Where n=1,2,3…. In this case, the e

Where n=1,2,3…. In this case, the electrons are completely bound to the atom and their energy levels become discrete. If P has a finite value, then the energy band scheme of electrons is characterized by the alternate allowed- and forbidden energy regions, as is shown in Figure 4.2. The allowed regions are the regions in which the magnitude of the right-hand side in Eq. (4.42) lies between –1 and +1, while the forbidden regions are the regions in which the absolute magnitude of the right-hand side is greater than one. It is further notice from this figure that the forbidden region should become smaller and the allowed region becomes larger as the value of koa increases.
Figure 4.3 shows the plot of electron energy as a function of P. As shown in this figure, at the origin where P = 0 corresponds to the free-electron case, and the energy of electrons is continuous in k-space. In the region where P has a finite value, the energy states of electrons are characterized by a series of allowed (shaded area) and
forbidden regions. As P approaches infinity, the energy of electrons becomes discrete (or quantized), which corresponds to the case of an isolated atom with atomic spacing a → ∞.
Based on the Kronig-Penney model discussed above, a schematic energy band diagram for the 1-D periodic lattice is illustrated in Figure 4.4, which is plotted in the extended zone scheme. The values of wave vector, k, are given by –nπ/a,..., – π/a, 0, + π/a,..., nπ/a. The first Brillouin zone, known as the unit cell of the reciprocal lattice, is defined by the wave vectors with values varying between –π/a and +π/a. Figure 4.4 illustrates two important physical aspects of the energy band diagram: (i) at the zone boundaries where k = ±nπ/a and n = 1, 2, 3,..., there exists an energy discontinuity, and (ii) the width of allowed energy bands increases with increasing electron energy, and the width of forbidden gaps decreases with increasing electron energy.
If the energy band diagram (i.e., E vs. k) is plotted within the first Brillouin zone, then it is called the reduced zone scheme. The reduced zone scheme (i.e., –π/a ≤ k ≤ π/a) is more often used than the extended zone scheme because for any values of wave vector 'kurin the higher zones there is a corresponding wave vector kr in the first Brillouin zone, and hence it is easier to describe the electronic states and the related physical properties using the reduced zone scheme. The relation between 'kurand krcan be obtained via the translational symmetry operation, which is given by
2'/kknaπ=±rr (4.45)
Where represents the wave vector in the higher zones, 'kurkris the corresponding wave vector in the first Brillouin zone, n = 1, 2, 3...., and a denotes the lattice constant of the crystal. Thus, the reduced zone scheme contains all the information relating to the electronic states in the crystalline solids.
The Kronig-Penney model described above can be employed to construct the energy band diagrams of an isolated silicon atom and an artificial 1-D periodic silicon lattice. Figure 4.5a and b show the discrete energy level schemes for such an isolated silicon atom and the energy band diagram for a 1-D silicon lattice, respectively. As shown in Figure 4.5a, electrons in the 3s and 3p shells are known as the valence electrons while electrons in the 1s, 2s, and 2p orbits are called the core electrons. When the valence electrons are excited into the conduction band, the conductivity of a semiconductor increases. It is noted that as the spacing of silicon atoms reduces to a few angstroms, the discrete energy levels shown in figure 4.5a broaden into energy bands, and each allowed energy band is separated by a forbidden band gap. In this energy band scheme the highest filled band (i.e., 3s and 3p states for
silicon) is called the valence band, while the lowest empty band is called the conduction band. In a semiconductor, a forbidden band gap always exists between the conduction and the valence bands while in metals the energy bands are usually continuous. For most semiconductors, the band gap energies may vary between 0.1eV and 6.2 eV.
The main difference in the energy band scheme between the 1-D and 2- or 3-D crystal lattice is that, in the 1-D case, an energy discontinuity always exists at the zone boundary, and hence the energy band is characterized by a series of alternate allowed and forbidden bands. However, in the 3-D case, the energy band discontinuity may or may not exist since the values of kmax at the zone boundaries along different crystal orientations may be different, as is clearly illustrated in figure 4.6. This will lead to an overlap of energy states at the zone boundaries and hence the possible disappearance of the bandgap in the 3-D energy band diagram. It should be mentioned that the electron wave functions in a 3-D periodic crystal lattice are of the Bloch type and can be described by Eq. (4.17). In the next section we shall describe the nearly- free electron (NFE) approximation for constructing the energy band scheme of valence electrons in a semiconductor. It is noted that the NFE approximation can only provide a qualitative description of the energy band schemes for the valence electrons in a 3-D crystal lattice. To obtain true energy band structures for semiconductors and metals, more rigorous and sophisticated methods such as the pseudopotential and orthogonalized plane wave techniques must be used in calculations of the energy band structures for these materials.
4.5. THE NEARLY-FREE ELECTRON APPROXIMATION
In Section 4.4, it was shown that when the value of P in Eq. (4.42) is small compared to koa, the behavior of electrons in the 1-D periodic lattice should resemble that of the free-electron case in which the energy band is continuous in k-space. In a semiconductor, the outer-shell valence electrons are loosely bound to the atoms, and the effect of the periodic crystal potential on the electron wave functions can be treated as a perturbing potential. In this case, the nearly- free electron (NFE) approximation can be applied to deal with these valence electrons.
In order to apply the NFE approximation to a 3-D crystal lattice, the periodic potential must be treated as a small perturbation. In doing so, one assumes that the perturbing potential is small compared to the average energy of electrons. The problem can then be solved using the quantum mechanical stationary perturbation theory. From the wave mechanics, the stationary perturbation method can be derived using the first- and second-order approximations in the time-independent Schrödinger equation. In the NFE approximation, it is assumed that the total Hamiltonian H
consists of two parts, Ho and H′, with Ho being the unperturbed Hamiltonian and H′ the perturbed Hamiltonian. Thus, one can write
'oHHaH=+ for a ≤ 1 (4.46)
The unperturbed one-electron Schrödinger equation is given by
onononoHEφ = (4.47)
Where φno and Eno are the unperturbed eigenfunctions and eigenvalues, respectively. The perturbed Schrödinger equation is given by
nnHE φ = (4.48)
The solutions of the electron wave functions and energies in Eq. (4.48) can be expressed in terms of a power series expansion, which are given respectively by
212nnonnaaφφφφ=+++L Where 1a≤ (4.49)
212nnonnEEaEaE=+++L (4.50)
The new perturbed wave functions φnj (j = 1, 2, 3, ...) given in Eqs.(4.49) and (4.50) can be expressed in terms of a linear combination of the unperturbed wave functions φlo as
0njlljlobφ ∞==Σ (4.51)
Now, substituting Eqs. (4.46), (4.49) and (4.50) into Eq. (4.48) and equating the coefficients of a and a2 terms on both sides of Eqs.(4.49) and (4.50)), one obtains
11onnononnnoHHEE φφφφ′+=+ (4.52)
212112onnnonnnnnoHHEEEφφφφ ′+=++ (4.53)
Note that Eq. (4.52) contains the coefficients of a term, and Eq.(4.53) contains the coefficients of a2 term. For simplicity one can set a equal to 1. Consequently, the first-order correction of energy, En1, and wave function, φn1, is obtained by multiplying both sides of Eq. (
4.52) by the unperturbed conjugate wave function *
moφand integrating the equation over the entire volume. The result yields
*3*1100moollonomonollonnoll HbHdrEbEdφφφφφφ∞∞==⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞′+=+⎢⎥⎢⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣ΣΣ∫∫ (4.54)
Integrating Eq. (4.54) using the orthonormality of the wave functions φno and the hermitian property of Ho, one obtains
(4.55) *311formmomononombEHdrEbmnφφ′+=∫
(4.56) *31fornnononnEHdrHmφφ′′==∫
Solving Eqs.(4.55) and (4.56) yields
()1formnmnomoHbEE′=− (4.57)
En1 = 0 for m = n (4.58)
In Eq. (4.57), H′mn is called the matrix element, and is defined by the second term on the left-hand side of Eq. (4.55). Thus, the new electron wave function φn with the first-order correction using the perturbation theory is given by
1nnonφφφ=+
()0mnmononomommnHEEφφ∞=≠′=+−Σ (4.59)
Where the matrix element, H’mn, can be expressed by
(4.60) *3'monomnHdrH=′∫φφ
Where H’ is the perturbing Hamiltonian. Equation (4.59) can be used to find the wave functions of valence electrons in a periodic crystal lattice using the NFE approximation. In order to find the lowest order correction of the electron energy due to the perturbing potential H’, it is usually necessary to carry out the expansion to the second-order correction given by Eq. (4.50). The reason for the second-order correction in energy calculations is because the perturbed Hamiltonian H′ has a vanishing diagonal matrix element such that the first-order correction in energy is equal to zero (i.e., En1 = 0). This can be explained by the fact that the perturbed Hamiltonian H′ is usually an odd function of the coordinates, and hence H′nn is equal to zero. From Eq. (4.51), the perturbed wave functions for the first- and second-order corrections are given respectively by
110nllb φφ∞==Σ (4.61)
220nllb φφ∞==Σ (4.62)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กรณี n = 1, 2, 3 ... ในกรณีนี้ อิเล็กตรอนถูกผูกไว้กับอะตอมทั้งหมด และระดับพลังงานของพวกเขากลายเป็นแยกกัน ถ้า P มีค่าจำกัด แล้วร่างแถบพลังงานของอิเล็กตรอนเป็นลักษณะขอบเขตพลังงานทดแทนได้รับอนุญาต และต้องห้าม ดังที่แสดงในรูป 4.2 ขอบเขตที่อนุญาตคือ ขอบเขตซึ่งขนาดของด้านขวามือใน Eq. (4.42) อยู่ระหว่าง– 1 + 1 ในขณะที่ขอบเขตต้องห้ามคือ ขอบเขตที่ความส่องสว่างสัมบูรณ์ของด้านขวามือเป็นมากกว่าหนึ่ง แจ้งเพิ่มเติมจากตัวเลขนี้ว่า ภูมิภาคต้องห้ามควรจะเล็ก และภูมิภาคอนุญาตจะใหญ่เป็นค่าคัวเพิ่มได้รูปที่ 4.3 แสดงพล็อตของพลังงานอิเล็กตรอนเป็นฟังก์ชันของพี ดังแสดงในรูปนี้ ที่จุดเริ่มต้นที่ P = 0 ที่สอดคล้องกับกรณีอิเล็กตรอนอิสระ และพลังงานของอิเล็กตรอนเป็นอย่างต่อเนื่องในพื้นที่ k ในภูมิภาคที่ P มีค่าจำกัด สถานะพลังงานของอิเล็กตรอนมีลักษณะ โดยชุดได้ (พื้นที่แรเงา) และห้ามภูมิภาค เป็น P ยื่นอินฟินิตี้ พลังงานของอิเล็กตรอนจะไม่ต่อเนื่อง (หรือ quantized), ซึ่งตรงกับกรณีของอะตอมกับอะตอมระยะ→∞แยกไดอะแกรมวงมันพลังงานสำหรับโครงตาข่ายประกอบเป็นครั้งคราว 1-D ตามแบบ Kronig Penney ที่กล่าวถึงข้างต้น เป็นแสดงในรูป 4.4 ที่พล็อตในแผนขยายโซน ค่าของคลื่นเวกเตอร์ k ให้ ด้วย-nπ/a, ..., – π/a, 0 + π/a,..., nπ/a โซน Brillouin แรก เรียกว่าเซลล์หน่วยของโครงตาข่ายประกอบซึ่งกันและกัน ถูกกำหนด โดยเวกเตอร์คลื่น มีค่าแตกต่างกันระหว่าง-π/a และ + π/อ.รูป 4.4 แสดงสองด้านทางกายภาพสำคัญของไดอะแกรมวงพลังงาน: (i) ในขอบเขตที่ k = ±nπ/a และ n = 1, 2, 3,..., มีโฮเป็นพลังงาน และวงดนตรี (ii) ความกว้างของพลังงานที่ได้รับอนุญาตเพิ่มกับเพิ่มพลังงานอิเล็กตรอน และลดความกว้างของช่องว่างต้องห้าม มีการเพิ่มพลังงานของอิเล็กตรอนถ้าไดอะแกรมวงการพลังงาน (เช่น E เทียบกับ k) ลงจุดภายในโซน Brillouin แรก มันเป็นเรียกแผนเขตลดลง แผนลดโซน (เช่น, – π/a ≤ k ≤ π/a) เป็นบ่อยใช้กว่าแผนขยายโซนเพราะสำหรับค่าใด ๆ ของเวกเตอร์คลื่น ' kurin โซนสูงมีเป็น kr เวกเตอร์คลื่นที่ตรงกันในเขต Brillouin แรก และดังนั้น จึงง่ายต่อการอธิบายรัฐอิเล็กทรอนิกส์และคุณสมบัติทางกายภาพที่เกี่ยวข้องที่ใช้โครงร่างโซนลดลง ความสัมพันธ์ระหว่าง ' kurand krcan ได้รับผ่าน translational สมมาตรการ ซึ่งถูกกำหนดโดย2' / kknaπ = ±rr (4.45)แสดงคลื่นเวกเตอร์ในโซนสูง, ' kurkris คลื่นเกี่ยวข้องเวกเตอร์ในแรก Brillouin โซน n = 1, 2, 3..., และแสดงค่าคงที่ของโครงตาข่ายประกอบของผลึก ดังนั้น แผนลดโซนประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับรัฐอิเล็กทรอนิกส์ในของแข็งผลึกรุ่น Kronig-Penney ข้างสามารถทำงานเพื่อสร้างไดอะแกรมวงพลังงานอะตอมซิลิคอนแยกและเป็นโครงตาข่ายประกอบประดิษฐ์ 1 D ซิลิคอนเป็นครั้งคราว รูป 4.5a และ b แสดงโครงร่างเดี่ยว ๆ ระดับพลังงานของอะตอมเช่นซิลิคอนแยกและไดอะแกรมวงพลังงานสำหรับโครงตาข่ายประกอบซิลิกอ 1 D ตามลำดับ เป็นการแสดงในรูป 4.5a อิเล็กตรอนใน 3s และ p 3 เชลล์จะเรียกว่าเวเลนซ์อิเล็กตรอนในขณะที่อิเล็กตรอนในวงโคจร 1s, 2s และ 2 p เรียกว่าอิเล็กตรอนหลัก เมื่ออิเล็กตรอนเวเลนซ์จะตื่นเต้นในวงการนำ นำของสารกึ่งตัวนำที่เพิ่มขึ้น มันจะตั้งข้อสังเกตว่า ระยะห่างของอะตอมซิลิคอนลดให้กี่ angstroms ขยายระดับพลังงานไม่ต่อเนื่องที่แสดงในรูปที่ 4.5a เป็นแถบพลังงาน และแต่ละแถบพลังงานอนุญาตคั่น ด้วยช่องว่างวงต้องห้าม ในวงการพลังงานนี้ scheme วงเต็มสูงสุด (เช่น 3s และสถานะ p 3ซิลิคอน) คือวงเวเลนซ์ ในขณะที่วงว่างต่ำสุดเรียกว่าวงการนำ ในตัวสารกึ่งตัวนำ ช่องว่างวงต้องห้ามเสมอแล้วระหว่างที่นำวงเวเลนซ์ในโลหะ แถบพลังงานมีอย่างต่อเนื่องมักจะ สำหรับอิเล็กทรอนิกส์มากที่สุด แถบช่องว่างพลังงานอาจแตกต่างกันระหว่าง 0.1eV และ 6.2 eVความแตกต่างหลักในชุดรูปแบบพลังงานวงระหว่างโครงตาข่ายประกอบคริสตัล 1 D และ D 2 หรือ 15.00 คือ ในกรณี 1 D โฮมีพลังงานเสมออยู่ที่ขอบเขต และดังนั้น แถบพลังงานเป็นลักษณะชุดแบบอื่นที่ได้รับอนุญาต และห้ามวง อย่างไรก็ตาม ในกรณี 3 มิติ โฮวงพลังงานอาจ หรืออาจไม่มีอยู่เนื่องจากค่าของ kmax ในขอบเขตตามแนวของผลึกแตกต่างกันอาจจะแตกต่าง ดังที่เป็นอย่างชัดเจนในรูปที่ 4.6 นี้จะนำไปสู่การซ้อนของอเมริกาพลังงานในขอบเขต และดังนั้น เป็นไปได้ในการสูญหายของ bandgap ด้านพลังงาน 3 มิติวงไดอะแกรม มันควรจะกล่าวว่า ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในสามมิติงวดคริสตัลโครงตาข่ายประกอบชนิดเม็ดเลือดขาว และสามารถอธิบาย โดย Eq. (4.17) ในส่วน ที่เราจะอธิบายการเกือบ - ฟรีประมาณอิเล็กตรอน (NFE) สำหรับการสร้างโครงร่างแถบพลังงานของเวเลนซ์อิเล็กตรอนในสารกึ่งตัวนำที่ ตั้งข้อสังเกตว่า ประมาณ NFE สามารถให้คำอธิบายเชิงคุณภาพของพลังงานของโครงร่างที่ใช้วงเวเลนซ์อิเล็กตรอนในโครงตาข่ายประกอบคริสตัล 3 มิติ รับโครงสร้างแถบพลังงานจริงสำหรับอิเล็กทรอนิกส์และโลหะ ต้องใช้ในการคำนวณโครงสร้างแถบพลังงานเพิ่มเติมอย่างเข้มงวด และซับซ้อนวิธีเช่นเทคนิคคลื่นเครื่องบิน pseudopotential และ orthogonalized สำหรับวัสดุเหล่านี้4.5 อิเล็กตรอนอิสระเกือบประมาณในหัวข้อ 4.4 มันถูกแสดงว่า เมื่อค่าของ P ใน Eq. (4.42) มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับคัว พฤติกรรมของอิเล็กตรอนในโครงตาข่ายประกอบเป็นครั้งคราว 1 D ควรมีลักษณะของกรณีอิเล็กตรอนอิสระที่แถบพลังงานที่มีอย่างต่อเนื่องในพื้นที่ k ในตัวสารกึ่งตัวนำ เปลือกนอกเวเลนซ์อิเล็กตรอนถูกผูกไว้กับอะตอมซึ่ง และผลของคริสตัลเป็นครั้งคราวเป็นฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนสามารถถือว่าเป็นศักยภาพ perturbing ในกรณีนี้ เกือบ - ฟรีประมาณอิเล็กตรอน (NFE) สามารถใช้กับเวเลนซ์อิเล็กตรอนเหล่านี้ได้เพื่อที่จะใช้ที่ประมาณ NFE โครงตาข่ายประกอบคริสตัล 3 มิติ ศักยภาพเป็นครั้งคราวต้องถือว่าเป็น perturbation ขนาดเล็ก ในการทำเช่นนั้น หนึ่งสมมติว่า เป็น perturbing มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับพลังงานเฉลี่ยของอิเล็กตรอน แล้วจะแก้ปัญหาโดยใช้ทฤษฎีควอนตัมกับ perturbation เครื่องจักรกล จากกลศาสตร์คลื่น วิธีเครื่องเขียน perturbation สามารถได้รับมาใช้เพียงการประมาณหนึ่งสองใบสั่ง และในสมการวินเวลาอิสระ ในประมาณ NFE จะถือว่าเป็นที่ H Hamiltonian รวมประกอบด้วยสองส่วน โฮ H′ กับโฮจิมินห์ Hamiltonian และ H′ perturbed Hamiltonian หมายทันที ดังนั้น หนึ่งสามารถเขียน' oHHaH = + ≤ 1 (4.46)กำหนดโดยสมการวินอิเล็กตรอนหนึ่งหมายทันทีonononoHEφ = (4.47)Φno และ Eno หมายทันที eigenfunctions และเวกเตอร์ ตามลำดับ กำหนดโดยสมการวิน perturbednnHE φ = (4.48)โซลูชั่นของฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนและพลังงานใน Eq. (4.48) ที่สามารถแสดงในรูปของขยายพลังงาน ซึ่งจะได้รับตามลำดับโดย212nnonnaaφφφφ = +++ L ที่ 1a≤ (4.49)212nnonnEEaEaE = +++ L (4.50)ใหม่ perturbed φnj ฟังก์ชันคลื่น (j = 1, 2, 3,...) ใน Eqs (4.49) และสามารถที่จะแสดงในรูปของการรวมเชิงเส้นของ φlo ฟังก์ชันคลื่นหมายทันทีเป็น (4.50)0njlljlobφ ∞==Σ (4.51)ตอนนี้ แทน Eqs (4.46), (4.49) และ (4.50) Eq. (4.48) และ equating สัมประสิทธิ์การ a2 เงื่อนไขทั้งสองด้านของ Eqs และ (4.49) และ (4.50)), หนึ่งเหตุผล11onnononnnoHHEE φφφφ′+= + (4.52)212112onnnonnnnnoHHEEEφφφφ ′+= ++ (4.53)หมายเหตุ Eq. (4.52) ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของระยะ และ Eq.(4.53) ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของเทอม a2 ราย หนึ่งสามารถตั้งค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น การได้รับการแก้ไขใบสั่งแรกพลังงาน En1 และ ฟังก์ชันคลื่น φn1 คูณทั้งสองข้าง Eq. (4.52) โดยฟังก์ชันคลื่น conjugate หมายทันที *moφand รวมสมการบนไดรฟ์ข้อมูลทั้งหมด ผลผลิตผลลัพธ์* 3 * 1100moollonomonollonnoll HbHdrEbEdφφφφφφ∞∞ ==⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞′+= + ⎢⎥⎢⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣ΣΣ∫∫ (4.54)หนึ่งรวม Eq. (4.54) ใช้ orthonormality ของ φno ฟังก์ชันคลื่นและคุณสมบัติของโฮจิมินห์เอร์มีเชียน ได้รับ(4.55) * 311formmomononombEHdrEbmnφφ′ +=∫(4.56) *31fornnononnEHdrHmφφ′′==∫Solving Eqs.(4.55) and (4.56) yields()1formnmnomoHbEE′=− (4.57)En1 = 0 for m = n (4.58)In Eq. (4.57), H′mn is called the matrix element, and is defined by the second term on the left-hand side of Eq. (4.55). Thus, the new electron wave function φn with the first-order correction using the perturbation theory is given by1nnonφφφ=+()0mnmononomommnHEEφφ∞=≠′=+−Σ (4.59)Where the matrix element, H’mn, can be expressed by(4.60) *3'monomnHdrH=′∫φφWhere H’ is the perturbing Hamiltonian. Equation (4.59) can be used to find the wave functions of valence electrons in a periodic crystal lattice using the NFE approximation. In order to find the lowest order correction of the electron energy due to the perturbing potential H’, it is usually necessary to carry out the expansion to the second-order correction given by Eq. (4.50). The reason for the second-order correction in energy calculations is because the perturbed Hamiltonian H′ has a vanishing diagonal matrix element such that the first-order correction in energy is equal to zero (i.e., En1 = 0). This can be explained by the fact that the perturbed Hamiltonian H′ is usually an odd function of the coordinates, and hence H′nn is equal to zero. From Eq. (4.51), the perturbed wave functions for the first- and second-order corrections are given respectively by110nllb φφ∞==Σ (4.61)220nllb φφ∞==Σ (4.62)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่ n = 1,2,3 ... ในกรณีนี้อิเล็กตรอนจะผูกพันที่สมบูรณ์เพื่ออะตอมและระดับพลังงานของพวกเขากลายเป็นที่ไม่ต่อเนื่อง ถ้า P มีค่าแน่นอนแล้วโครงการแถบพลังงานของอิเล็กตรอนเป็นลักษณะ allowed- อื่นและห้ามไม่ให้พลังงานภูมิภาคที่เป็นที่แสดงในรูปที่ 4.2 ภูมิภาคที่ได้รับอนุญาตเป็นภูมิภาคที่สำคัญของทางด้านขวามือในสมการ (4.42) อยู่ระหว่าง -1 และ 1 ในขณะที่ภูมิภาคที่ต้องห้ามเป็นภูมิภาคที่ขนาดที่แน่นอนของทางด้านขวามือมีค่ามากกว่าหนึ่ง มันเป็นเรื่องแจ้งให้ทราบต่อจากตัวเลขนี้ว่าพื้นที่ต้องห้ามที่ควรจะเป็นขนาดเล็กและภูมิภาคได้รับอนุญาตเป็นใหญ่เป็นค่าการเพิ่มขึ้นของไม้สักได้.
รูปที่ 4.3 แสดงให้เห็นว่าพล็อตของพลังงานอิเล็กตรอนเป็นหน้าที่ของพีดังแสดงในรูปนี้ที่แหล่งกำเนิด ที่ P = 0 สอดคล้องกับกรณีฟรีอิเล็กตรอนและพลังงานของอิเล็กตรอนอย่างต่อเนื่องในพื้นที่ k ในภูมิภาคที่ P มีค่า จำกัด รัฐพลังงานของอิเล็กตรอนที่โดดเด่นด้วยชุดของการได้รับอนุญาต (พื้นที่สีเทา)
และภูมิภาคที่ต้องห้าม ในฐานะที่เป็นวิธี P อินฟินิตี้พลังงานของอิเล็กตรอนกลายเป็นที่ไม่ต่อเนื่อง (หรือไท) ซึ่งสอดคล้องกับกรณีของอะตอมที่แยกกับระยะห่างระหว่างอะตอม→∞. the
ขึ้นอยู่กับรูปแบบ Kronig-Penney กล่าวข้างต้นแผนภาพแถบพลังงานวงจรสำหรับ 1 ตาข่ายระยะ -D จะแสดงในรูปที่ 4.4 ซึ่งเป็นพล็อตในโครงการขยายเขต ค่านิยมของคลื่นเวกเตอร์, k, จะได้รับจาก-nπ / a, ... , - π / a, 0, + π / a, ... , nπ / a โซน Brillouin แรกที่รู้จักกันเป็นเซลล์หน่วยตาข่ายซึ่งกันและกันที่จะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์คลื่นที่มีค่าที่แตกต่างกันระหว่าง-π / และ + π / a รูปที่ 4.4 แสดงให้เห็นถึงสองลักษณะทางกายภาพที่สำคัญของวงแผนภาพพลังงาน (i) ในขอบเขตโซนที่ k = ±nπ / และ n = 1, 2, 3, ... , มีอยู่ต่อเนื่องพลังงานและ (ii) ความกว้างของวงดนตรีที่ได้รับอนุญาตให้ใช้พลังงานที่เพิ่มขึ้นด้วยพลังงานอิเล็กตรอนที่เพิ่มขึ้นและความกว้างของช่องว่างที่ต้องห้ามลดลงด้วยการเพิ่มพลังงานอิเล็กตรอน.
ถ้าแผนภาพแถบพลังงาน (เช่น E เทียบกับ k) เป็นพล็อตที่อยู่ในโซน Brillouin ก่อนจากนั้นจึงจะเรียกว่า โครงการโซนลดลง โครงการโซนลดลง (เช่น-π / a ≤ k ≤π / a) มักจะถูกนำมาใช้มากขึ้นกว่ารูปแบบโซนขยายเพราะค่าใด ๆ ของคลื่นเวกเตอร์ 'Kurin โซนที่สูงขึ้นมีคลื่นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันใน KR Brillouin แรก โซนและด้วยเหตุนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะอธิบายรัฐอิเล็กทรอนิกส์และคุณสมบัติทางกายภาพที่เกี่ยวข้องโดยใช้รูปแบบโซนลดลง ความสัมพันธ์ระหว่าง 'kurand krcan จะได้รับผ่านการดำเนินการสมมาตรแปลซึ่งจะได้รับโดย
2' / kknaπ = ± RR (4.45)
ในกรณีที่แสดงให้เห็นถึงคลื่นเวกเตอร์ในเขตที่สูงขึ้น 'kurkris เวกเตอร์คลื่นที่สอดคล้องกันในโซน Brillouin แรก n = 1, 2, 3 .... และหมายถึงตาข่ายอย่างต่อเนื่องของผลึก ดังนั้นโครงการโซนลดลงประกอบด้วยข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับรัฐอิเล็กทรอนิกส์ในของแข็งผลึก.
รุ่น Kronig-Penney อธิบายไว้ข้างต้นสามารถนำมาใช้ในการสร้างแผนภาพแถบพลังงานของอะตอมซิลิกอนโดดเดี่ยวและเทียม 1-D ตาข่ายซิลิกอนเป็นระยะ ๆ . รูป 4.5A และ B แสดงแผนการระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องเช่นอะตอมซิลิกอนโดดเดี่ยวและแผนภาพแถบพลังงานสำหรับ 1-D ตาข่ายซิลิกอนตามลำดับ ดังแสดงในรูป 4.5A, อิเล็กตรอนใน 3s 3p และเปลือกหอยที่เป็นที่รู้จักกันอิเล็กตรอนในขณะที่อิเล็กตรอนใน 1s, 2s และ 2p จะเรียกว่าวงโคจรของอิเล็กตรอนหลัก เมื่ออิเล็กตรอนรู้สึกตื่นเต้นเข้ามาในวงการนำการนำของการเพิ่มขึ้นของเซมิคอนดักเตอร์ มันเป็นข้อสังเกตว่าระยะห่างของอะตอมซิลิกอนลด angstroms ไม่กี่ระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องแสดงในรูป 4.5A ขยายออกเป็นวงดนตรีที่พลังงานและแต่ละกลุ่มพลังงานที่ได้รับอนุญาตจะถูกคั่นด้วยช่องว่างของวงดนตรีที่ต้องห้าม ในโครงการพลังงานนี้วงดนตรีวงดนตรีที่เต็มไปสูงสุด (เช่น 3s และ 3p
รัฐสำหรับซิลิกอน) เรียกว่าวงดนตรีจุในขณะที่วงดนตรีที่ว่างเปล่าต่ำสุดที่เรียกว่าการนำวงดนตรี ในสารกึ่งตัวนำที่เป็นช่องว่างแถบต้องห้ามเสมออยู่ระหว่างการนำและวงดนตรีจุในขณะที่วงดนตรีในโลหะพลังงานมักจะมีอย่างต่อเนื่อง สำหรับเซมิคอนดักเตอร์มากที่สุดช่องว่างแถบพลังงานอาจแตกต่างกันระหว่าง 0.1eV และ 6.2 eV.
แตกต่างที่สำคัญในโครงการแถบพลังงานระหว่าง 1-D และ 2 หรือ 3-D ผลึกตาข่ายคือว่าในกรณีที่ 1-D เป็น พลังงานต่อเนื่องอยู่เสมอที่ขอบเขตโซนและด้วยเหตุนี้แถบพลังงานที่โดดเด่นด้วยชุดของการได้รับอนุญาตอื่นและวงดนตรีที่ต้องห้าม อย่างไรก็ตามในกรณีที่ 3-D ต่อเนื่องแถบพลังงานอาจจะหรืออาจจะไม่อยู่ตั้งแต่ค่า kmax ที่ขอบเขตโซนตามแนวผลึกแตกต่างกันอาจจะแตกต่างกันตามที่แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในรูปที่ 4.6 ซึ่งจะนำไปสู่การซ้อนทับกันของรัฐที่พลังงานในขอบเขตโซนและด้วยเหตุนี้การหายตัวไปเป็นไปได้ของ bandgap ใน 3 มิติแผนภาพแถบพลังงาน มันควรจะกล่าวว่าฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนใน 3 มิติผลึกตาข่ายเป็นระยะที่มีชนิดโบลชและสามารถอธิบายได้ด้วยสมการ (4.17) ในส่วนถัดไปเราจะอธิบายอิเล็กตรอนอิสระ nearly- (กศน) ประมาณในการสร้างรูปแบบแถบพลังงานของอิเล็กตรอนในสารกึ่งตัวนำ เป็นที่สังเกตว่าประมาณกศนเท่านั้นที่สามารถให้คำอธิบายเชิงคุณภาพของรูปแบบวงพลังงานอิเล็กตรอนใน 3 มิติผลึกตาข่าย ที่จะได้รับโครงสร้างแถบพลังงานจริงสำหรับเซมิคอนดักเตอร์และโลหะวิธีการที่เข้มงวดมากขึ้นและมีความซับซ้อนเช่นศักย์เทียมและเทคนิคคลื่นระนาบ orthogonalized จะต้องใช้ในการคำนวณของโครงสร้างแถบพลังงานสำหรับวัสดุเหล่านี้.
4.5 เกือบฟรีอิเล็กตรอนประมาณในมาตรา 4.4 มันก็แสดงให้เห็นว่าเมื่อค่าของ P ในสมการ
(4.42) มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับไม้สักที่พฤติกรรมของอิเล็กตรอนในตาข่ายระยะ 1-D ควรมีลักษณะของกรณีฟรีอิเล็กตรอนที่วงพลังงานอย่างต่อเนื่องในพื้นที่ k ในสารกึ่งตัวนำด้านนอกเปลือกอิเล็กตรอนถูกผูกไว้หลวมอะตอมและผลของการที่มีศักยภาพในระยะคริสตัลฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนสามารถจะถือว่าเป็นศักยภาพก่อกวน ในกรณีนี้อิเล็กตรอนอิสระ nearly- (กศน) ประมาณสามารถนำมาใช้ในการจัดการกับอิเล็กตรอนเหล่านี้.
เพื่อที่จะใช้ประมาณกศนไป 3 มิติผลึกตาข่ายที่อาจเกิดขึ้นเป็นระยะ ๆ จะต้องได้รับการปฏิบัติในฐานะที่เป็นความยุ่งเหยิงขนาดเล็ก ในการทำเช่นสมมติว่ามีศักยภาพก่อกวนที่มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยของพลังงานอิเล็กตรอน ปัญหาที่เกิดขึ้นนั้นจะสามารถแก้ไขได้โดยใช้กลควอนตัมทฤษฎีความยุ่งเหยิงนิ่ง จากกลศาสตร์คลื่นวิธีการก่อกวนนิ่งสามารถจะได้มาใช้ครั้งแรกและครั้งที่สองใกล้เคียงสั่งในสมการSchrödingerเวลาที่เป็นอิสระ ในการประมาณกศนมันจะสันนิษฐานว่ามิลรวม H
ประกอบด้วยสองส่วนโฮและเอช 'กับโฮเป็นมิลใจเย็น ๆ และ H' มิลโตเนียนตกอกตกใจ ดังนั้นหนึ่งสามารถเขียน
'oHHaH + = สำหรับ≤ 1 (4.46)
ใจเย็นหนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการจะได้รับจากonononoHEφ = (4.47) ในกรณีที่φnoและ Eno เป็น eigenfunctions ใจเย็นและค่าลักษณะเฉพาะตามลำดับ ตกอกตกใจSchrödingerสมการจะได้รับจากnnHE φ = (4.48) โซลูชั่นของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนและพลังงานในสมการ (4.48) สามารถแสดงออกในแง่ของการขยายตัวชุดไฟซึ่งจะได้รับตามลำดับ212nnonnaaφφφφ = +++ L ที่ไหน1a≤ (4.49) 212nnonnEEaEaE = +++ L (4.50) ฟังก์ชั่นใหม่ที่ตกอกตกใจคลื่นφnj (ญ = 1 , 2, 3, ... ) ได้รับใน EQS. (4.49) และ (4.50) สามารถแสดงออกในแง่ของการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชั่นคลื่นใจเย็นφloเป็น0njlljlobφ == ∞Σ (4.51) ตอนนี้แทน EQS (4.46) (4.49) และ (4.50) ลงในสมการ (4.48) และเท่าค่าสัมประสิทธิ์ของ a2 และเงื่อนไขทั้งสองด้านของ EQS ได้. (4.49) และ (4.50)) คนหนึ่งได้11onnononnnoHHEE φφφφ '+ = + (4.52) 212112onnnonnnnnoHHEEEφφφφ' + = ++ (4.53) โปรดทราบว่าสมการ . (4.52) มีค่าสัมประสิทธิ์ของคำและสม. (4.53) มีค่าสัมประสิทธิ์ของเทอม a2 สำหรับความเรียบง่ายอย่างใดอย่างหนึ่งสามารถตั้งค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นการแก้ไขลำดับแรกของพลังงาน EN1 และฟังก์ชั่นคลื่นφn1, จะได้รับโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการ (4.52) โดยฟังก์ชันคลื่นผันใจเย็น * moφandสมบูรณาการมากกว่าปริมาณทั้งหมด อัตราผลตอบแทนผลที่* 3 * 1100moollonomonollonnoll (4.54) การบูรณาการสมการ (4.54) โดยใช้ orthonormality ของฟังก์ชันคลื่นφnoและทรัพย์สินเทียนโฮคนหนึ่งได้(4.55) * 311formmomononombEHdrEbmnφφ '+ = ∫ (4.56) * 31fornnononnEHdrHmφφ' '== ∫แก้EQS. (4.55) และ (4.56) อัตราผลตอบแทน() 1formnmnomoHbEE '= - (4.57) EN1 = 0 m = n (4.58) ในสมการ (4.57) H'mn เรียกว่าเมทริกซ์และถูกกำหนดโดยระยะที่สองทางด้านซ้ายมือของสมการ (4.55) ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนใหม่φnกับการแก้ไขครั้งแรกที่สั่งซื้อโดยใช้ทฤษฎีความยุ่งเหยิงจะได้รับโดย1nnonφφφ + = () 0mnmononomommnHEEφφ∞ = ≠ '= + - Σ (4.59) ในกรณีที่องค์ประกอบเมทริกซ์, H'mn สามารถแสดง โดยการ(4.60) * 3'monomnHdrH = '∫φφที่ไหนH' คือมิลก่อกวน สมการ (4.59) สามารถใช้ในการหาฟังก์ชั่นคลื่นของอิเล็กตรอนในผลึกตาข่ายเป็นระยะ ๆ โดยใช้การประมาณการศึกษานอกโรงเรียน เพื่อที่จะหาการแก้ไขเพื่อที่ต่ำสุดของอิเล็กตรอนพลังงานเนื่องจากการที่มีศักยภาพก่อกวน H 'ก็มักจะจำเป็นที่จะต้องดำเนินการเพื่อให้การขยายตัวของการแก้ไขที่สองคำสั่งที่ได้รับจากสมการ (4.50) เหตุผลสำหรับการแก้ไขที่สองสั่งซื้อในการคำนวณพลังงานเป็นเพราะมิลตกอกตกใจ H 'มีองค์ประกอบเมทริกซ์ทแยงมุมหายไปดังกล่าวว่าการแก้ไขลำดับแรกในการใช้พลังงานเท่ากับศูนย์ (เช่น EN1 = 0) นี้สามารถอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่ามิลตกอกตกใจ H 'มักจะเป็นฟังก์ชั่นที่แปลกพิกัดและ H'nn จึงมีค่าเท่ากับศูนย์ จากสมการ (4.51) ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นคลื่นตกอกตกใจสำหรับการแก้ไขครั้งแรกและครั้งที่สองเพื่อที่จะได้รับตามลำดับ110nllb φφ∞ == Σ (4.61) 220nllb φφ∞ == Σ (4.62)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เมื่อ n = 1 , 2 , 3 . . . . . . . ในกรณีนี้อิเล็กตรอนถูกผูกไว้กับอะตอมและระดับพลังงานของพวกเขากลายเป็นที่ไม่ต่อเนื่อง ถ้า P มีค่าจำกัด แล้ววงพลังงานรูปแบบของอิเล็กตรอนที่เป็นลักษณะโดยสลับให้ และภาคพลังงานต้องห้ามตามที่แสดงในรูปที่ 4.2 . อนุญาตให้พื้นที่เป็นภูมิภาคที่สำคัญของด้านขวามือในอีคิว ( 442 ) อยู่ระหว่าง 1 – 1 และในขณะที่ต้องห้ามภูมิภาคภูมิภาคซึ่งขนาดสัมบูรณ์ของด้านขวามือมีมากกว่าหนึ่ง มันเป็นข้อสังเกตเพิ่มเติมจากรูปที่ต้องห้ามของภูมิภาคจะกลายเป็นขนาดเล็กและอนุญาตเขตจะมีขนาดใหญ่ขึ้น เป็นค่าของเพิ่มเกาะช้าง
รูป 4.3 แสดงพล็อตของอิเล็กตรอนพลังงานเป็นส่วนหนึ่งของหน้าที่แสดงในรูปนี้ที่จุดเริ่มต้นที่ P = 0 สอดคล้องกับกรณีอิเล็กตรอนอิสระ และพลังงานของอิเล็กตรอนเป็นอย่างต่อเนื่องใน k-space . ในภูมิภาคที่ p มีค่าจำกัด พลังงานสถานะของอิเล็กตรอนมีลักษณะตามแบบที่อนุญาต ( พื้นที่สีเทา ) และ
พื้นที่ต้องห้าม เป็นวิธีอนันต์ พลังงานของอิเล็กตรอนจะไม่ต่อเนื่อง ( หรือที่แน่นอน )ซึ่งสอดคล้องกับกรณีของการแยกอะตอมกับอะตอมระยะห่าง A → keyboard - key - name ∞ .
ตาม kronig Penney แบบที่กล่าวข้างต้น , แถบพลังงานแผนภาพสำหรับภายในตารางธาตุขัดแตะเป็นแสดง ในรูปที่ 4.4 ซึ่งจะวางแผนในการขยายพื้นที่โครงการ ค่า K ของเวกเตอร์ คลื่นจะได้รับโดย - N π / A , . . . , - π / 0 , π / A , . . . , n / a πแรก brillouin โซนที่รู้จักกันเป็นหน่วยเซลล์ของตาราง ซึ่งกันและกันเป็น กําหนดโดย คลื่นเวกเตอร์ที่มีค่าแตกต่างกันระหว่าง–π / และ / a πรูปที่ 4.4 แสดงสำคัญสองด้านของแถบพลังงานทางกายภาพแผนภาพ : ( ฉัน ) ที่เขตรอยต่อที่ K = ±π / N และ n = 1 , 2 , 3 . . . มีความไม่ต่อเนื่องของพลังงาน และ ( ii ) ความกว้างของแถบพลังงานเพิ่มขึ้น เมื่ออิเล็กตรอนได้รับพลังงานและความกว้างของต้องห้ามช่องว่างลดลงด้วยการเพิ่มอิเล็กตรอนพลังงาน .
ถ้าวงพลังงานไดอะแกรม ( คือ E และ K ) วางแผนภายในโซน brillouin แรกแล้วมันเรียกว่าลดพื้นที่โครงการ ลดพื้นที่โครงการ ( เช่น–π / ≤ K ≤π / ) คือการใช้บ่อยกว่า เพราะมีโครงการขยายเขต ค่าของเวกเตอร์คลื่นคุรินสูงกว่าโซนมี KR เวกเตอร์คลื่นที่สอดคล้องกันในโซน brillouin ก่อน ดังนั้นมันเป็นเรื่องง่ายที่จะอธิบายรัฐอิเล็กทรอนิกส์และที่เกี่ยวข้องกับสมบัติทางกายภาพลดลง โครงการใช้โซน .ความสัมพันธ์ระหว่าง ' kurand krcan ได้ผ่านการผ่าตัดสมมาตรแปลซึ่งจะได้รับโดย
2 / kkna π = ± RR ( 4.45 )
ที่เป็นเวกเตอร์คลื่นในโซนสูง ' kurkris ที่คลื่นเวกเตอร์ในโซน brillouin แรก , n = 1 , 2 , 3 . . . . . . . และ หมายถึงตาข่ายคงที่ของคริสตัล ดังนั้นลดพื้นที่โครงการประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับอิเล็กตรอนในของแข็งผลึก
kronig Penney โมเดลที่อธิบายข้างต้นสามารถนำมาใช้เพื่อสร้างไดอะแกรมของการแยกวงพลังงานซิลิคอนอะตอมและตารางธาตุเทียมภายในซิลิคอน ตุงตาข่าย รูปที่ 45A และ B แสดงระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง เช่น โครงการแยกอะตอมของซิลิคอนและแผนภาพแถบพลังงานสำหรับภายในซิลิคอนขัดแตะ ตามลำดับ ดังแสดงในรูปที่ 4.5a อิเล็กตรอนใน 3s และหอย 3P เรียกว่าอิเล็กตรอนโดยอิเล็กตรอนใน 1s 2s 2p , และวงโคจรเรียกว่าแกนอิเล็กตรอน เมื่ออิเล็กตรอนตื่นเต้นในการนำวงดนตรีค่าการนำไฟฟ้าของสารกึ่งตัวนำที่เพิ่มขึ้น มันเป็นข้อสังเกตว่าระยะห่างของอะตอมซิลิกอนลดไปไม่กี่อังสตรอม , แบ่งแยกระดับของพลังงานที่แสดงในรูปที่ 4.5a ขยายเข้าไปในกลุ่มพลังงาน และแต่ละให้คั่นด้วยแถบพลังงานต้องห้ามช่องว่างแถบ . ในกลุ่มพลังงานโครงการสูงสุดเต็มวง ( เช่น 3s 3P อเมริกา
และซิลิคอน ) เรียกว่า วาเลนซ์แบนด์ในขณะที่วงว่างสุด เรียกว่า นำวงดนตรี . ในสารกึ่งตัวนำที่ต้องห้ามช่องว่างแถบเสมอ อยู่ระหว่างดำเนินการ และ 2 วง ในขณะที่โลหะกลุ่มพลังงานเป็นปกติอย่างต่อเนื่อง สำหรับเซมิคอนดักเตอร์มากที่สุดช่องว่างแถบพลังงานและอาจแตกต่างกันระหว่าง 0.1ev 6.2 EV .
ความแตกต่างหลักในแถบพลังงานภายในโครงการ ระหว่าง 2 - หรือขัดแตะคริสตัล 3 มิติ คือในภายในกรณีการหยุดพลังงานมักจะมีอยู่ในเขตเขตแดน ดังนั้น กลุ่มพลังงานที่โดดเด่นด้วยชุดอื่นที่ได้รับอนุญาต และวงดนตรีที่ต้องห้าม อย่างไรก็ตาม ใน 3 กรณี กลุ่มพลังงานไม่ต่อเนื่องอาจจะหรืออาจไม่ได้อยู่ตั้งแต่ค่าของ kmax ในโซนขอบเขตตามการหมุนของผลึกที่แตกต่างกันอาจจะแตกต่างที่ชัดเจนแสดง ในรูปที่ 4.6 .นี้จะนำไปสู่การซ้อนทับกันของรัฐด้านพลังงานในเขตรอยต่อจึงเป็นไปได้การหายตัวไปของ bandgap แถบพลังงานใน 3-D แผนภาพ มันควรจะกล่าวว่าฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนในสามมิติแบบแลตทิซผลึกของประเภทชาย และสามารถอธิบายโดย อีคิว ( 4.17 )ในตอนต่อไปเราจะอธิบายเกือบ - อิเล็กตรอนอิสระ ( NFE ) การสร้างรูปแบบแถบพลังงานของอิเล็กตรอนในสารกึ่งตัวนำ มันเป็นข้อสังเกตว่า กศน. ประมาณเท่านั้นที่สามารถให้คำอธิบายเชิงคุณภาพของแถบพลังงานโครงร่างสำหรับอิเล็กตรอนในคริสตัล 3 มิติ ตุงตาข่าย เพื่อให้ได้โครงสร้างแถบพลังงานที่แท้จริงสำหรับเซมิคอนดักเตอร์และโลหะ