With the above notation, Baker's th

With the above notation, Baker's theorem is a nonhomogeneous generalisation of the Gelfond–Schneider theorem. Specifically it states:

Baker's Theorem. If λ1,…,λn are elements of L that are linearly independent over the rational numbers, then for any algebraic numbers β0, ..., βn, not all zero, we have

|eta_0+eta_1lambda_1+cdots+eta_nlambda_n|>H^{-C}
where H is the maximum of the heights of the β's and C is an effectively computable number depending on n, the λ's, and the maximum d of the degrees of the β's. (If β0 is nonzero then the assumption that the λ's are linearly independent can be dropped.) In particular this number is nonzero, so 1 and the λ's are linearly independent over the algebraic numbers.
Just as the Gelfond–Schneider theorem is equivalent to the statement about the transcendence of numbers of the form ab, so too Baker's theorem implies the transcendence of numbers of the form

a_1^{b_1}cdots a_n^{b_n},
where the bi are all algebraic, irrational, and 1, b1,…,bn are linearly independent over the rationals, and the ai are all algebraic and not 0 or 1.

Baker (1977) also gave several versions with explicit constants. For example, if eλj = αj has height at most Aj ≥ 4 and all the numbers βj have height at most B ≥ 4 then the linear form

Lambda=eta_0+eta_1lambda_1+cdots+eta_nlambda_n
is either 0 or satisfies

log|Lambda|>(16nd)^{200n}Omega(logOmega-loglog A_n)(log B+logOmega)
where

Omega=log A_1 log A_2 cdots log A_n
and the field generated by all the α's and β's over the rationals has degree at most d. In the special case when β0=0 and all the βj are rational integers, the rightmost term log Ω can be deleted.

An explicit result by Baker and Wüstholz for a linear form Λ with integer coefficients yields a lower bound of the form

logvertLambdavert>-C h(alpha_1)h(alpha_2)cdots h(alpha_n) log left (max{verteta_1vert,ldots,verteta_nvert}
ight ),
with a constant C

C = 18(n + 1)!cdot n^{n+1}cdot (32d)^{n+2}log(2nd),
where d is the degree of the number field generated by the αi.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สัญลักษณ์ข้างต้น ทฤษฎีบทของเบเกอร์เป็น generalisation nonhomogeneous ของทฤษฎีบท Gelfond-ชไนเดอร์ โดยเฉพาะระบุ:ทฤษฎีบทของเบเกอร์ ถ้า λ1,..., λn เป็นองค์ประกอบของ L ที่เป็นอิสระเชิงเส้นจำนวนตรรกยะ แล้วใด ๆ เชิงพีชคณิตเลข β0,..., βn ศูนย์ไม่ เรามี|eta_0 + eta_1lambda_1 + cdots + eta_nlambda_n| > H ^ {-C }ซึ่ง H คือ จำนวนสูงสุดของความสูงของของβ และ C คือ หมายเลขที่มีประสิทธิภาพ computable n ของλ และ d สูงสุดขององศาของของβ (ถ้า β0 nonzero แล้วอัสสัมชัญที่λเป็นอิสระเชิงเส้นสามารถถูกลบ) โดยเฉพาะ หมายเลขนี้เป็น nonzero ดังนั้น 1 และλเป็นอิสระเชิงเส้นจำนวนเชิงพีชคณิตเพียงเป็นเทียบเท่ากับงบเกี่ยวกับอุตรภาพจำนวน ab แบบฟอร์ม ทฤษฎีบท Gelfond-ชไนเดอร์เพื่อเกินไป ของเบเกอร์ทฤษฎีบทหมายถึงการปรองดองหมายเลขของแบบฟอร์มa_1 ^ a_n cdots {b_1 } ^ {b_n },ที่ bi มีทั้งหมดพีชคณิต การโต้เถียง และ 1, b1,..., พันเป็นอิสระเชิงเส้นมากกว่า rationals และผสมผสานทั้งหมดพีชคณิต และไม่ 0 หรือ 1เบเกอร์ (1977) ให้หลายรุ่น มีค่าคงที่ชัดเจน ตัวอย่าง ถ้า eλj = αj มีความสูงที่สุด Aj ≥ 4 และทั้งหมดหมายเลข βj มีความสูงมากที่สุด B ≥ 4 แล้วแบบเชิงเส้นLambda=eta_0+eta_1lambda_1+cdots+eta_nlambda_nเป็น 0 อย่างใดอย่างหนึ่ง หรือเป็นไปตาม log|Lambda| > (16nd) ^ {200n } Omega(logOmega-loglog A_n) (log B + logOmega)whereOmega=log A_1 log A_2 cdots log A_nand the field generated by all the α's and β's over the rationals has degree at most d. In the special case when β0=0 and all the βj are rational integers, the rightmost term log Ω can be deleted.An explicit result by Baker and Wüstholz for a linear form Λ with integer coefficients yields a lower bound of the formlogvertLambdavert>-C h(alpha_1)h(alpha_2)cdots h(alpha_n) log left (max{verteta_1vert,ldots,verteta_nvert}
ight ),with a constant CC = 18(n + 1)!cdot n^{n+1}cdot (32d)^{n+2}log(2nd),where d is the degree of the number field generated by the αi.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ด้วยสัญกรณ์ดังกล่าวข้างต้นทฤษฎีบทของเบเกอร์เป็น nonhomogeneous ทั่วไปของทฤษฎีบท Gelfond-ไนเดอร์ โดยเฉพาะมันฯ : ทฤษฎีบทของเบเกอร์ หากλ1, ... , λnเป็นองค์ประกอบของ L ที่เป็นเส้นตรงที่เป็นอิสระมากกว่าตัวเลขจริงแล้วสำหรับตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตใดβ0, ... , βnไม่ทุกศูนย์เรามี| beta_0 + beta_1 lambda_1 + cdots + beta_n lambda_n |> H ^ {-} C ที่เป็น H สูงสุดของความสูงของ C βและเป็นเลขคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพขึ้นอยู่กับ n, λและ d สูงสุดของระดับของβ (ถ้าβ0ไม่ใช่ศูนย์แล้วสันนิษฐานว่าของλมีความเป็นอิสระเป็นเส้นตรงสามารถลดลง.) โดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนนี้จะไม่ใช่ศูนย์ดังนั้นที่ 1 และλที่เป็นเส้นตรงที่เป็นอิสระมากกว่าตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต. เช่นเดียวกับทฤษฎีบท Gelfond-ชไนเดอเทียบเท่ากับ คำสั่งเกี่ยวกับวิชชาของตัวเลขในรูปแบบ AB ดังนั้นก็ทฤษฎีบทของเบเกอร์หมายถึงวิชชาของตัวเลขในรูปแบบa_1 ^ {b_1} cdots a_n ^ {b_n} ที่สองเป็นพีชคณิตทั้งหมดไม่มีเหตุผลและ 1, B1, ... , พันล้านเป็นเส้นตรงที่เป็นอิสระมากกว่า rationals และไอมีทั้งหมดเกี่ยวกับพีชคณิตและไม่เป็น 0 หรือ 1 เบเคอร์ (1977) นอกจากนี้ยังให้หลายรุ่นที่มีค่าคงที่อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่นถ้าeλj = αjมีความสูงที่มากที่สุด Aj ≥ 4 และตัวเลขทั้งหมดβjมีความสูงที่มากที่สุด B ≥ 4 แล้วรูปแบบเชิงเส้น แลมบ์ดา = beta_0 + beta_1 lambda_1 + cdots + beta_n lambda_n เป็น 0 หรือตอบสนอง เข้าสู่ระบบ | แลมบ์ดา |> (16nd) ^ {200N} โอเมก้า ( log Omega- บันทึก log A_n) ( log B + log โอเมก้า) ที่ โอเมก้า = บันทึก A_1 บันทึก A_2 cdots เข้าสู่ระบบ A_n และสนามที่สร้างขึ้นโดยทั้งหมดของαและβกว่า rationals มีการศึกษาระดับปริญญาที่ดีที่สุด ในกรณีพิเศษเมื่อβ0 = 0 และβjเป็นจำนวนเต็มเหตุผลΩบันทึกระยะขวาสุดสามารถลบ. ผลอย่างชัดเจนโดยเบเกอร์และWüstholzสำหรับΛรูปแบบเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มอัตราผลตอบแทนขีด จำกัด ล่างของแบบฟอร์ม บันทึก สีเขียว แลมบ์ดา สีเขียว> -C h ( alpha_1) h ( alpha_2) cdots h ( alpha_n) บันทึก left ( สูงสุด { สีเขียว beta_1 สีเขียว, ldots, สีเขียว beta_n สีเขียว } ขวา) ที่มีอย่างต่อเนื่อง C C = 18 (1 + n) cdot n ^ {n + 1} cdot (32D) ^ {n + 2} ล็อก (2), d เป็นระดับ ของสนามจำนวนที่สร้างขึ้นโดยαi

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กับโน้ตด้านบน ของขนมปังเป็น generalisation nonhomogeneous ของ gelfond –ชไนเดอร์ทฤษฎีบท โดยเฉพาะมันอเมริกา :

ขนมปังทฤษฎีบท ถ้าλ 1 , . . . λ N เป็นองค์ประกอบของ L ที่เป็นอิสระเป็นเส้นตรงผ่านการสรุปตัวเลขแล้วตัวเลขใดพีชคณิตบีตา 0 , . . . , บีตา N ไม่ทุกศูนย์เราได้

| beta_0 beta_1 lambda_1 cdots N lambda_n beta_n | > H
{ }
- cที่ H คือสูงสุดของความสูงของบีตาและ C เป็นอย่างมีประสิทธิภาพขึ้นอยู่กับคำนวณจำนวน n ของλและสูงสุด D ขององศาของบีตา . ( ถ้า 0 คือ 0 บีตาแล้วสมมติฐานที่เป็นอิสระλเป็นเส้นตรง สามารถลดลง ) โดยเฉพาะหมายเลขนี้คือ 0 , 1 และของλเป็นอิสระเชิงเส้นตรงมากกว่าตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต .
เช่นเดียวกับทฤษฎีบท gelfond –ชไนเดอร์จะเท่ากับงบเกี่ยวกับการอยู่เหนือตัวเลขของรูปแบบ AB เหมือนกันเบเกอร์ทฤษฎีบทหมายถึงการอยู่เหนือตัวเลขของรูปแบบ

a_1
{ }
{ b_1 cdots a_n b_n } ,
ที่บีเป็นพีชคณิต , ไม่มีเหตุผล , และ 1 , B1 , . . . , BN เป็นอิสระเชิงเส้นตรงมากกว่า rationals และ AI ทั้งหมดพีชคณิตและไม่ใช่ 0 หรือ 1 .

เบเคอร์ ( 1977 ) ยังให้หลายรุ่น ด้วยค่าคงที่ที่ชัดเจน ตัวอย่างเช่น ถ้า E λ J = α J มีความสูงมากที่สุด เอเจ≥ 4 และตัวเลขทั้งหมดบีตา J มีความสูงที่มากที่สุด B ≥ 4 แล้วเชิงเส้นรูปแบบ

lambda = beta_0 beta_1 lambda_1 cdots N beta_n lambda_n
เป็น 0 หรือเข้าตา

log lambda | | > ( 16nd )
{ 200n } ( log Omega โอเมก้า - a_n เข้าสู่ระบบ log ( log log Omega B )

ที่โอเมก้า = log N a_1 log N a_2 cdots เข้าสู่ระบบ a_n
และเขตข้อมูลที่สร้างขึ้น โดยทั้งหมดαและบีตาผ่าน rationals ได้ปริญญามากที่สุด d . ในกรณีพิเศษเมื่อบีตา 0 = 0 และทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มจำนวนตรรกยะบีตา J , ตำแหน่งระยะ log Ωสามารถลบ .

ผลชัดเจนโดย Baker และ W ü stholz สำหรับΛรูปแบบเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มสามารถลดขอบเขตของรูปแบบ