Relation to elliptic curves[edit]Th

Relation to elliptic curves[edit]
The question of whether a given number is congruent turns out to be equivalent to the condition that a certain elliptic curve has positive rank.[2] An alternative approach to the idea is presented below (as can essentially also be found in the introduction to Tunnell's paper).

Suppose a,b,c are numbers (not necessarily positive or rational) which satisfy the following two equations:

{displaystyle {egin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2}\{ frac {1}{2}}ab&=&n.end{matrix}}}
egin{matrix}
a^2 + b^2 &=& c^2\
frac{1}{2}ab &=& n.
end{matrix}
Then set x = n(a+c)/b and y = 2n2(a+c)/b2. A calculation shows

{displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x,!}
y^2 = x^3 -n^2x
,!
and y is not 0 (if y = 0 then a = -c, so b = 0, but (1/2)ab = n is nonzero, a contradiction).

Conversely, if x and y are numbers which satisfy the above equation and y is not 0, set a = (x2 - n2)/y, b = 2nx/y, and c = (x2 + n2)/y . A calculation shows these three numbers satisfy the two equations for a, b, and c above.

These two correspondences between (a,b,c) and (x,y) are inverses of each other, so we have a one-to-one correspondence between any solution of the two equations in a, b, and c and any solution of the equation in x and y with y nonzero. In particular, from the formulas in the two correspondences, for rational n we see that a, b, and c are rational if and only if the corresponding x and y are rational, and vice versa. (We also have that a, b, and c are all positive if and only if x and y are all positive; notice from the equation y2 = x3 - xn2 = x(x2 - n2) that if x and y are positive then x2 - n2 must be positive, so the formula for a above is positive.)

Thus a positive rational number n is congruent if and only if the equation y2 = x3 - n2x has a rational point with y not equal to 0. It can be shown (as a nice application of Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progression) that the only torsion points on this elliptic curve are those with y equal to 0, hence the existence of a rational point with y nonzero is equivalent to saying the elliptic curve has positive rank.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความสัมพันธ์กับเส้นโค้งรูปไข่ [แก้ไข]
คำถามที่ว่าจำนวนที่กำหนดสอดคล้องจะเปิดออกจะเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่าเส้นโค้งรูปไข่บางอย่างมียศบวก. [2] วิธีทางเลือกกับความคิดที่จะนำเสนอดังต่อไปนี้ (เท่าที่สามารถเป็นหลักนอกจากนี้ยังพบได้ในเบื้องต้นเกี่ยวกับกระดาษ Tunnell ของ).

สมมติว่า A, B, C เป็นตัวเลข (ไม่จำเป็นต้องบวกหรือเหตุผล) ที่ตอบสนองสองสมการต่อไปนี้:

{ displaystyle { begin {เมทริกซ์} a ^ {2} + B ^ {2} & = & C ^ {2} \ { tfrac {1} {2}} AB & = & n. end {เมทริกซ์}}}
begin {เมทริกซ์ }
a ^ 2 + B & ^ 2 = & C ^ 2 \
tfrac {1} {2} และ AB = & n.
end {} เมทริกซ์
จากนั้นตั้งค่า x = n (A + C) / B และ Y = 2n2 (A + C) / B2 การคำนวณแสดง

{ displaystyle Y ^ {2} = x ^ {3} -n ^ {2} x , !}
Y ^ 2 = x ^ 3 ^ 2x-n
, !
และ Y ไม่ได้เป็น 0 ( ถ้า y = 0 แล้ว = -c ดังนั้น B = 0 แต่ (1/2) AB = n คือไม่ใช่ศูนย์ความขัดแย้ง).

ตรงกันข้ามถ้า x และ y เป็นตัวเลขที่พอใจสมการข้างต้นและ Y ไม่เป็น 0 ตั้ง = (x2 - N2) / Y, B = 2NX / y, c = (x2 + N2) / Y การคำนวณเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงสามตัวเลขความพึงพอใจทั้งสองสมการ A, B, และ C ข้างต้น.

ทั้งสอง correspondences ระหว่าง (A, B, C) และ (x, y) จะแปรผกผันกันของแต่ละอื่น ๆ เพื่อให้เรามี-to-หนึ่ง หนึ่งในการติดต่อระหว่างการแก้ปัญหาใด ๆ ของทั้งสองสมการใน A, B, และ C และวิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ของสมการใน x และ y กับ Y ภัณฑ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากสูตรในสองจดหมายสำหรับเหตุผล n เราจะเห็นว่า A, B, C และมีเหตุผลถ้าหากว่า x ที่สอดคล้องกันและ y เป็นเหตุผลและในทางกลับกัน (เรายังมีที่ A, B และ C เป็นบวกทั้งหมดถ้าหากว่า x และ y มีทั้งหมดบวกแจ้งจาก Y2 สมการ = X3 - xn2 = X (X2 - N2) ว่าถ้า x และ y เป็นบวกแล้ว X2 - N2 ต้องเป็นบวกดังนั้นสูตรสำหรับการดังกล่าวข้างต้นเป็นบวก).

ดังนั้นจำนวนจริงบวก n คือสอดคล้องกันและถ้าหากสม Y2 = X3 - n2x มีจุดที่มีเหตุผลกับ Y ไม่เท่ากับ 0 มันจะแสดงให้เห็น (เป็นโปรแกรมที่ดีของทฤษฎีบท Dirichlet ในช่วงเวลาในการก้าวหน้าเลขคณิต) ที่เพียงจุดแรงบิดบนเส้นโค้งรูปไข่นี้เป็นผู้ที่มี Y เท่ากับ 0 ดังนั้นการดำรงอยู่ของจุดที่มีเหตุผลกับ Y ภัณฑ์เทียบเท่ากับคำกล่าวที่ว่าเส้นโค้งรูปไข่มีบวก ยศ.