Remark. AZn example of this theorem

Remark. AZn example of this theorem is given by Fig 13.2, where n=11, m=13, f=4, and n-m+f=11-13+4=2.

Proof. The proof is by induction on the number of edges of G.

If m=0, then n=1 (since G is connected) and f=1 (the infinite face).

The theorem is therefore true in this case.

Now suppose that the theorem holds for all graphs with at most m-1 edges, and let G be a graph with m edges.

If G is not a tree, let e be edge in some cycle of G.

Then G-e is a connected plane graph with n vertices.

m-1 edges, and f-1 faces,so that n-(m-)+(f-1)=2,by the induction hypothesis.

It follows that n-m+f=2, as required.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หมายเหตุ AZn อย่างของทฤษฎีบทนี้ถูกกำหนด โดยฟิก 13.2 ซึ่ง n = 11, m = 13, f = 4 และ n-m + f = 11-13 + 4 = 2หลักฐานการ ข้อพิสูจน์คือการเหนี่ยวนำจำนวนขอบของกรัมถ้า m = 0 แล้ว n = 1 (ตั้งแต่ G เชื่อมต่อ) และ f = 1 (หน้าอนันต์)ทฤษฎีบทนี้จึงเป็นจริงในกรณีนี้ตอนนี้สมมติว่า ทฤษฎีบทที่แสดงสำหรับกราฟทั้งหมด มีขอบ 1 เมตรมากที่สุด และให้ G เป็นกราฟ ด้วยขอบ mถ้า G ไม่ใช่ต้นไม้ ให้ e เป็นขอบบางรอบกรัมแล้ว G e เป็นกราฟเชื่อมต่อเครื่องบิน มีจุดยอด nm-1 ขอบ และหน้า f 1, n ที่ให้-(m-) +(f-1) = 2 โดยทฤษฏีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นไปตามที่ n m + f = 2 ตามต้องการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำพูด AZN ตัวอย่างของทฤษฎีบทนี้จะได้รับโดยรูปที่ 13.2 โดยที่ n = 11, M = 13, f = 4 และ n-m + f = 11-13 + 4 = 2. หลักฐาน หลักฐานคือการเหนี่ยวนำกับจำนวนของขอบของ G. ถ้า m = 0 แล้ว n = 1 (G ตั้งแต่มีการเชื่อมต่อ) และ f = 1 (ใบหน้าไม่มีที่สิ้นสุด). ทฤษฎีบทดังนั้นจึงเป็นเรื่องจริงในกรณีนี้. ตอนนี้คิดว่า ทฤษฎีบทถือสำหรับกราฟทั้งหมดที่มีที่มากที่สุดของ m-1 ขอบและให้ G เป็นกราฟที่มีขอบม. ถ้า G เป็นต้นไม้ไม่ให้อีเป็นขอบในวงจรของ G. บางแล้ว Ge เป็นกราฟเครื่องบินที่เชื่อมต่อกับ n . จุดขอบม-1, และ F-1 ใบหน้าเพื่อให้ n- (ม -). + (F-1) = 2 โดยสมมติฐานเหนี่ยวนำมันตามที่ n-m + f = 2 ตามที่กำหนด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หมายเหตุ azn ตัวอย่างของทฤษฎีบทนี้จะได้รับโดยมะเดื่อ 13.2 เมื่อ n = 11 , M = 1 , F = 4 และ n-m F = 11-13 4 = 2

หลักฐาน การพิสูจน์โดยอุปนัยในจำนวนของขอบของ G .

ถ้า m = 0 แล้ว N = 1 ( ตั้งแต่ g เชื่อมต่อ ) และ F = 1 ( หน้าอนันต์ ) .

ทฤษฎีบทเป็นดังนั้นจริงในกรณีนี้

ตอนนี้สมมติว่าทฤษฎีบทถือสำหรับกราฟที่ขอบด้วย M - 1 มากที่สุด และให้ G เป็นกราฟด้วย

ขอบ