HistoryMathematical logic emerged i

History
Mathematical logic emerged in the mid-19th century as a subfield of mathematics independent of the traditional study of logic. Before this emergence, logic was studied with rhetoric, through the syllogism, and with philosophy. The first half of the 20th century saw an explosion of fundamental results, accompanied by vigorous debate over the foundations of mathematics.
Formal logical systems
At its core, mathematical logic deals with mathematical concepts expressed using formal logical systems. These systems, though they differ in many details, share the common property of considering only expressions in a fixed formal language. The systems of propositional logic and first-order logic are the most widely studied today, because of their applicability to foundations of mathematics and because of their desirable proof-theoretic properties.[5] Stronger classical logics such as second-order logic or infinitary logic are also studied, along with nonclassical logics such as intuitionistic logic.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ประวัติคณิตตรรกศาสตร์โผล่ออกมาในช่วงกลางศตวรรษเป็นการย่อยของคณิตศาสตร์อิสระของการศึกษาแบบดั้งเดิมของตรรกะ ก่อนที่จะเกิดขึ้นนี้ ตรรกะเป็นศึกษา ด้วย สำนวน ผ่าน syllogism และปรัชญา ครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 เห็นการระเบิดผลพื้นฐาน มาพร้อมกับอภิปรายคึกคักผ่านรากฐานของคณิตศาสตร์ระบบตรรกะที่เป็นทางการ เป็นหลัก ตรรกคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่แสดงการใช้ระบบตรรกะที่เป็นทางการ ระบบเหล่านี้ แม้ว่าพวกเขาแตกต่างกันในรายละเอียดมาก แบ่งปันทรัพย์สินทั่วไปการพิจารณาเฉพาะนิพจน์ในภาษาทางการแบบถาวร ระบบของประพจน์และตรรกะลำดับแรกคือ วันนี้การศึกษาอย่างกว้างขวางมากที่สุด เนื่อง จากความเกี่ยวข้องของพวกเขาเพื่อรากฐานของคณิตศาสตร์ และเนื่อง จากคุณสมบัติของพวกเขาสดหลักฐาน [5] แข็งคลาสสิก logics เช่นสองสั่งลอจิกหรือตรรกะ infinitary ยังมีศึกษา พร้อมกับ logics nonclassical เช่น intuitionistic ตรรกะ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ประวัติ
ตรรกะคณิตศาสตร์โผล่ออกมาในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เป็นสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระของการศึกษาแบบดั้งเดิมของตรรกะ ก่อนที่จะเกิดขึ้นนี้ตรรกะได้ศึกษากับสำนวนผ่านการอ้างเหตุผลและด้วยปรัชญา ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 เห็นการระเบิดของผลพื้นฐานพร้อมด้วยการอภิปรายมากกว่ารากฐานของคณิตศาสตร์.
ระบบตรรกะอย่างเป็นทางการ
ที่หลักของข้อเสนอตรรกะทางคณิตศาสตร์กับแนวความคิดทางคณิตศาสตร์แสดงการใช้ระบบตรรกะอย่างเป็นทางการ ระบบเหล่านี้แม้ว่าพวกเขาจะแตกต่างกันในรายละเอียดหลายส่วนคุณสมบัติทั่วไปของการพิจารณาการแสดงออกเฉพาะในภาษาอย่างเป็นทางการได้รับการแก้ไข ระบบของตรรกะประพจน์และตรรกะลำดับแรกคือการศึกษาอย่างกว้างขวางมากที่สุดในวันนี้เพราะการบังคับใช้ของพวกเขาให้กับมูลนิธิของคณิตศาสตร์และเพราะคุณสมบัติพิสูจน์ทฤษฎีที่พึงปรารถนาของพวกเขา. [5] แข็งแกร่ง logics คลาสสิกเช่นตรรกะสองคำสั่งหรือตรรกะ infinitary ยังมีการศึกษาพร้อมกับ logics nonclassical เช่น intuitionistic ตรรกศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ประวัติตรรกะทางคณิตศาสตร์ ปรากฏขึ้นในกลางศตวรรษที่ 19 เป็น subfield คณิตศาสตร์อิสระของการศึกษาแบบดั้งเดิมของตรรกะ ก่อนเกิดนี้ เหตุผลคือเรียนกับวาทศิลป์โดยการอ้างเหตุผลและปรัชญา ครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 เห็นการระเบิดของผลเบื้องต้น พร้อมอภิปรายแข็งแรงกว่ารากฐานของคณิตศาสตร์ระบบตรรกะที่หลักของมัน , ตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่แสดงการใช้ระบบตรรกะ . ระบบเหล่านี้ ถึงแม้จะแตกต่างกันในรายละเอียดมาก ส่วนคุณสมบัติทั่วไปของการพิจารณาเพียงการแสดงออกในการแก้ไขอย่างเป็นทางการ ภาษา ระบบตรรกะเชิงประพจน์และตรรกะลำดับแรกที่มีมากที่สุดการศึกษาอย่างกว้างขวางในวันนี้ เพราะจะประยุกต์ใช้กับรากฐานของคณิตศาสตร์และเพราะพวกเขาพึงประสงค์พิสูจน์ทฤษฎีคุณสมบัติ [ 5 ] แข็งแกร่งคลาสสิก logics เช่นสอง - ลำดับตรรกะตรรกะหรือ infinitary นอกจากนี้ยังศึกษา พร้อมกับ nonclassical เช่นตรรกศาสตร์ตรรกวิทยาสหัชญาณนิยม .