Final commentsWe finish with two co

Final comments

We finish with two comments. First, it would be interesting to extend Theorems 1 and 2 to pillow chessboards that do not have the usual black-white pattern, as is already the case for the results on the torus. This means considering pillow boards that are obtained from the n x m torus, with m and/or n odd, by identifying diametrically opposite squares, as discussed above. This entails some unusual features; when n and m are both odd, the fundamental domain no longer consists of an integer number of squares, so the "board" looks rather odd. Also, if m is odd and n is even, one of the squares has an edge which is identified with itself!
Second, we remark that pillow chess is by no means the first chess game to be played on the sphere. There is a great number of chess variants (see Pritchard [59] and the web site www.chessvariants.com). In particular, we mention Global Chess, which is a commercial variant played on two revolving disks representing the hemispheres (here the "squares" at the poles are triangles), and Andrea Mori's small spherical chess, which is obtained from a cylindrical board by adding two additional (pole) squares, one at each end. Don Miller's spherical chess [59] as modified by Leo Nadvomey, is very close in appearance to pillow chess (the identifications are shown in FIGURE 16), but in fact this board is not a sphere but a Klein bottle!

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความคิดเห็นสุดท้ายเราจบกับความคิดเห็นที่สอง ครั้งแรก มันจะน่าสนใจที่จะขยายเป็นแล้วกรณีผลบน torus ในทฤษฎีบท 1 และ 2 เพื่อ chessboards หมอนที่ไม่มีลวดลายสีดำขาวปกติ นี้หมายถึง พิจารณาบอร์ดหมอนที่ได้รับจาก n x m torus กับ m หรือ n คี่ การระบุ diametrically ตรงข้ามสี่เหลี่ยม กล่าวถึงข้างต้น นี้มีคุณลักษณะบางอย่างผิดปกติ เมื่อ n และ m มีคี่ โดเมนพื้นฐานไม่ประกอบด้วยหมายเลขของสี่เหลี่ยม ดังนั้น "คณะกรรมการ" มีลักษณะค่อนข้างแปลก ถ้า m เป็นคี่ และ n เป็นเลขคู่ หนึ่งในสี่เหลี่ยมมีขอบที่ถูกระบุ ด้วยตัวเองสอง เรารีว่า หมอนหมากรุกเป็นเกมหมากรุกแรกที่เล่นในเรื่อง มีจำนวนมากของหมากรุกย่อย (ดู Pritchard [59] และ www.chessvariants.com เว็บไซต์) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราพูดถึงหมากรุกสากล ซึ่งเป็นตัวแปรเชิงพาณิชย์ที่เล่นบนดิสก์หมุนสองแทนฟิลิปดา (ที่นี่ "สี่เหลี่ยม" ที่เสาเป็นสามเหลี่ยม), และ Andrea โมริขนาดเล็กทรงกลมหมากรุก ที่ได้รับจากคณะกรรมการทรงกระบอก โดยการเพิ่มสองเพิ่มเติม (ขั้วโลก) สี่เหลี่ยม ที่สิ้นสุดแต่ละ ดอนมิลเลอร์ [59] แก้ไข โดย Leo Nadvomey หมากรุกทรงกลมอยู่มากในลักษณะการรุกหมอน (รหัสจะแสดงในรูปที่ 16), แต่ในความเป็นจริงคณะนี้ไม่ใช่ทรงกลมแต่ขวดไคลน์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความคิดเห็นสุดท้ายเราจบด้วยสองความคิดเห็น ประการแรกมันจะน่าสนใจที่จะขยายทฤษฎีบทที่ 1 และ 2 จะกระดานหมากรุกหมอนที่ไม่ได้มีรูปแบบปกติสีดำสีขาวเป็นอยู่แล้วกรณีที่ผลในพรู ซึ่งหมายถึงการพิจารณากระดานหมอนที่จะได้รับจากพรู NXM กับม. และ / หรือ n แปลกโดยระบุสี่เหลี่ยมตรงข้ามตามที่กล่าวข้างต้น นี้ entails ลักษณะผิดปกติบางอย่าง เมื่อ n และม. มีทั้งแปลกโดเมนพื้นฐานไม่ประกอบด้วยเลขจำนวนเต็มของสี่เหลี่ยมดังนั้น "คณะกรรมการ" มีลักษณะค่อนข้างแปลก นอกจากนี้ถ้า m คือแปลกและ n คือแม้หนึ่งของสี่เหลี่ยมมีขอบซึ่งมีการระบุด้วยตัวเอง! ประการที่สองเราพูดหมากรุกหมอนที่อยู่โดยไม่ได้หมายความว่าเกมหมากรุกเป็นครั้งแรกที่จะเล่นบนทรงกลม มีจำนวนมากของสายพันธุ์หมากรุกเป็น (ดู Pritchard [59] และเว็บไซต์ www.chessvariants.com) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราพูดถึงหมากรุกทั่วโลกซึ่งเป็นตัวแปรเชิงพาณิชย์เล่นในสองแผ่นหมุนที่เป็นตัวแทนของซีกโลก (ที่นี่ "สี่เหลี่ยม" ที่เสาเป็นรูปสามเหลี่ยม) และหมากรุกทรงกลมขนาดเล็ก Andrea โมริซึ่งจะได้รับจากคณะกรรมการทรงกระบอกโดยการเพิ่ม สองเพิ่มเติม (เสา) สี่เหลี่ยมหนึ่งที่ปลายแต่ละด้าน หมากรุกทรงกลมดอนมิลเลอร์ [59] ในขณะที่การแก้ไขโดยลีโอ Nadvomey อยู่ใกล้มากในลักษณะที่หมากรุกหมอน (ระบุจะแสดงในรูปที่ 16) แต่ในความเป็นจริงคณะกรรมการนี้ไม่เป็นทรงกลม แต่ขวด Klein!

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สุดท้ายความคิดเห็น

เราเสร็จสองแสดงความคิดเห็น ครั้งแรก มันจะน่าสนใจที่จะขยายทฤษฎีบทที่ 1 และ 2 chessboards หมอนที่ไม่ปกติ ดำ ขาว แบบที่เป็นกรณีสำหรับผลลัพธ์ในพรู . หมายถึง การพิจารณาหมอนบอร์ดที่ได้รับจาก n x M มีฐานรองด้วย M และ / หรือ N คี่ โดยระบุ diametrically ตรงข้ามสี่เหลี่ยมดังที่กล่าวข้างต้นนี้ใช้คุณสมบัติบางอย่างผิดปกติ เมื่อ n และ m เป็นคี่ โดเมนพื้นฐานไม่ประกอบด้วยเลขจำนวนเต็มของสี่เหลี่ยม เพื่อ " คณะกรรมการ " ดูค่อนข้างแปลก นอกจากนี้ ถ้า m เป็นคี่และแม้แต่หนึ่งของสี่เหลี่ยมมีขอบที่ระบุไว้กับตัวเอง
สอง เราสังเกตว่าหมากรุกหมอนเป็นไม่มีทางหมากรุกเกมแรกที่ได้เล่นบนทรงกลมมีจำนวนมากของตัวแปรหมากรุก ( ดูพริทชาร์ด [ 59 ] และเว็บไซต์ www.chessvariants . com ) โดยเฉพาะ เราพูดถึงหมากรุกสากล ซึ่งเป็นตัวแปรเชิงพาณิชย์บนดิสก์แทน ( เล่นสองซีก ( ที่นี่ " สี่เหลี่ยม " ที่เสาเป็นสามเหลี่ยม ) , และ Andrea โมริขนาดเล็กทรงกลมหมากรุกซึ่งได้มาจากบอร์ดทรงกระบอกโดยการเพิ่มสองเพิ่มเติม ( เสา ) สี่เหลี่ยม หนึ่งที่ปลายแต่ละด้าน ดอน มิลเลอร์ทรงกลมหมากรุก [ 59 ] แก้ไขโดยลีโอ nadvomey เป็นอย่างใกล้ชิดในลักษณะหมากรุกหมอน ( อะไรบ่งบอกแสดงในรูปที่ 16 ) แต่ในความเป็นจริงแล้ว บอร์ดนี้ไม่ได้เป็นทรงกลม แต่ไคลน์ขวด !