และ UI (γ) = ι' T UI (γ) / T นี้เข้าสู่ระบบความน่าจะสามารถขยายได้โดยใช้ทั่วไปย้ำความเป็นไปได้น้อยสแควร์(ดูฟิลลิป, 2010). เพื่อที่จะระบุทฤษฎีบทให้σ 2 ε0 = var (εit) (t = 1,..., T), σ 2 a0 = var (AI), σ 2 0 = σ 2 a0 + σ 2 ε0 / T, Σ -1 0 = QT / σ 2 ε0 + ιTι 'T / σ 2 0 T 2 , และ E = A0  W 'ฉันุ-1 0 Wi  นอกจากนี้ยังให้11 0 แสดงว่าแถวแรกองค์ประกอบคอลัมน์แรกของ-1 0 ถัดไปตั้ง UI = UI γ0, UI = UI γ0, และศรี W = 'ฉันุ-1 0 UI + ε' IQT εi / ุ2 ε0 (T - 1)  - ยู2 ฉัน/ σ 2 0 ψที่ψเป็นม. × 1 เวกเตอร์ที่กำหนดโดยψ = T-1 t = 1 φt / T, 0 '' กับφ1 = 1 และφt = 1 + δ0φt-1 สำหรับ t ≥ 2 นอกจากนี้ยังกำหนด H0 = -A0 2Tψψ + '/ (T - 1) สุดท้ายคือการกำหนด vi = ซี'ฉัน, ε' ฉัน, CI  '(i = 1,..., N)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นี่ยี = ( yi1 , . . . . . . . . ได้รับ yit )

, อี , − 1 =

 yi0 , . . . . . . . . อี T − 1
′
, ι T เป็นเวกเตอร์× 1
t ของวัตถุ และซี
t × k เป็นเมทริกซ์ที่มีเวกเตอร์ของตัวแปรอธิบาย
x

มันในปวดศีรษะนั้นแถว นอกจากนี้ , CI
เป็น unobserved
ตัดเฉพาะผล τ 0 เป็นเวกเตอร์ของผล timespecific
unobserved และ D เป็น t × ( T − 1 ) เมทริกซ์ที่มีเวลาให้
dt2 , . . . . . . . . ส่วนในแถว , ปวดศีรษะ ,ที่ DTS = 1 ถ้า S = T ( 0 มิฉะนั้น )
ตลอดก็ถือว่าองค์ประกอบของ xit แตกต่างกันกับผมและกับ t
( อย่างน้อยบางส่วน ) และภายนอกอย่างเคร่งครัด ด้วยความเคารพ
ข้อผิดพลาดมีในϵฉัน = ( ϵ i0 . . . . . . . . ϵ School , มัน )

อย่างไรก็ตาม องค์ประกอบ
ใน xit อาจจะมีความสัมพันธ์กับ CI

ในแฟชั่นโดยพลการ ฟิลลิปส์ ( 2010 ) ใช้ประมาณ qml เพื่อเติมรุ่น
ของแบบจำลองใน ( 1 )เพื่อเขียนเติม การปล่อยให้
Xi เป็นคอลัมน์เวกเตอร์ประกอบด้วยองค์ประกอบที่แตกต่างของ Xi
,
ตั้งจื่อ =

x

ผม yi0 นั้น

′

แล้วทราบว่าเส้นแนวโน้มของ CI ที่ 1


ซิให้ CI = µ 0 Z

ผม
θ 0 ไอนั้น ( 2 ) มีθ
0 = AVERAGE ( จื่อ )

มี− 1 ( จื่อ , CI ) และµ 0 = e ( CI ) − e

z

ผมนั้นθ

0
1

จาก ( 1 ) และ ( 2 ) เราได้เติมแบบจำลองการถดถอย
แบบไดนามิกยี = WI γ 0 ι T ไอϵผม ( 3 ) วี =


ที่อี , − 1 , ซี , ดี , ι T T Z

ผมιนั้น

และ γ 0 =
δ
0

0
บีตานั้นτนั้น

, 0
, µ 0

0
θนั้น′
( CF . Phillips , 2553 , อีคิว ( 3 ) ) .
สมการ ( 3 ) แทนในสมการ ( 1 ) จะสามารถประมาณการอย่างต่อเนื่องด้วย
qml ประเมินราคา เห็นทำไม ( 3 ) จะต้องถูกประเมินด้วย
qml มากกว่า ( 1 ) สังเกตว่าฟังก์ชัน
µ 0 Z


ฉันได้รับθ 0 การควบคุมความสัมพันธ์ระหว่าง Cl และ yi0 และ
ความสัมพันธ์เป็นไปได้ระหว่าง CI และองค์ประกอบของซี

โดย
ผสมผสานนี้ฟังก์ชันการควบคุมในรูปแบบ Augmented ( 3 )
ตาม แม้ว่าภาคเฉพาะส่วน CI
ในแบบเดิม ( 1 ) มีความสัมพันธ์กับ yi0 และอาจจะองค์ประกอบของซี

, องค์ประกอบเฉพาะภาคไอ

ใน ( 3 ) คือuncorrelated กับ yi0 และองค์ประกอบของซี

มันเป็นเพราะความแตกต่างในวิธีนี้

หรือเฉพาะผล unobserved ภาคไม่มีความสัมพันธ์กับ yi0 และองค์ประกอบของซีที่ประมาณ qml
โดยตรงใช้กับรุ่น ( 1 ) ไม่สอดคล้องเมื่อ
เท่านั้น N → keyboard - key - name ∞ในขณะที่การใช้ qml เติม
รูปแบบ ( 3 ) ( ส ฟิลลิป 2553
2014 )ทฤษฎีบทที่ 1 มีเงื่อนไขสำหรับปกติเฉลี่ย (
N → keyboard - key - name ∞กับถาวร ) ของการเพิ่มความเข้มข้นของ loglikelihood
สำหรับเติมในตัวแบบการถดถอย :
( γ ) = Const −
n
2

ในσ
2
( γ )


n ( T −− 1 )
2

ในσ
2

( ϵγ )

.
ในบันทึกนี้โอกาสγ =

δบีตานั้น

, ,

τนั้นµθ
, ,

∈นั้น′ R
m
2

( σϵγ ) = n = 1

ผม UI ( γ )
qtui ’ ( γ ) / [ n ( T − 1 ) ]UI ( γ ) = อี−วีγ , QT = −
T
T ιιนั้น

/ T σ
2
( γ ) =

= 1
n  UI ( γ )
2
/ N และ UI ( γ ) = ι

T
’ UI ( γ ) / T โอกาสเข้าสู่ระบบนี้
สามารถ maximized โดยใช้วิธีการที่เป็นไปได้ทั่วไป
Least Squares ( ดู Phillips , 2010 ) .
เพื่อรัฐทฤษฎีบท ให้σ
2
ϵ 0 = AVERAGE ( ϵ ) ( t = 1 , . . . . . . . . , t )
σ
2
A0 = AVERAGE ( AI ) σ
2
0 = σ
2
A0 σ
2
0
/ T ϵΣ

0 , − 1 = Qt / σ 2
0
T ιϵιMBC
T
/

σ
2
0
t
2

, A0 = e

และ 
w

ผมนั้นΣ− 1
0 วี

นอกจากนี้ ให้
6
0
แสดงแถวแรก องค์ประกอบแรกของคอลัมน์

− 1
0
ต่อไปตั้งค่า UI UI =
0
γ

=

γ UI UI 

0
,
ฉันได้รับซิลิกอน = w Σ
− 1
0



ϵ UI นั้น
iqt ϵ I /

σ
2
0
ϵ ( − 1 )


u
− 2 ผม
/ σ 2
0


ψที่ψเป็น m × 1 เวกเตอร์ที่ได้รับจากψ =
 T
T − 1 = 1 φ T / T , 0



′นั้นด้วยφ 1 = 1 และφ t = 1 δ 0 φ T − 1 สำหรับ t ≥ 2 นอกจากนี้ กำหนดด้วย =
− A0 2t ψψ′
/ ( T − 1 ) สุดท้ายตั้งค่า 6 =

z

ผมนั้น


ผมϵนั้น


( CI ′ i = 1 , . . . . . . . . , n )